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9.【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则。在学习此内容时，掌握了法则，同时学会了分类思考。
【探索】
(1)若$ab=8$，则$a+b$的值为：①正数；②负数；③0。你认为结果可能是
(2)若$a+b=-6$，且$a,b$为整数，则$ab$的最大值为
【拓展】
(3)数轴上$A,B$两点分别对应有理数$a,b$，若$ab＜0$，试比较$a+b$与0的大小。
【探索】
(1)若$ab=8$，则$a+b$的值为：①正数；②负数；③0。你认为结果可能是
①②
（填序号）。(2)若$a+b=-6$，且$a,b$为整数，则$ab$的最大值为
9
。【拓展】
(3)数轴上$A,B$两点分别对应有理数$a,b$，若$ab＜0$，试比较$a+b$与0的大小。
答案
9. (1)①② 解析:因为ab=8,所以a,b同号。a,b同为正数时,a+b＞0;a,b同为负数时,a+b＜0;故答案为①②。
(2)9 解析:因为a+b=-6,要使ab最大,所以a,b同号,因为a+b=-6,所以a,b同为负数,因为a,b为整数,所以a,b分别为-1和-5,此时ab=5;或a,b分别为-2和-4,此时ab=8;或a,b分别为-3和-3,此时ab=9,5＜8＜9。故答案为9。
(3)因为ab＜0,所以a,b异号,①设a＞0,则b＜0;若|a|＞|b|,则a+b＞0;若|a|=|b|,则a+b=0;若|a|＜|b|,则a+b＜0;②设a＜0,则b＞0;若|a|＞|b|,则a+b＜0;若|a|=|b|,则a+b=0;若|a|＜|b|,则a+b＞0。综上所述,a＞0,b＜0时,若|a|＞|b|,则a+b＞0;若|a|=|b|,则a+b=0;若|a|＜|b|,则a+b＜0。a＜0,b＞0时,若|a|＞|b|,则a+b＜0;若|a|=|b|,则a+b=0;若|a|＜|b|,则a+b＞0。
(2)9 解析:因为a+b=-6,要使ab最大,所以a,b同号,因为a+b=-6,所以a,b同为负数,因为a,b为整数,所以a,b分别为-1和-5,此时ab=5;或a,b分别为-2和-4,此时ab=8;或a,b分别为-3和-3,此时ab=9,5＜8＜9。故答案为9。
(3)因为ab＜0,所以a,b异号,①设a＞0,则b＜0;若|a|＞|b|,则a+b＞0;若|a|=|b|,则a+b=0;若|a|＜|b|,则a+b＜0;②设a＜0,则b＞0;若|a|＞|b|,则a+b＜0;若|a|=|b|,则a+b=0;若|a|＜|b|,则a+b＞0。综上所述,a＞0,b＜0时,若|a|＞|b|,则a+b＞0;若|a|=|b|,则a+b=0;若|a|＜|b|,则a+b＜0。a＜0,b＞0时,若|a|＞|b|,则a+b＜0;若|a|=|b|,则a+b=0;若|a|＜|b|,则a+b＞0。
解析
【分析】
(1) 先根据ab=8判断a、b的符号关系：乘积为正说明两数同号，再分别讨论同为正、同为负时a+b的符号即可；
(2) 要使ab最大，根据乘法法则“同号得正、异号得负”，优先考虑a、b同号的情况，结合a+b=-6可知两数均为负整数，再列举所有和为-6的负整数组合，计算乘积找最大值即可；
(3) 由ab＜0可知a、b异号，此时a+b的符号由两数的绝对值大小决定，分a正b负、a负b正两类，再分别比较两数绝对值的大小判断和与0的关系即可。
【解析】
(1) 因为ab=8＞0，所以a、b同号：
①若a、b均为正数，两个正数相加和为正，即a+b＞0；
②若a、b均为负数，两个负数相加和为负，即a+b＜0；
同号的两个数和不可能为0，所以结果可能是①②。
(2) 要使ab的取值最大，根据有理数乘法法则，同号相乘为正，异号相乘为负，正数大于负数，因此a、b需同号；又因为a+b=-6＜0，所以a、b均为负整数。
列举所有和为-6的负整数组合：
当a=-1、b=-5时，ab=(-1)×(-5)=5；
当a=-2、b=-4时，ab=(-2)×(-4)=8；
当a=-3、b=-3时，ab=(-3)×(-3)=9；
因为5＜8＜9，所以ab的最大值为9。
(3) 因为ab＜0，所以a、b异号，分两种情况讨论：
① 若a＞0，b＜0：
当|a|＞|b|时，a+b＞0；
当|a|=|b|时，a+b=0；
当|a|＜|b|时，a+b＜0。
② 若a＜0，b＞0：
当|a|＞|b|时，a+b＜0；
当|a|=|b|时，a+b=0；
当|a|＜|b|时，a+b＞0。
【答案】
(1) ①②；(2) 9；(3) 当a＞0，b＜0时，若|a|＞|b|则a+b＞0，若|a|=|b|则a+b=0，若|a|＜|b|则a+b＜0；当a＜0，b＞0时，若|a|＞|b|则a+b＜0，若|a|=|b|则a+b=0，若|a|＜|b|则a+b＞0。
【知识点】
有理数乘法法则，有理数加法法则，分类讨论思想
【点评】
本题围绕有理数加减、乘法的基础运算规则设置，既考查对核心法则的理解应用，也要求能根据符号特征合理分类讨论不同情况，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据ab=8判断a、b的符号关系：乘积为正说明两数同号，再分别讨论同为正、同为负时a+b的符号即可；
(2) 要使ab最大，根据乘法法则“同号得正、异号得负”，优先考虑a、b同号的情况，结合a+b=-6可知两数均为负整数，再列举所有和为-6的负整数组合，计算乘积找最大值即可；
(3) 由ab＜0可知a、b异号，此时a+b的符号由两数的绝对值大小决定，分a正b负、a负b正两类，再分别比较两数绝对值的大小判断和与0的关系即可。
【解析】
(1) 因为ab=8＞0，所以a、b同号：
①若a、b均为正数，两个正数相加和为正，即a+b＞0；
②若a、b均为负数，两个负数相加和为负，即a+b＜0；
同号的两个数和不可能为0，所以结果可能是①②。
(2) 要使ab的取值最大，根据有理数乘法法则，同号相乘为正，异号相乘为负，正数大于负数，因此a、b需同号；又因为a+b=-6＜0，所以a、b均为负整数。
列举所有和为-6的负整数组合：
当a=-1、b=-5时，ab=(-1)×(-5)=5；
当a=-2、b=-4时，ab=(-2)×(-4)=8；
当a=-3、b=-3时，ab=(-3)×(-3)=9；
因为5＜8＜9，所以ab的最大值为9。
(3) 因为ab＜0，所以a、b异号，分两种情况讨论：
① 若a＞0，b＜0：
当|a|＞|b|时，a+b＞0；
当|a|=|b|时，a+b=0；
当|a|＜|b|时，a+b＜0。
② 若a＜0，b＞0：
当|a|＞|b|时，a+b＜0；
当|a|=|b|时，a+b=0；
当|a|＜|b|时，a+b＞0。
【答案】
(1) ①②；(2) 9；(3) 当a＞0，b＜0时，若|a|＞|b|则a+b＞0，若|a|=|b|则a+b=0，若|a|＜|b|则a+b＜0；当a＜0，b＞0时，若|a|＞|b|则a+b＜0，若|a|=|b|则a+b=0，若|a|＜|b|则a+b＞0。
【知识点】
有理数乘法法则，有理数加法法则，分类讨论思想
【点评】
本题围绕有理数加减、乘法的基础运算规则设置，既考查对核心法则的理解应用，也要求能根据符号特征合理分类讨论不同情况，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
10. 互不相等的四个整数的积为4,则这四个数的绝对值的和是 (
A.5
B.6
C.7
D.8
B
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案
10. B
解析
【分析】
解题时先根据有理数乘法的符号规律判断负数的个数特征，乘积为正数说明四个数中负数的个数是偶数个；再结合乘积为4的条件缩小四个整数的取值范围：由于4的绝对值较小，若存在绝对值大于2的整数，剩余数无法凑成互不相等的整数满足乘积要求，因此枚举符合条件的整数组合，最后计算绝对值的和即可。
【解析】
第一步：确定4的整数因数有±1、±2、±4。
第二步：排除不符合条件的因数：若选取±4，剩余3个互不相等的整数的乘积只能为±1，仅靠1和-1无法凑出3个互不相等的整数，因此排除±4，可选整数仅剩±1、±2，共4个互不相等的数。
第三步：验证乘积：$1×(-1)×2×(-2)=4$，完全符合题意。
第四步：计算绝对值的和：$|1|+|-1|+|2|+|-2|=1+1+2+2=6$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘法；绝对值计算；整数因数
【点评】
本题侧重考察有理数乘法规则的灵活运用，解题核心是根据乘积的数值特征缩小取值范围，通过排除法快速确定符合条件的整数组合，注意不要遗漏负整数的情况。
【难度系数】
0.7
解题时先根据有理数乘法的符号规律判断负数的个数特征，乘积为正数说明四个数中负数的个数是偶数个；再结合乘积为4的条件缩小四个整数的取值范围：由于4的绝对值较小，若存在绝对值大于2的整数，剩余数无法凑成互不相等的整数满足乘积要求，因此枚举符合条件的整数组合，最后计算绝对值的和即可。
【解析】
第一步：确定4的整数因数有±1、±2、±4。
第二步：排除不符合条件的因数：若选取±4，剩余3个互不相等的整数的乘积只能为±1，仅靠1和-1无法凑出3个互不相等的整数，因此排除±4，可选整数仅剩±1、±2，共4个互不相等的数。
第三步：验证乘积：$1×(-1)×2×(-2)=4$，完全符合题意。
第四步：计算绝对值的和：$|1|+|-1|+|2|+|-2|=1+1+2+2=6$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘法；绝对值计算；整数因数
【点评】
本题侧重考察有理数乘法规则的灵活运用，解题核心是根据乘积的数值特征缩小取值范围，通过排除法快速确定符合条件的整数组合，注意不要遗漏负整数的情况。
【难度系数】
0.7
11. 若$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，$x$的绝对值为4，则$a+b-cd+|x-1|$的值为
2或4
。答案
11. 2或4
解析
【分析】
解题时先回忆相反数、倒数、绝对值的基本性质，先推导得到a+b、cd、x的取值，再代入代数式计算。要注意绝对值为4的数有两个，需分两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
1. 根据相关性质求定值：
互为相反数的两个数和为0，已知a、b互为相反数，因此$\boldsymbol{a+b=0}$；
互为倒数的两个数乘积为1，已知c、d互为倒数，因此$\boldsymbol{cd=1}$；
绝对值为4的数有两个，已知x的绝对值为4，因此$\boldsymbol{x=4}$或$\boldsymbol{x=-4}$。
2. 分情况代入计算：
当$x=4$时，
$a+b-cd+|x-1|=0-1+|4-1|=0-1+3=2$；
当$x=-4$时，
$a+b-cd+|x-1|=0-1+|-4-1|=0-1+5=4$。
【答案】
2或4
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；绝对值的性质
【点评】
本题考查有理数基础概念的综合应用，解题的关键是牢记相反数、倒数、绝对值的性质，注意绝对值对应两个取值时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆相反数、倒数、绝对值的基本性质，先推导得到a+b、cd、x的取值，再代入代数式计算。要注意绝对值为4的数有两个，需分两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
1. 根据相关性质求定值：
互为相反数的两个数和为0，已知a、b互为相反数，因此$\boldsymbol{a+b=0}$；
互为倒数的两个数乘积为1，已知c、d互为倒数，因此$\boldsymbol{cd=1}$；
绝对值为4的数有两个，已知x的绝对值为4，因此$\boldsymbol{x=4}$或$\boldsymbol{x=-4}$。
2. 分情况代入计算：
当$x=4$时，
$a+b-cd+|x-1|=0-1+|4-1|=0-1+3=2$；
当$x=-4$时，
$a+b-cd+|x-1|=0-1+|-4-1|=0-1+5=4$。
【答案】
2或4
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；绝对值的性质
【点评】
本题考查有理数基础概念的综合应用，解题的关键是牢记相反数、倒数、绝对值的性质，注意绝对值对应两个取值时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12. 对于四个数“-6, -2, 1, 4”，列算式解决下列问题：
(1)求这四个数的和。
(2)在这四个数中选出两个数，并分别满足下列要求。
①这两个数相减的结果最小；
②这两个数相乘的结果最大。
(1)求这四个数的和。
(2)在这四个数中选出两个数，并分别满足下列要求。
①这两个数相减的结果最小；
②这两个数相乘的结果最大。
答案
12. (1)根据题意得-6+(-2)+1+4=-3。
(2)①根据最小有理数减去最大有理数,结果最小得-6-4=-10,此时结果最小。所以选-6,4;
②因为-6×(-2)=12,(-6)×1=-6,(-6)×4=-24,(-2)×1=-2,(-2)×4=-8,1×4=4,又因为-24＜-8＜-6＜-2＜4＜12,所以选-6,-2。
(2)①根据最小有理数减去最大有理数,结果最小得-6-4=-10,此时结果最小。所以选-6,4;
②因为-6×(-2)=12,(-6)×1=-6,(-6)×4=-24,(-2)×1=-2,(-2)×4=-8,1×4=4,又因为-24＜-8＜-6＜-2＜4＜12,所以选-6,-2。
解析
【分析】
(1) 求四个数的和，直接将四个数相加，按照有理数加法的运算规则计算即可。
(2) ①要使两个数相减的结果最小，根据“差=被减数-减数”的运算关系，当被减数取最小值、减数取最大值时，差最小，先找到四个数中的最小数和最大数再计算即可。
②要使两个数相乘的结果最大，根据有理数乘法“同号得正、异号得负，正数大于负数”的规则，只需对比两组同号数的乘积大小即可，也可以枚举所有两数相乘的结果排序后选择。
【解析】
(1) 根据题意列加法算式计算：
$\begin{aligned}-6+(-2)+1+4&=-8+1+4\\&=-7+4\\&=-3\end{aligned}$
(2) ①四个数中最小的数是$-6$，最大的数是$4$，代入计算得：
$-6-4=-10$，即相减的最小结果为$-10$，所选数为$-6$和$4$。
②枚举所有两数相乘的结果：
$-6×(-2)=12$，$-6×1=-6$，$-6×4=-24$，$-2×1=-2$，$-2×4=-8$，$1×4=4$
将结果排序得：$-24＜-8＜-6＜-2＜4＜12$，可知最大乘积为$12$，所选数为$-6$和$-2$。
【答案】
(1) $-3$；
(2) ①选$-6$、$4$，最小差为$-10$；②选$-6$、$-2$，最大乘积为$12$。
【知识点】
有理数加法运算，有理数减法运算，有理数乘法运算
【点评】
本题考查有理数基础运算法则的应用，解决运算最值类问题时，可先结合运算性质确定选数方向，再通过计算验证结果，熟练掌握运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
(1) 求四个数的和，直接将四个数相加，按照有理数加法的运算规则计算即可。
(2) ①要使两个数相减的结果最小，根据“差=被减数-减数”的运算关系，当被减数取最小值、减数取最大值时，差最小，先找到四个数中的最小数和最大数再计算即可。
②要使两个数相乘的结果最大，根据有理数乘法“同号得正、异号得负，正数大于负数”的规则，只需对比两组同号数的乘积大小即可，也可以枚举所有两数相乘的结果排序后选择。
【解析】
(1) 根据题意列加法算式计算：
$\begin{aligned}-6+(-2)+1+4&=-8+1+4\\&=-7+4\\&=-3\end{aligned}$
(2) ①四个数中最小的数是$-6$，最大的数是$4$，代入计算得：
$-6-4=-10$，即相减的最小结果为$-10$，所选数为$-6$和$4$。
②枚举所有两数相乘的结果：
$-6×(-2)=12$，$-6×1=-6$，$-6×4=-24$，$-2×1=-2$，$-2×4=-8$，$1×4=4$
将结果排序得：$-24＜-8＜-6＜-2＜4＜12$，可知最大乘积为$12$，所选数为$-6$和$-2$。
【答案】
(1) $-3$；
(2) ①选$-6$、$4$，最小差为$-10$；②选$-6$、$-2$，最大乘积为$12$。
【知识点】
有理数加法运算，有理数减法运算，有理数乘法运算
【点评】
本题考查有理数基础运算法则的应用，解决运算最值类问题时，可先结合运算性质确定选数方向，再通过计算验证结果，熟练掌握运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
13. 某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入。下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
(1)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？
(2)求该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量。
(3)已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元。试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额。
(1)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？
(2)求该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量。
(3)已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元。试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额。
答案
13. (1)16-(-10)=26(个)。
答:本周产量最多的一天比最少的一天多生产26个工艺品。
(2)300×7+[5+(-2)+(-5)+15+(-10)+16+(-9)]=2100+10=2110(个)。
答:该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为2110个。
(3)由题意得,超额生产一个工艺品可多得50元,少生产一个扣80元,由(2)得,该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量,为2110个。所以2110×60+(5+15+16)×50+[(-2)+(-5)+(-10)+(-9)]×80=126600+36×50-26×80=126320(元)。
答:该工艺厂在这一周应付出的工资总额为126320元。
答:本周产量最多的一天比最少的一天多生产26个工艺品。
(2)300×7+[5+(-2)+(-5)+15+(-10)+16+(-9)]=2100+10=2110(个)。
答:该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为2110个。
(3)由题意得,超额生产一个工艺品可多得50元,少生产一个扣80元,由(2)得,该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量,为2110个。所以2110×60+(5+15+16)×50+[(-2)+(-5)+(-10)+(-9)]×80=126600+36×50-26×80=126320(元)。
答:该工艺厂在这一周应付出的工资总额为126320元。
解析
【分析】
(1) 首先明确表格中超产记为正、减产记为负，先找到最大的增减量（周六的+16，对应产量最多）和最小的增减量（周五的-10，对应产量最少），二者的差值就是最多比最少多生产的数量。
(2) 先计算一周计划生产的总数量，再把每天的增减量相加得到本周总增减量，计划总量加总增减量即可得到实际生产总量。
(3) 工资总额分三部分计算：一是所有实际生产工艺品的基础工资，按每个60元计算；二是超额部分的奖金，超产的总个数乘以每个额外奖励的50元；三是减产部分的扣款，减产的总个数乘以每个扣的80元，基础工资加奖金减去扣款就是总工资。
【解析】
(1) 产量最多的一天超产16个，产量最少的一天减产10个，二者差值为：
$16-(-10)=26$（个）
答：本周产量最多的一天比最少的一天多生产26个工艺品。
(2) 一周计划生产总量为$300×7=2100$个，本周总增减量为：
$5+(-2)+(-5)+15+(-10)+16+(-9)=10$（个）
实际生产总量为：
$2100+10=2110$（个）
答：该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为2110个。
(3) 基础工资：$2110×60=126600$元
超产总个数：$5+15+16=36$个，超额奖金：$36×50=1800$元
减产总个数：$2+5+10+9=26$个，扣款总额：$26×80=2080$元
总工资：$126600+1800-2080=126320$（元）
答：该工艺厂在这一周应付出的工资总额为126320元。
【答案】
(1) 26个；(2) 2110个；(3) 126320元
【知识点】
正负数的实际应用、有理数加减运算、有理数乘法运算
【点评】
本题结合生产实际考查有理数运算的应用，解题关键是正确理解正负数代表的实际含义，理清工资的计算规则，计算时要注意运算符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确表格中超产记为正、减产记为负，先找到最大的增减量（周六的+16，对应产量最多）和最小的增减量（周五的-10，对应产量最少），二者的差值就是最多比最少多生产的数量。
(2) 先计算一周计划生产的总数量，再把每天的增减量相加得到本周总增减量，计划总量加总增减量即可得到实际生产总量。
(3) 工资总额分三部分计算：一是所有实际生产工艺品的基础工资，按每个60元计算；二是超额部分的奖金，超产的总个数乘以每个额外奖励的50元；三是减产部分的扣款，减产的总个数乘以每个扣的80元，基础工资加奖金减去扣款就是总工资。
【解析】
(1) 产量最多的一天超产16个，产量最少的一天减产10个，二者差值为：
$16-(-10)=26$（个）
答：本周产量最多的一天比最少的一天多生产26个工艺品。
(2) 一周计划生产总量为$300×7=2100$个，本周总增减量为：
$5+(-2)+(-5)+15+(-10)+16+(-9)=10$（个）
实际生产总量为：
$2100+10=2110$（个）
答：该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为2110个。
(3) 基础工资：$2110×60=126600$元
超产总个数：$5+15+16=36$个，超额奖金：$36×50=1800$元
减产总个数：$2+5+10+9=26$个，扣款总额：$26×80=2080$元
总工资：$126600+1800-2080=126320$（元）
答：该工艺厂在这一周应付出的工资总额为126320元。
【答案】
(1) 26个；(2) 2110个；(3) 126320元
【知识点】
正负数的实际应用、有理数加减运算、有理数乘法运算
【点评】
本题结合生产实际考查有理数运算的应用，解题关键是正确理解正负数代表的实际含义，理清工资的计算规则，计算时要注意运算符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
