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8.【综合实践】
在平面内,我们知道:两点之间,线段最短。善于思考的小亮同学主动探究了立体图形中的有关知识。
【问题背景】
如图,一只蚂蚁在正方体的一个顶点A处,沿表面爬行至正方体表面某处,如何选取最短路径?
【探究发现】
把蚂蚁看作一个点,目标处也看作一个点,利用我们所学的“两点之间,线段最短”解决问题。
(1)自顶点A出发,如何选取路径,确保到达点B的路线最短?
(2)自顶点A出发,如何选取路径,确保到达点C的路线最短?
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
在平面内,我们知道:两点之间,线段最短。善于思考的小亮同学主动探究了立体图形中的有关知识。
【问题背景】
如图,一只蚂蚁在正方体的一个顶点A处,沿表面爬行至正方体表面某处,如何选取最短路径?
【探究发现】
把蚂蚁看作一个点,目标处也看作一个点,利用我们所学的“两点之间,线段最短”解决问题。
(1)自顶点A出发,如何选取路径,确保到达点B的路线最短?
(2)自顶点A出发,如何选取路径,确保到达点C的路线最短?
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
(1)连接AB,即为路径。
(2)如图,连接的AC'即为路径(答案不唯一)。
解析
【分析】
解题思路围绕“两点之间线段最短”的适用条件（同一平面内）展开：
1. 解决第(1)问时，先观察A、B两点的位置，发现两点在正方体的同一个表面上，符合线段最短原理的使用条件，直接连线即可得到最短路径。
2. 解决第(2)问时，首先注意到蚂蚁沿正方体表面爬行，A和C不在同一个表面上，无法直接连线段，因此需要把包含A的面和包含C的相邻面展开成同一个平面，把立体问题转化为平面问题，此时C点在展开平面上有对应点，再用两点之间线段最短连线，得到的线段对应到正方体表面就是最短路径，因为面的展开方式不唯一，所以最短路径也不唯一。
【解析】
(1) 观察可得点A和点B位于正方体的同一个上表面内，根据“两点之间，线段最短”的性质，直接连接线段AB，沿AB爬行的路线就是到达点B的最短路径。
(2) 点A和点C不在正方体的同一个表面上，因此将包含点A的面和包含点C的相邻面展开到同一平面内，点C在展开后的平面内的对应点记为C'，根据“两点之间，线段最短”，连接AC'，该线段就是展开平面内的最短路径，对应到正方体表面上，沿这条线段爬行（经过两个面的交线处转折）就是从A到C的最短路径；由于正方体相邻面的展开方式有多种，因此最短路径不唯一。
【答案】
(1)连接AB,即为路径。
(2)如图,连接的AC'即为路径(答案不唯一)。
【知识点】
两点之间线段最短；立体图形表面展开
【点评】
本题结合生活中的爬行路径问题，考查了线段性质的应用和立体图形的展开，核心解题思想是化立体为平面，将陌生的立体路径问题转化为已经掌握的平面线段问题，有助于提升空间想象能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路围绕“两点之间线段最短”的适用条件（同一平面内）展开：
1. 解决第(1)问时，先观察A、B两点的位置，发现两点在正方体的同一个表面上，符合线段最短原理的使用条件，直接连线即可得到最短路径。
2. 解决第(2)问时，首先注意到蚂蚁沿正方体表面爬行，A和C不在同一个表面上，无法直接连线段，因此需要把包含A的面和包含C的相邻面展开成同一个平面，把立体问题转化为平面问题，此时C点在展开平面上有对应点，再用两点之间线段最短连线，得到的线段对应到正方体表面就是最短路径，因为面的展开方式不唯一，所以最短路径也不唯一。
【解析】
(1) 观察可得点A和点B位于正方体的同一个上表面内，根据“两点之间，线段最短”的性质，直接连接线段AB，沿AB爬行的路线就是到达点B的最短路径。
(2) 点A和点C不在正方体的同一个表面上，因此将包含点A的面和包含点C的相邻面展开到同一平面内，点C在展开后的平面内的对应点记为C'，根据“两点之间，线段最短”，连接AC'，该线段就是展开平面内的最短路径，对应到正方体表面上，沿这条线段爬行（经过两个面的交线处转折）就是从A到C的最短路径；由于正方体相邻面的展开方式有多种，因此最短路径不唯一。
【答案】
(1)连接AB,即为路径。
(2)如图,连接的AC'即为路径(答案不唯一)。
【知识点】
两点之间线段最短；立体图形表面展开
【点评】
本题结合生活中的爬行路径问题，考查了线段性质的应用和立体图形的展开，核心解题思想是化立体为平面，将陌生的立体路径问题转化为已经掌握的平面线段问题，有助于提升空间想象能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
