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8. (★)如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ AOD = 78°$，C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，则$∠ DOC$的度数为
【 】
A.$65°$
B.$51°$
C.$110°$
D.$60°$
【 】
A.$65°$
B.$51°$
C.$110°$
D.$60°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先从已知条件AB是直径入手，直径对应的平角∠AOB为180°，结合已知∠AOD=78°，可先求出∠BOD的度数；再根据C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，回忆同圆中等弧对应的圆心角相等的性质，可知∠DOC是∠BOD的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$∠ AOD=78°$，
∴$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=180°-78°=102°$，
∵C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴在同圆中，等弧所对的圆心角相等，即$∠ DOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ BOD$，
∴$∠ DOC=\frac{1}{2}×102°=51°$。
【答案】
B
【知识点】
圆心角与弧的关系；平角的性质；圆直径的特征
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握圆的基本性质，结合平角的特征进行角度运算，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件AB是直径入手，直径对应的平角∠AOB为180°，结合已知∠AOD=78°，可先求出∠BOD的度数；再根据C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，回忆同圆中等弧对应的圆心角相等的性质，可知∠DOC是∠BOD的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$∠ AOD=78°$，
∴$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=180°-78°=102°$，
∵C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴在同圆中，等弧所对的圆心角相等，即$∠ DOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ BOD$，
∴$∠ DOC=\frac{1}{2}×102°=51°$。
【答案】
B
【知识点】
圆心角与弧的关系；平角的性质；圆直径的特征
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握圆的基本性质，结合平角的特征进行角度运算，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
9. (★★)如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{CA}$,下列结论不正确的是 【 】
A.$AB=CD$
B.$∠ BOC=∠ AOC$
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
D.$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$
A.$AB=CD$
B.$∠ BOC=∠ AOC$
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
D.$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{CA}$入手，利用同圆中弧的和差运算推导得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，再结合“同圆中相等的弧对应的弦相等、对应的圆心角相等”的性质，判断弦长关系，再通过三角形全等判断面积关系，逐一验证各选项，最终找出错误结论。
【解析】
已知在$\odot O$中，$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{CA}$，对两段弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{AD}$，可得：
$\overset{\frown}{DB}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CA}-\overset{\frown}{AD}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，故C选项结论正确；
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AB=CD$，故A选项结论正确；
在$△ AOB$和$△ COD$中，$\{\begin{array}{l}OA=OC(\mathrm{同圆半径相等})\\OB=OD(\mathrm{同圆半径相等})\\AB=CD(\mathrm{已证})\end{array} $，因此$△ AOB≌△ COD(\mathrm{SSS})$，全等三角形面积相等，故$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$，D选项结论正确；
$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角，题干未给出$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$的条件，无法推出$∠ BOC=∠ AOC$，故B选项结论错误。
【答案】
B
【知识点】
弧弦圆心角的关系；全等三角形的判定与性质；三角形面积
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题的核心是熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角三者的对应关系，结合全等三角形的性质即可快速判断多数选项，做选择题时也可借助排除法提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{CA}$入手，利用同圆中弧的和差运算推导得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，再结合“同圆中相等的弧对应的弦相等、对应的圆心角相等”的性质，判断弦长关系，再通过三角形全等判断面积关系，逐一验证各选项，最终找出错误结论。
【解析】
已知在$\odot O$中，$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{CA}$，对两段弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{AD}$，可得：
$\overset{\frown}{DB}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CA}-\overset{\frown}{AD}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，故C选项结论正确；
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AB=CD$，故A选项结论正确；
在$△ AOB$和$△ COD$中，$\{\begin{array}{l}OA=OC(\mathrm{同圆半径相等})\\OB=OD(\mathrm{同圆半径相等})\\AB=CD(\mathrm{已证})\end{array} $，因此$△ AOB≌△ COD(\mathrm{SSS})$，全等三角形面积相等，故$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$，D选项结论正确；
$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角，题干未给出$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$的条件，无法推出$∠ BOC=∠ AOC$，故B选项结论错误。
【答案】
B
【知识点】
弧弦圆心角的关系；全等三角形的判定与性质；三角形面积
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题的核心是熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角三者的对应关系，结合全等三角形的性质即可快速判断多数选项，做选择题时也可借助排除法提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10. (★★)如图,半径长为5的$\odot A$中,弦$BC,ED$所对的圆心角分别是$∠ BAC,∠ EAD$,若$DE=6,∠ BAC+∠ EAD=180°$,则弦$BC$的长等于
【 】
A.8
B.10
C.11
D.12
【 】
A.8
B.10
C.11
D.12
答案
A
解析
【分析】
解题时我们可以利用转化思想，先结合两个圆心角互补的条件，通过旋转将两个圆心角拼接为平角，构造出圆的直径，再利用直径所对圆周角为直角的性质，把所求弦BC放到直角三角形中，最后用勾股定理计算即可。具体思考步骤：1. 旋转△ADE，使AD与AB重合，得到全等的△ABF，得到BF=DE；2. 推导得C、A、F共线，CF为直径；3. 识别直角△CBF，代入勾股定理计算BC。
【解析】
解：将△ADE绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点E的对应点为F。
由旋转的性质可得△ABF≌△ADE，因此$BF=DE=6$，$∠ BAF=∠ EAD$。
已知$∠ BAC+∠ EAD=180°$，代入得$∠ BAC+∠ BAF=180°$，即C、A、F三点共线，
因此CF是$\odot A$的直径，$CF=2×5=10$。
根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，可得$∠ CBF=90°$。
在$Rt△ CBF$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{CF^2-BF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的常规综合题，解题的核心是通过旋转将分散的已知条件整合，构造出直角三角形，将弦长计算转化为直角三角形边长求解，考查了学生对转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以利用转化思想，先结合两个圆心角互补的条件，通过旋转将两个圆心角拼接为平角，构造出圆的直径，再利用直径所对圆周角为直角的性质，把所求弦BC放到直角三角形中，最后用勾股定理计算即可。具体思考步骤：1. 旋转△ADE，使AD与AB重合，得到全等的△ABF，得到BF=DE；2. 推导得C、A、F共线，CF为直径；3. 识别直角△CBF，代入勾股定理计算BC。
【解析】
解：将△ADE绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点E的对应点为F。
由旋转的性质可得△ABF≌△ADE，因此$BF=DE=6$，$∠ BAF=∠ EAD$。
已知$∠ BAC+∠ EAD=180°$，代入得$∠ BAC+∠ BAF=180°$，即C、A、F三点共线，
因此CF是$\odot A$的直径，$CF=2×5=10$。
根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，可得$∠ CBF=90°$。
在$Rt△ CBF$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{CF^2-BF^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的常规综合题，解题的核心是通过旋转将分散的已知条件整合，构造出直角三角形，将弦长计算转化为直角三角形边长求解，考查了学生对转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
11. (★★)如图,在$5×5$的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角度数是.
答案
$\boldsymbol{90°}$
解析
【分析】
要确定弧AC所对的圆心角，首先需要找到圆弧所在圆的圆心。根据垂径定理，圆心在任意弦的垂直平分线上，因此我们可以先作弦AB、BC的垂直平分线，两条线的交点就是圆心；再连接圆心与A、C两点，通过勾股定理逆定理判断两条半径的夹角大小，即可得到所求圆心角的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，可得各点坐标：A(1,3)，B(3,3)，C(4,2)。
1. 找圆心：
弦AB为水平线段，中点为(2,3)，AB的垂直平分线为竖直直线$x=2$；
弦BC的中点为$(\frac{3+4}{2},\frac{3+2}{2})=(3.5,2.5)$，BC所在直线的斜率为$\frac{2-3}{4-3}=-1$，因此BC的垂直平分线斜率为1，其解析式为$y-2.5=x-3.5$，化简得$y=x-1$；
联立$\begin{cases}x=2\\y=x-1\end{cases}$，解得$y=1$，即圆心$O$的坐标为(2,1)。
2. 计算圆心角：
连接OA、OC，由勾股定理得：
$OA^2=(1-2)^2+(3-1)^2=1+4=5$，
$OC^2=(4-2)^2+(2-1)^2=4+1=5$，
$AC^2=(4-1)^2+(2-3)^2=9+1=10$，
因此$OA^2+OC^2=AC^2$，根据勾股定理逆定理可知$∠ AOC=90°$，即$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为$90°$。
【答案】
$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理逆定理，圆心角定义
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用，解题的核心是利用垂径定理准确确定圆弧的圆心位置，再结合勾股定理逆定理判断角度，能较好地考查学生对圆的基本性质的掌握和网格计算的能力。
【难度系数】
0.7
要确定弧AC所对的圆心角，首先需要找到圆弧所在圆的圆心。根据垂径定理，圆心在任意弦的垂直平分线上，因此我们可以先作弦AB、BC的垂直平分线，两条线的交点就是圆心；再连接圆心与A、C两点，通过勾股定理逆定理判断两条半径的夹角大小，即可得到所求圆心角的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，可得各点坐标：A(1,3)，B(3,3)，C(4,2)。
1. 找圆心：
弦AB为水平线段，中点为(2,3)，AB的垂直平分线为竖直直线$x=2$；
弦BC的中点为$(\frac{3+4}{2},\frac{3+2}{2})=(3.5,2.5)$，BC所在直线的斜率为$\frac{2-3}{4-3}=-1$，因此BC的垂直平分线斜率为1，其解析式为$y-2.5=x-3.5$，化简得$y=x-1$；
联立$\begin{cases}x=2\\y=x-1\end{cases}$，解得$y=1$，即圆心$O$的坐标为(2,1)。
2. 计算圆心角：
连接OA、OC，由勾股定理得：
$OA^2=(1-2)^2+(3-1)^2=1+4=5$，
$OC^2=(4-2)^2+(2-1)^2=4+1=5$，
$AC^2=(4-1)^2+(2-3)^2=9+1=10$，
因此$OA^2+OC^2=AC^2$，根据勾股定理逆定理可知$∠ AOC=90°$，即$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为$90°$。
【答案】
$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理逆定理，圆心角定义
【点评】
本题是圆的基础性质的综合应用，解题的核心是利用垂径定理准确确定圆弧的圆心位置，再结合勾股定理逆定理判断角度，能较好地考查学生对圆的基本性质的掌握和网格计算的能力。
【难度系数】
0.7
12. (★★) 如图,在$\odot O$中,AB,CD是直径,$CE// AB$且交$\odot O$于点E,求证:$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$.
答案
证明：
连接OE。
∵ OC = OE，
∴ ∠OCE = ∠OEC。
∵ CE // AB，
∴ ∠BOD = ∠OCE，∠BOE = ∠OEC，
∴ ∠BOD = ∠BOE。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$。
连接OE。
∵ OC = OE，
∴ ∠OCE = ∠OEC。
∵ CE // AB，
∴ ∠BOD = ∠OCE，∠BOE = ∠OEC，
∴ ∠BOD = ∠BOE。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$。
解析
【分析】
要证明同圆中$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$，根据圆的基本性质，只需证明两条弧所对的圆心角相等，即证$∠ BOD=∠ BOE$。首先连接辅助线$OE$，可得$△ OCE$为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等得到$∠ OCE=∠ OEC$；再结合$CE// AB$的条件，通过平行线的同位角、内错角相等的性质，将$∠ BOD$、$∠ BOE$分别与$∠ OCE$、$∠ OEC$建立等量关系，进而推出两个圆心角相等，即可证得弧相等。
【解析】
证明：
连接$OE$。
$\because OC$、$OE$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OC = OE$，
$\therefore ∠ OCE = ∠ OEC$。
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ BOD = ∠ OCE$（两直线平行，同位角相等），$∠ BOE = ∠ OEC$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ BOD = ∠ BOE$。
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$。
【答案】
连接$OE$。
$\because OC = OE$，
$\therefore ∠ OCE = ∠ OEC$。
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ BOD = ∠ OCE$，$∠ BOE = ∠ OEC$，
$\therefore ∠ BOD = ∠ BOE$。
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$。
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 等腰三角形的性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题属于圆的基础证明题型，解题关键是掌握同圆中弧相等和对应圆心角相等的转化逻辑，合理构造辅助线，结合等腰三角形、平行线的角的性质推导角相等即可得证。
【难度系数】
0.7
要证明同圆中$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$，根据圆的基本性质，只需证明两条弧所对的圆心角相等，即证$∠ BOD=∠ BOE$。首先连接辅助线$OE$，可得$△ OCE$为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等得到$∠ OCE=∠ OEC$；再结合$CE// AB$的条件，通过平行线的同位角、内错角相等的性质，将$∠ BOD$、$∠ BOE$分别与$∠ OCE$、$∠ OEC$建立等量关系，进而推出两个圆心角相等，即可证得弧相等。
【解析】
证明：
连接$OE$。
$\because OC$、$OE$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OC = OE$，
$\therefore ∠ OCE = ∠ OEC$。
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ BOD = ∠ OCE$（两直线平行，同位角相等），$∠ BOE = ∠ OEC$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ BOD = ∠ BOE$。
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$。
【答案】
连接$OE$。
$\because OC = OE$，
$\therefore ∠ OCE = ∠ OEC$。
$\because CE // AB$，
$\therefore ∠ BOD = ∠ OCE$，$∠ BOE = ∠ OEC$，
$\therefore ∠ BOD = ∠ BOE$。
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$。
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 等腰三角形的性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题属于圆的基础证明题型，解题关键是掌握同圆中弧相等和对应圆心角相等的转化逻辑，合理构造辅助线，结合等腰三角形、平行线的角的性质推导角相等即可得证。
【难度系数】
0.7
