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13. (★★)如图，AB为$\odot O$的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
(1)求证：$OE=OF$；
(2)作半径$ON ⊥ AB$于点M，若$AB=8$，$MN=2$，求OM的长。
(1)求证：$OE=OF$；
(2)作半径$ON ⊥ AB$于点M，若$AB=8$，$MN=2$，求OM的长。
答案
(1) 证明：
连接OA，OB。
∵ OA、OB是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ A=∠ B$。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ 弧对应的圆心角相等，即$∠ AOE=∠ BOF$。
在$△ OAE$和$△ OBF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\OA=OB \\∠ AOE=∠ BOF\end{cases}$
∴ $△ OAE ≌ △ OF\ (\mathrm{ASA})$，
∴ $OE=OF$。
---
(2) 解：
∵ $ON ⊥ AB$，由垂径定理得：
$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
设$OM=x$，
∵ $ON$是$\odot O$的半径，$MN=2$，
∴ 半径$OA=ON=OM+MN=x+2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理：
$OM^2 + AM^2 = OA^2$
代入得：
$x^2 + 4^2 = (x+2)^2$
展开化简：
$x^2 + 16 = x^2 + 4x + 4$
$4x=12$
解得$x=3$。
答：$OM$的长为$\boldsymbol{3}$。
连接OA，OB。
∵ OA、OB是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ A=∠ B$。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ 弧对应的圆心角相等，即$∠ AOE=∠ BOF$。
在$△ OAE$和$△ OBF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\OA=OB \\∠ AOE=∠ BOF\end{cases}$
∴ $△ OAE ≌ △ OF\ (\mathrm{ASA})$，
∴ $OE=OF$。
---
(2) 解：
∵ $ON ⊥ AB$，由垂径定理得：
$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
设$OM=x$，
∵ $ON$是$\odot O$的半径，$MN=2$，
∴ 半径$OA=ON=OM+MN=x+2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理：
$OM^2 + AM^2 = OA^2$
代入得：
$x^2 + 4^2 = (x+2)^2$
展开化简：
$x^2 + 16 = x^2 + 4x + 4$
$4x=12$
解得$x=3$。
答：$OM$的长为$\boldsymbol{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证$OE=OF$，可通过证明两条线段所在的$△ OAE$和$△ OBF$全等来推导。首先连接$OA$、$OB$，同圆的半径相等可得$OA=OB$，进而推出$∠ A=∠ B$；再根据等弧对应的圆心角相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$得到$∠ AOE=∠ BOF$，即可用ASA判定两个三角形全等，从而得到$OE=OF$。
(2) 已知$ON⊥ AB$，首先根据垂径定理求出$AM$的长度；设$OM=x$，结合$MN=2$可以表示出$\odot O$的半径$OA$，再在$\mathrm{Rt}△ OAM$中利用勾股定理列方程求解，即可得到$OM$的长。
【解析】
(1) 证明：
连接$OA$，$OB$。
∵ $OA$、$OB$是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ A=∠ B$。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ 等弧对应的圆心角相等，即$∠ AOE=∠ BOF$。
在$△ OAE$和$△ OBF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\OA=OB \\∠ AOE=∠ BOF\end{cases}$
∴ $△ OAE ≌ △ OBF\ (\mathrm{ASA})$，
∴ $OE=OF$。
(2) 解：
∵ $ON ⊥ AB$，由垂径定理得：
$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
设$OM=x$，
∵ $ON$是$\odot O$的半径，$MN=2$，
∴ 半径$OA=ON=OM+MN=x+2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理：
$OM^2 + AM^2 = OA^2$
代入得：
$x^2 + 4^2 = (x+2)^2$
展开化简：
$x^2 + 16 = x^2 + 4x + 4$
$4x=12$
解得$x=3$。
【答案】
(1) 证明见解析，$OE=OF$成立；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础常考题，第一问结合弧与圆心角的关系构造全等三角形证明线段相等，第二问利用垂径定理结合方程思想、勾股定理求解线段长度，解题时要熟练掌握圆的基本性质，学会合理设未知数列方程求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$OE=OF$，可通过证明两条线段所在的$△ OAE$和$△ OBF$全等来推导。首先连接$OA$、$OB$，同圆的半径相等可得$OA=OB$，进而推出$∠ A=∠ B$；再根据等弧对应的圆心角相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$得到$∠ AOE=∠ BOF$，即可用ASA判定两个三角形全等，从而得到$OE=OF$。
(2) 已知$ON⊥ AB$，首先根据垂径定理求出$AM$的长度；设$OM=x$，结合$MN=2$可以表示出$\odot O$的半径$OA$，再在$\mathrm{Rt}△ OAM$中利用勾股定理列方程求解，即可得到$OM$的长。
【解析】
(1) 证明：
连接$OA$，$OB$。
∵ $OA$、$OB$是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ A=∠ B$。
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ 等弧对应的圆心角相等，即$∠ AOE=∠ BOF$。
在$△ OAE$和$△ OBF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\OA=OB \\∠ AOE=∠ BOF\end{cases}$
∴ $△ OAE ≌ △ OBF\ (\mathrm{ASA})$，
∴ $OE=OF$。
(2) 解：
∵ $ON ⊥ AB$，由垂径定理得：
$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
设$OM=x$，
∵ $ON$是$\odot O$的半径，$MN=2$，
∴ 半径$OA=ON=OM+MN=x+2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理：
$OM^2 + AM^2 = OA^2$
代入得：
$x^2 + 4^2 = (x+2)^2$
展开化简：
$x^2 + 16 = x^2 + 4x + 4$
$4x=12$
解得$x=3$。
【答案】
(1) 证明见解析，$OE=OF$成立；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础常考题，第一问结合弧与圆心角的关系构造全等三角形证明线段相等，第二问利用垂径定理结合方程思想、勾股定理求解线段长度，解题时要熟练掌握圆的基本性质，学会合理设未知数列方程求解。
【难度系数】
0.7
14. (★★★)如图,在$\odot O$中,弦$AD$,$BC$相交于点$E$,连接$OE$,已知$AD=BC$,$AD ⊥ CB$.
(1)求证:$AB=CD$;
(2)如果$\odot O$的半径长为$5$,$DE=1$,求$AE$的长.
(1)求证:$AB=CD$;
(2)如果$\odot O$的半径长为$5$,$DE=1$,求$AE$的长.
答案
(1) 证明：
在$\odot O$中，$\because AD=BC$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}$，
即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore AB=CD$。
---
(2) 解：
过点$O$作$OF⊥ AD$于点$F$，$OG⊥ BC$于点$G$，
根据垂径定理得：$AF=FD$，$BG=GC$。
$\because AD=BC$，
$\therefore OF=OG$，
又$\because AD⊥ CB$，$∠ OFE=∠ OGE=90°$，
$\therefore$ 四边形$OGEF$是正方形，
$\therefore OF=EF$。
设$AE=x$，$\because DE=1$，
$\therefore AD=AE+DE=x+1$，
$\therefore AF=\frac{1}{2}AD=\frac{x+1}{2}$，
$EF=|AF-AE|=\left|\frac{x+1}{2}-x\right|=\frac{x-1}{2}$，即$OF=\frac{x-1}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAF$中，$OA=5$，由勾股定理：
$OA^2=AF^2+OF^2$
代入得：
$5^2=(\frac{x+1}{2})^2+(\frac{x-1}{2})^2$
整理得：
$25=\frac{x^2+2x+1+x^2-2x+1}{4}$
$x^2+1=50$
$x^2=49$
$\because x＞0$，$\therefore x=7$，即$AE=7$。
答：$AE$的长为$\boldsymbol{7}$。
在$\odot O$中，$\because AD=BC$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}$，
即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore AB=CD$。
---
(2) 解：
过点$O$作$OF⊥ AD$于点$F$，$OG⊥ BC$于点$G$，
根据垂径定理得：$AF=FD$，$BG=GC$。
$\because AD=BC$，
$\therefore OF=OG$，
又$\because AD⊥ CB$，$∠ OFE=∠ OGE=90°$，
$\therefore$ 四边形$OGEF$是正方形，
$\therefore OF=EF$。
设$AE=x$，$\because DE=1$，
$\therefore AD=AE+DE=x+1$，
$\therefore AF=\frac{1}{2}AD=\frac{x+1}{2}$，
$EF=|AF-AE|=\left|\frac{x+1}{2}-x\right|=\frac{x-1}{2}$，即$OF=\frac{x-1}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAF$中，$OA=5$，由勾股定理：
$OA^2=AF^2+OF^2$
代入得：
$5^2=(\frac{x+1}{2})^2+(\frac{x-1}{2})^2$
整理得：
$25=\frac{x^2+2x+1+x^2-2x+1}{4}$
$x^2+1=50$
$x^2=49$
$\because x＞0$，$\therefore x=7$，即$AE=7$。
答：$AE$的长为$\boldsymbol{7}$。
解析
【分析】
（1）要证明$AB=CD$，根据圆中等弧对等弦的性质，只需证明$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$即可。已知$AD=BC$，由等弦对等弧可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，两段弧同时减去公共的$\overset{\frown}{BD}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，从而得证。
（2）要求$AE$的长度，结合已知条件考虑用垂径定理求解：过圆心$O$作两条弦的垂线，由垂径定理可得垂足平分弦，再结合$AD=BC$可知两条弦的弦心距相等；结合$AD⊥ CB$的条件可证得弦心距与两条弦围成的四边形是正方形，即弦心距等于$EF$的长度。设$AE=x$，用含$x$的式子表示出$AF$和$OF$的长度，再在直角三角形$OAF$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
在$\odot O$中，$\because AD=BC$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$（等弦对等弧），
$\therefore \overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}$，
即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore AB=CD$（等弧对等弦）。
(2) 解：
过点$O$作$OF⊥ AD$于点$F$，$OG⊥ BC$于点$G$，
根据垂径定理得：$AF=FD$，$BG=GC$。
$\because AD=BC$，
$\therefore OF=OG$（等弦对应的弦心距相等），
又$\because AD⊥ CB$，$∠ OFE=∠ OGE=90°$，
$\therefore$ 四边形$OGEF$是矩形，又$OF=OG$，
$\therefore$ 四边形$OGEF$是正方形，
$\therefore OF=EF$。
设$AE=x$，$\because DE=1$，
$\therefore AD=AE+DE=x+1$，
$\therefore AF=\frac{1}{2}AD=\frac{x+1}{2}$，
$EF=AE-AF=x-\frac{x+1}{2}=\frac{x-1}{2}$，即$OF=\frac{x-1}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAF$中，$OA=5$，由勾股定理得：
$OA^2=AF^2+OF^2$
代入数值可得：
$5^2=(\frac{x+1}{2})^2+(\frac{x-1}{2})^2$
整理得：
$25=\frac{x^2+2x+1+x^2-2x+1}{4}$
$100=2x^2+2$
$x^2=49$
$\because x＞0$，$\therefore x=7$，即$AE=7$。
【答案】
(1) $AB=CD$得证；
(2) $\boldsymbol{AE=7}$
【知识点】
弧弦的关系、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与几何计算，作弦心距是解决圆中弦长相关问题的常用辅助线，解题过程中结合了正方形的判定与勾股定理，通过设未知数建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$AB=CD$，根据圆中等弧对等弦的性质，只需证明$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$即可。已知$AD=BC$，由等弦对等弧可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，两段弧同时减去公共的$\overset{\frown}{BD}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，从而得证。
（2）要求$AE$的长度，结合已知条件考虑用垂径定理求解：过圆心$O$作两条弦的垂线，由垂径定理可得垂足平分弦，再结合$AD=BC$可知两条弦的弦心距相等；结合$AD⊥ CB$的条件可证得弦心距与两条弦围成的四边形是正方形，即弦心距等于$EF$的长度。设$AE=x$，用含$x$的式子表示出$AF$和$OF$的长度，再在直角三角形$OAF$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
在$\odot O$中，$\because AD=BC$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$（等弦对等弧），
$\therefore \overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}$，
即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore AB=CD$（等弧对等弦）。
(2) 解：
过点$O$作$OF⊥ AD$于点$F$，$OG⊥ BC$于点$G$，
根据垂径定理得：$AF=FD$，$BG=GC$。
$\because AD=BC$，
$\therefore OF=OG$（等弦对应的弦心距相等），
又$\because AD⊥ CB$，$∠ OFE=∠ OGE=90°$，
$\therefore$ 四边形$OGEF$是矩形，又$OF=OG$，
$\therefore$ 四边形$OGEF$是正方形，
$\therefore OF=EF$。
设$AE=x$，$\because DE=1$，
$\therefore AD=AE+DE=x+1$，
$\therefore AF=\frac{1}{2}AD=\frac{x+1}{2}$，
$EF=AE-AF=x-\frac{x+1}{2}=\frac{x-1}{2}$，即$OF=\frac{x-1}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAF$中，$OA=5$，由勾股定理得：
$OA^2=AF^2+OF^2$
代入数值可得：
$5^2=(\frac{x+1}{2})^2+(\frac{x-1}{2})^2$
整理得：
$25=\frac{x^2+2x+1+x^2-2x+1}{4}$
$100=2x^2+2$
$x^2=49$
$\because x＞0$，$\therefore x=7$，即$AE=7$。
【答案】
(1) $AB=CD$得证；
(2) $\boldsymbol{AE=7}$
【知识点】
弧弦的关系、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与几何计算，作弦心距是解决圆中弦长相关问题的常用辅助线，解题过程中结合了正方形的判定与勾股定理，通过设未知数建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
