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10. 跨学科·物理 某电路图如图①所示，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图②所示. 小明通过调节电阻，发现当R从10 Ω增加到20 Ω时，电功率P减少了20 W，则当R=25 Ω时，P=
16
W.答案
10.16
解析
【分析】
本题是跨学科应用题，已知电功率P与电阻R成反比例函数关系，解题思路如下：第一步，先根据反比例函数的定义设出P关于R的函数解析式；第二步，利用“R从10Ω增加到20Ω时P减少20W”的条件列方程，求出解析式中的未知常数，得到确定的函数表达式；第三步，将R=25Ω代入表达式，计算得到对应的P值。
【解析】
解：设P关于R的反比例函数解析式为$ P=\frac{k}{R} $（k为常数，$ k≠0 $）。
当$ R=10\Omega $时，$ P_1=\frac{k}{10} $；当$ R=20\Omega $时，$ P_2=\frac{k}{20} $。
由题意得$ P_1-P_2=20 $，代入得：
$ \frac{k}{10}-\frac{k}{20}=20 $
通分计算得$ \frac{k}{20}=20 $，解得$ k=400 $。
因此反比例函数解析式为$ P=\frac{400}{R} $。
当$ R=25\Omega $时，代入得$ P=\frac{400}{25}=16 $（W）。
【答案】
16
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合物理电学场景考查反比例函数的相关知识，解题的关键是正确设出反比例函数解析式，结合已知条件求出常数k，再代入求值，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题是跨学科应用题，已知电功率P与电阻R成反比例函数关系，解题思路如下：第一步，先根据反比例函数的定义设出P关于R的函数解析式；第二步，利用“R从10Ω增加到20Ω时P减少20W”的条件列方程，求出解析式中的未知常数，得到确定的函数表达式；第三步，将R=25Ω代入表达式，计算得到对应的P值。
【解析】
解：设P关于R的反比例函数解析式为$ P=\frac{k}{R} $（k为常数，$ k≠0 $）。
当$ R=10\Omega $时，$ P_1=\frac{k}{10} $；当$ R=20\Omega $时，$ P_2=\frac{k}{20} $。
由题意得$ P_1-P_2=20 $，代入得：
$ \frac{k}{10}-\frac{k}{20}=20 $
通分计算得$ \frac{k}{20}=20 $，解得$ k=400 $。
因此反比例函数解析式为$ P=\frac{400}{R} $。
当$ R=25\Omega $时，代入得$ P=\frac{400}{25}=16 $（W）。
【答案】
16
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合物理电学场景考查反比例函数的相关知识，解题的关键是正确设出反比例函数解析式，结合已知条件求出常数k，再代入求值，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
11.某小组进行漂洗实验,每次漂洗的衣服量和添加的洗衣粉量不变.实验发现,每次漂洗用水量$ m $(单位:L)一定时,衣服中残留的洗衣粉量$ y $(单位:g)与漂洗次数$ x $(单位:次)满足$ y=\frac{km + 2.5}{x} $($ k $为常数).已知使用5 L水,漂洗1次后,衣服中残留的洗衣粉量为2 g,请回答下列问题:
(1)求$ k $的值;
(2)如果每次用水5 L,要求漂洗后残留的洗衣粉量小于1.2 g,那么至少要漂洗
(1)求$ k $的值;
(2)如果每次用水5 L,要求漂洗后残留的洗衣粉量小于1.2 g,那么至少要漂洗
2
次.答案
11.解: (1)$-0.1$.(2)2
解析
【分析】
（1）求常数k时，可直接将已知的m=5、x=1、y=2代入给出的函数表达式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
（2）先将求出的k值和m=5代入原函数，得到y与x的函数关系式，再根据“残留洗衣粉量小于1.2g”列出不等式，解不等式得到x的取值范围，结合漂洗次数为正整数的实际要求，取最小的符合条件的正整数即可。
【解析】
(1) 把$m=5$，$x=1$，$y=2$代入$y=\frac{km + 2.5}{x}$，得：
$\displaystyle 2=\frac{5k + 2.5}{1}$
化简得$5k + 2.5 = 2$
解得$k=-0.1$
(2) 将$k=-0.1$，$m=5$代入$y=\frac{km + 2.5}{x}$，得：
$\displaystyle y=\frac{-0.1×5 + 2.5}{x}=\frac{2}{x}$
根据题意得$\frac{2}{x}＜1.2$，
∵x为正整数，
∴x＞0，不等式两边同乘x得：
$2＜1.2x$
解得$\displaystyle x＞\frac{2}{1.2}\approx1.67$
∵x为正整数，
∴x的最小值为2，即至少要漂洗2次。
【答案】
(1) $-0.1$；(2) $2$
【知识点】
待定系数法求参数，反比例函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际考查函数与不等式的综合应用，难度较低，解题时需注意结合实际意义，漂洗次数必须为正整数，因此要对计算结果取符合要求的最小正整数。
【难度系数】
0.8
（1）求常数k时，可直接将已知的m=5、x=1、y=2代入给出的函数表达式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
（2）先将求出的k值和m=5代入原函数，得到y与x的函数关系式，再根据“残留洗衣粉量小于1.2g”列出不等式，解不等式得到x的取值范围，结合漂洗次数为正整数的实际要求，取最小的符合条件的正整数即可。
【解析】
(1) 把$m=5$，$x=1$，$y=2$代入$y=\frac{km + 2.5}{x}$，得：
$\displaystyle 2=\frac{5k + 2.5}{1}$
化简得$5k + 2.5 = 2$
解得$k=-0.1$
(2) 将$k=-0.1$，$m=5$代入$y=\frac{km + 2.5}{x}$，得：
$\displaystyle y=\frac{-0.1×5 + 2.5}{x}=\frac{2}{x}$
根据题意得$\frac{2}{x}＜1.2$，
∵x为正整数，
∴x＞0，不等式两边同乘x得：
$2＜1.2x$
解得$\displaystyle x＞\frac{2}{1.2}\approx1.67$
∵x为正整数，
∴x的最小值为2，即至少要漂洗2次。
【答案】
(1) $-0.1$；(2) $2$
【知识点】
待定系数法求参数，反比例函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活实际考查函数与不等式的综合应用，难度较低，解题时需注意结合实际意义，漂洗次数必须为正整数，因此要对计算结果取符合要求的最小正整数。
【难度系数】
0.8
12. 数形结合思想 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一点，点B是y轴正半轴上一点，直线AB交反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象于点C，且$AB=BC$。若$△ AOC$的面积为2，则k的值为
4
。答案
12.4
解析
【分析】
解题时首先利用AB=BC得出B是AC中点，结合B在y轴上（横坐标为0）的特征，可推出点A与点C的横坐标互为相反数；接下来设出点C的坐标，即可得到点A的坐标；再根据△AOC的面积公式建立等式，求出点C横纵坐标的乘积；最后结合反比例函数解析式中k的意义，即可求出k的值。
【解析】
解：设点C的坐标为$(m,n)$（$m＞0,n＞0$）。
∵ $AB=BC$，点B在y轴上，
∴ B是线段AC的中点，点A的横坐标为$-m$。
∵ 点A在x轴上，
∴ $A(-m,0)$，$OA=m$。
∵ $△ AOC$的面积为2，
∴ $S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OA× n=\frac{1}{2}mn=2$，
解得 $mn=4$。
∵ 点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ $k=mn=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题的核心是利用中点性质找到点A、C的坐标关系，再结合面积公式和反比例函数的性质求解，较好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用AB=BC得出B是AC中点，结合B在y轴上（横坐标为0）的特征，可推出点A与点C的横坐标互为相反数；接下来设出点C的坐标，即可得到点A的坐标；再根据△AOC的面积公式建立等式，求出点C横纵坐标的乘积；最后结合反比例函数解析式中k的意义，即可求出k的值。
【解析】
解：设点C的坐标为$(m,n)$（$m＞0,n＞0$）。
∵ $AB=BC$，点B在y轴上，
∴ B是线段AC的中点，点A的横坐标为$-m$。
∵ 点A在x轴上，
∴ $A(-m,0)$，$OA=m$。
∵ $△ AOC$的面积为2，
∴ $S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OA× n=\frac{1}{2}mn=2$，
解得 $mn=4$。
∵ 点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ $k=mn=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题的核心是利用中点性质找到点A、C的坐标关系，再结合面积公式和反比例函数的性质求解，较好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
13. [2026合肥三模]若双曲线$y=\frac{2k-3}{x}$与直线$y=5x$没有交点，则$k$的取值范围是（
A.$k＞\frac{3}{2}$
B.$k＞\frac{2}{3}$
C.$k＜\frac{1}{2}$
D.$k＜\frac{3}{2}$
D
）A.$k＞\frac{3}{2}$
B.$k＞\frac{2}{3}$
C.$k＜\frac{1}{2}$
D.$k＜\frac{3}{2}$
答案
13.D
解析
【分析】
要解决反比例函数与直线无交点的问题，可将交点问题转化为联立方程有无实数解的问题：首先把两个函数解析式联立消去y，得到关于x的方程，结合x²的非负性分析方程无解的条件，进而解不等式得到k的取值范围；也可通过判断两个函数的图像所在象限是否重合快速解题。
【解析】
联立双曲线与直线的解析式：
$\begin{cases} y=\frac{2k-3}{x} \\ y=5x \end{cases}$
将$y=5x$代入反比例函数解析式，得：
$5x=\frac{2k-3}{x}$
$\because$ 反比例函数中$x≠0$，两边同时乘$x$得：
$5x^2=2k-3$
整理得：$x^2=\frac{2k-3}{5}$
$\because$ 两个函数图像没有交点，$\therefore$ 该方程无实数解
又$\because$ 对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此只有当$\frac{2k-3}{5}＜0$时方程无解
解不等式$\frac{2k-3}{5}＜0$：
两边同乘5得：$2k-3＜0$
移项得：$2k＜3$
解得：$k＜\frac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
反比例函数性质、函数交点与方程解的关系、一元一次不等式解法
【点评】
本题是反比例函数部分的常考基础题型，除了联立方程的方法外，也可通过象限特征快速判断：正比例函数$y=5x$过第一、三象限，若双曲线与其无交点，则双曲线需过第二、四象限，即反比例系数$2k-3＜0$，可直接得到k的取值范围，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.75
要解决反比例函数与直线无交点的问题，可将交点问题转化为联立方程有无实数解的问题：首先把两个函数解析式联立消去y，得到关于x的方程，结合x²的非负性分析方程无解的条件，进而解不等式得到k的取值范围；也可通过判断两个函数的图像所在象限是否重合快速解题。
【解析】
联立双曲线与直线的解析式：
$\begin{cases} y=\frac{2k-3}{x} \\ y=5x \end{cases}$
将$y=5x$代入反比例函数解析式，得：
$5x=\frac{2k-3}{x}$
$\because$ 反比例函数中$x≠0$，两边同时乘$x$得：
$5x^2=2k-3$
整理得：$x^2=\frac{2k-3}{5}$
$\because$ 两个函数图像没有交点，$\therefore$ 该方程无实数解
又$\because$ 对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，因此只有当$\frac{2k-3}{5}＜0$时方程无解
解不等式$\frac{2k-3}{5}＜0$：
两边同乘5得：$2k-3＜0$
移项得：$2k＜3$
解得：$k＜\frac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
反比例函数性质、函数交点与方程解的关系、一元一次不等式解法
【点评】
本题是反比例函数部分的常考基础题型，除了联立方程的方法外，也可通过象限特征快速判断：正比例函数$y=5x$过第一、三象限，若双曲线与其无交点，则双曲线需过第二、四象限，即反比例系数$2k-3＜0$，可直接得到k的取值范围，解题时可灵活选择方法。
【难度系数】
0.75
14. [2025安徽中考]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=ax+4(a≠0)$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于$A,B$两点.已知点$A$和$B$的横坐标分别为6和2.
(1)求$a$与$k$的值;
(2)设直线$AB$与$x$轴、$y$轴的交点分别为$C,D$,求$△ COD$的面积.
(1)求$a$与$k$的值;
(2)设直线$AB$与$x$轴、$y$轴的交点分别为$C,D$,求$△ COD$的面积.
答案
14.解: (1)由题意得$\begin{cases}6a+4=\frac{k}{6},\\2a+4=\frac{k}{2},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\k=6.\end{cases}$
(2)16.
(2)16.
解析
【分析】
(1) 因为点A、B是一次函数与反比例函数的公共交点，所以两点的坐标同时满足两个函数的解析式。已知两点的横坐标，将横坐标分别代入两个解析式，对应函数值相等，即可得到关于a和k的二元一次方程组，解方程组即可求出两个参数的值。
(2) 先根据第一问求得的a值确定一次函数的完整解析式，分别令x=0、y=0，计算对应的y、x值，即可得到D、C两点的坐标，进而得到OC、OD的长度。△COD是以O为直角顶点的直角三角形，利用直角三角形面积公式即可求出其面积。
【解析】
(1) 由题意，点A、B的横坐标分别为6和2，且两点同时在一次函数和反比例函数图象上，因此可得方程组：
$\begin{cases}6a+4=\frac{k}{6}\\2a+4=\frac{k}{2}\end{cases}$
将第二个方程两边同时乘2得：$4a+8=k$，将其代入第一个方程：
$6a+4=\frac{4a+8}{6}$，两边乘6得$36a+24=4a+8$，
移项合并同类项得$32a=-16$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
将$a=-\frac{1}{2}$代入$4a+8=k$，得$k=4×(-\frac{1}{2})+8=6$。
(2) 由(1)可知一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$，
令$x=0$，得$y=4$，即点D坐标为$(0,4)$，$OD=4$；
令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+4$，解得$x=8$，即点C坐标为$(8,0)$，$OC=8$；
∵∠COD=90°，
∴$S_{△ COD}=\frac{1}{2}× OC× OD=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=-\frac{1}{2},k=6}$；(2) $\boldsymbol{16}$
【知识点】
1. 函数交点性质
2. 待定系数法
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是掌握函数交点的坐标特征，熟练运用待定系数法求参数，结合一次函数与坐标轴的交点特征计算几何图形面积，是函数模块的常规考察题型。
【难度系数】
0.7
(1) 因为点A、B是一次函数与反比例函数的公共交点，所以两点的坐标同时满足两个函数的解析式。已知两点的横坐标，将横坐标分别代入两个解析式，对应函数值相等，即可得到关于a和k的二元一次方程组，解方程组即可求出两个参数的值。
(2) 先根据第一问求得的a值确定一次函数的完整解析式，分别令x=0、y=0，计算对应的y、x值，即可得到D、C两点的坐标，进而得到OC、OD的长度。△COD是以O为直角顶点的直角三角形，利用直角三角形面积公式即可求出其面积。
【解析】
(1) 由题意，点A、B的横坐标分别为6和2，且两点同时在一次函数和反比例函数图象上，因此可得方程组：
$\begin{cases}6a+4=\frac{k}{6}\\2a+4=\frac{k}{2}\end{cases}$
将第二个方程两边同时乘2得：$4a+8=k$，将其代入第一个方程：
$6a+4=\frac{4a+8}{6}$，两边乘6得$36a+24=4a+8$，
移项合并同类项得$32a=-16$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
将$a=-\frac{1}{2}$代入$4a+8=k$，得$k=4×(-\frac{1}{2})+8=6$。
(2) 由(1)可知一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$，
令$x=0$，得$y=4$，即点D坐标为$(0,4)$，$OD=4$；
令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+4$，解得$x=8$，即点C坐标为$(8,0)$，$OC=8$；
∵∠COD=90°，
∴$S_{△ COD}=\frac{1}{2}× OC× OD=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=-\frac{1}{2},k=6}$；(2) $\boldsymbol{16}$
【知识点】
1. 函数交点性质
2. 待定系数法
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是掌握函数交点的坐标特征，熟练运用待定系数法求参数，结合一次函数与坐标轴的交点特征计算几何图形面积，是函数模块的常规考察题型。
【难度系数】
0.7
