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13. (★★★)某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时,把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中.如图①,在实验中发现,水对容器底部的压强p(单位:Pa)与容器底面积S(单位:cm²)成反比例函数关系.
(1)把一定质量的水放入底面积为40 cm²的容器时,压强是1 500 Pa,求压强p关于底面积S的函数解析式;
(2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器,底面积S的调节取值范围是25≤S≤50,请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强p的取值范围;
(3)如图②,现将一个密度均匀的实心正方体金属块B浸没在水中(水不溢出),容器内水与容器底面接触面积变为原来的$\frac{4}{5}$,此时水对容器底部的压强比原来增加了200 Pa,求原来容器的底面积S.
(1)把一定质量的水放入底面积为40 cm²的容器时,压强是1 500 Pa,求压强p关于底面积S的函数解析式;
(2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器,底面积S的调节取值范围是25≤S≤50,请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强p的取值范围;
(3)如图②,现将一个密度均匀的实心正方体金属块B浸没在水中(水不溢出),容器内水与容器底面接触面积变为原来的$\frac{4}{5}$,此时水对容器底部的压强比原来增加了200 Pa,求原来容器的底面积S.
答案
解：
(1) 设压强$p$关于底面积$S$的函数解析式为$p=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0)$，
将$S=40$，$p=1500$代入得：
$1500=\frac{k}{40}$，解得$k=60000$，
∴ 压强$p$关于底面积$S$的函数解析式为$\boldsymbol{p=\frac{60000}{S}(S＞0)}$。
(2) ∵ $k=60000＞0$，
∴ 当$S＞0$时，$p$随$S$的增大而减小，
当$S=25$时，$p=\frac{60000}{25}=2400$，
当$S=50$时，$p=\frac{60000}{50}=1200$，
∴ 底面积$25≤ S≤50$时，压强$p$的取值范围是$\boldsymbol{1200≤ p≤2400}$。
(3) 设原来水对容器底部的压强为$p$，放入金属块后水的压强为$p+200$，
由水的重力不变，水对容器底面的压力等于水的重力，可得：
$p· S=(p+200)· \frac{4}{5}S$，
∵ $S＞0$，两边同时除以$S$得：
$p=\frac{4}{5}(p+200)$，
解得$p=800$，
将$p=800$代入$p=\frac{60000}{S}$，得：
$800=\frac{60000}{S}$，
解得$S=75$。
∴ 原来容器的底面积为$\boldsymbol{75\ \mathrm{cm}^2}$。
(1) 设压强$p$关于底面积$S$的函数解析式为$p=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0)$，
将$S=40$，$p=1500$代入得：
$1500=\frac{k}{40}$，解得$k=60000$，
∴ 压强$p$关于底面积$S$的函数解析式为$\boldsymbol{p=\frac{60000}{S}(S＞0)}$。
(2) ∵ $k=60000＞0$，
∴ 当$S＞0$时，$p$随$S$的增大而减小，
当$S=25$时，$p=\frac{60000}{25}=2400$，
当$S=50$时，$p=\frac{60000}{50}=1200$，
∴ 底面积$25≤ S≤50$时，压强$p$的取值范围是$\boldsymbol{1200≤ p≤2400}$。
(3) 设原来水对容器底部的压强为$p$，放入金属块后水的压强为$p+200$，
由水的重力不变，水对容器底面的压力等于水的重力，可得：
$p· S=(p+200)· \frac{4}{5}S$，
∵ $S＞0$，两边同时除以$S$得：
$p=\frac{4}{5}(p+200)$，
解得$p=800$，
将$p=800$代入$p=\frac{60000}{S}$，得：
$800=\frac{60000}{S}$，
解得$S=75$。
∴ 原来容器的底面积为$\boldsymbol{75\ \mathrm{cm}^2}$。
解析
【分析】
(1) 题目明确压强p与底面积S成反比例函数关系，首先设反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0)$，再将已知的S=40、p=1500代入解析式求出常数k，即可得到p关于S的函数解析式，注意标注自变量S的取值范围。
(2) 根据反比例函数系数k的正负判断增减性：k＞0时，S＞0区间内p随S的增大而减小，因此将S取值范围的两个端点分别代入解析式，求出对应的p值，即可得到p的取值范围。
(3) 解题核心是抓住不变量：水的重力不变，因此水对容器底部的压力始终等于水的重力，即放入金属块前后水对容器底的压力相等，据此列方程求出原来的压强p后，代入第一问的函数解析式即可求出原底面积S。
【解析】
(1) 设压强$p$关于底面积$S$的函数解析式为$p=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0)$，
将$S=40$，$p=1500$代入得：
$1500=\frac{k}{40}$，解得$k=60000$，
∴ 压强$p$关于底面积$S$的函数解析式为$p=\frac{60000}{S}(S＞0)$。
(2)
∵ $k=60000＞0$，
∴ 当$S＞0$时，$p$随$S$的增大而减小，
当$S=25$时，$p=\frac{60000}{25}=2400$，
当$S=50$时，$p=\frac{60000}{50}=1200$，
∴ 底面积$25≤ S≤50$时，压强$p$的取值范围是$1200≤ p≤2400$。
(3) 设原来水对容器底部的压强为$p$，放入金属块后水的压强为$p+200$，
由水的重力不变，水对容器底面的压力等于水的重力，可得：
$p· S=(p+200)· \frac{4}{5}S$，
∵ $S＞0$，两边同时除以$S$得：
$p=\frac{4}{5}(p+200)$，
解得$p=800$，
将$p=800$代入$p=\frac{60000}{S}$，得：
$800=\frac{60000}{S}$，
解得$S=75$，经检验符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{p=\frac{60000}{S}(S＞0)}$；
(2) $\boldsymbol{1200≤ p≤2400}$；
(3) $\boldsymbol{75\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数的性质，反比例函数实际应用
【点评】
本题是跨学科综合题，结合物理液体压强知识考查反比例函数的应用，解题的关键是准确把握反比例函数的性质，找到题目中的不变量建立等量关系，既考查了基础知识点的掌握情况，也锻炼了信息提取和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 题目明确压强p与底面积S成反比例函数关系，首先设反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0)$，再将已知的S=40、p=1500代入解析式求出常数k，即可得到p关于S的函数解析式，注意标注自变量S的取值范围。
(2) 根据反比例函数系数k的正负判断增减性：k＞0时，S＞0区间内p随S的增大而减小，因此将S取值范围的两个端点分别代入解析式，求出对应的p值，即可得到p的取值范围。
(3) 解题核心是抓住不变量：水的重力不变，因此水对容器底部的压力始终等于水的重力，即放入金属块前后水对容器底的压力相等，据此列方程求出原来的压强p后，代入第一问的函数解析式即可求出原底面积S。
【解析】
(1) 设压强$p$关于底面积$S$的函数解析式为$p=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0)$，
将$S=40$，$p=1500$代入得：
$1500=\frac{k}{40}$，解得$k=60000$，
∴ 压强$p$关于底面积$S$的函数解析式为$p=\frac{60000}{S}(S＞0)$。
(2)
∵ $k=60000＞0$，
∴ 当$S＞0$时，$p$随$S$的增大而减小，
当$S=25$时，$p=\frac{60000}{25}=2400$，
当$S=50$时，$p=\frac{60000}{50}=1200$，
∴ 底面积$25≤ S≤50$时，压强$p$的取值范围是$1200≤ p≤2400$。
(3) 设原来水对容器底部的压强为$p$，放入金属块后水的压强为$p+200$，
由水的重力不变，水对容器底面的压力等于水的重力，可得：
$p· S=(p+200)· \frac{4}{5}S$，
∵ $S＞0$，两边同时除以$S$得：
$p=\frac{4}{5}(p+200)$，
解得$p=800$，
将$p=800$代入$p=\frac{60000}{S}$，得：
$800=\frac{60000}{S}$，
解得$S=75$，经检验符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{p=\frac{60000}{S}(S＞0)}$；
(2) $\boldsymbol{1200≤ p≤2400}$；
(3) $\boldsymbol{75\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数的性质，反比例函数实际应用
【点评】
本题是跨学科综合题，结合物理液体压强知识考查反比例函数的应用，解题的关键是准确把握反比例函数的性质，找到题目中的不变量建立等量关系，既考查了基础知识点的掌握情况，也锻炼了信息提取和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
