登录
实数运算顺序:先算乘方和
再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则
先进行括号里的运算。
开方
，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则
先进行括号里的运算。
答案
开方
解析
【分析】
拿到这道题，我们首先要回忆实数运算顺序的相关规则：实数运算的优先级按从高到低划分，最高优先级的运算为乘方和它的逆运算开方，其次是乘除运算，最后是加减运算，若有括号则优先计算括号内的内容。由此可知空缺处应填与乘方同级的开方。
【解析】
根据实数运算顺序的明确规定：进行实数运算时，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先进行括号里的运算。因此题干空缺处应填入开方。
【答案】
开方
【知识点】
实数运算顺序
【点评】
本题是基础概念识记题，主要考查对实数运算顺序的掌握程度，熟练牢记该规则是正确完成实数混合运算的核心基础。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，我们首先要回忆实数运算顺序的相关规则：实数运算的优先级按从高到低划分，最高优先级的运算为乘方和它的逆运算开方，其次是乘除运算，最后是加减运算，若有括号则优先计算括号内的内容。由此可知空缺处应填与乘方同级的开方。
【解析】
根据实数运算顺序的明确规定：进行实数运算时，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先进行括号里的运算。因此题干空缺处应填入开方。
【答案】
开方
【知识点】
实数运算顺序
【点评】
本题是基础概念识记题，主要考查对实数运算顺序的掌握程度，熟练牢记该规则是正确完成实数混合运算的核心基础。
【难度系数】
0.9
1. 下列运算正确的是（
A.$-2\sqrt{3} + \sqrt{3} = \sqrt{3}$
B.$\sqrt{27} = 3$
C.$-\sqrt{9} = -3$
D.$-3^2 = 9$
C
）A.$-2\sqrt{3} + \sqrt{3} = \sqrt{3}$
B.$\sqrt{27} = 3$
C.$-\sqrt{9} = -3$
D.$-3^2 = 9$
答案
C
解析
【分析】
本题考查实数的基础运算，解题时需结合对应的运算法则，逐一验证每个选项的计算结果是否正确，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们对每个选项依次计算判断：
A选项：同类二次根式合并时，系数相加减，根式部分不变，因此$-2\sqrt{3}+\sqrt{3}=(-2+1)\sqrt{3}=-\sqrt{3}≠\sqrt{3}$，A错误；
B选项：先将被开方数分解因数，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=\sqrt{9}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}≠3$，B错误；
C选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，值为3，因此$-\sqrt{9}=-3$，C正确；
D选项：乘方运算先算幂，负号不属于底数，因此$-3^2=-(3×3)=-9≠9$，D错误。
综上，运算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式的加减 2.二次根式的化简 3.有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查实数运算的基础规则，易错点在于二次根式合并时的符号判断、乘方运算中负号是否属于底数的区分，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查实数的基础运算，解题时需结合对应的运算法则，逐一验证每个选项的计算结果是否正确，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们对每个选项依次计算判断：
A选项：同类二次根式合并时，系数相加减，根式部分不变，因此$-2\sqrt{3}+\sqrt{3}=(-2+1)\sqrt{3}=-\sqrt{3}≠\sqrt{3}$，A错误；
B选项：先将被开方数分解因数，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=\sqrt{9}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}≠3$，B错误；
C选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，值为3，因此$-\sqrt{9}=-3$，C正确；
D选项：乘方运算先算幂，负号不属于底数，因此$-3^2=-(3×3)=-9≠9$，D错误。
综上，运算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式的加减 2.二次根式的化简 3.有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查实数运算的基础规则，易错点在于二次根式合并时的符号判断、乘方运算中负号是否属于底数的区分，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 估计$\sqrt{10}$的值更接近 （
A.3
B.4
C.9
D.10
A
）A.3
B.4
C.9
D.10
答案
A
解析
【分析】
要判断$\sqrt{10}$更接近哪个整数，我们可以用“夹逼法”先确定$\sqrt{10}$所在的整数范围，再通过比较$\sqrt{10}$到两个相邻整数的距离判断更接近的数。第一步，先找到和10相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{10}$在哪两个整数之间；第二步，计算10和这两个完全平方数的差值，差值越小说明$\sqrt{10}$越接近对应的整数。
【解析】
首先计算相邻整数的平方：
$3^2=9$，$4^2=16$
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，可直接排除C、D选项。
再计算10和两个完全平方数的差值：
$10-9=1$，$16-10=6$
因为$1＜6$，说明10更靠近9，所以$\sqrt{10}$更接近$\sqrt{9}=3$。
【答案】
A
【知识点】
无理数大小估算、算术平方根的性质
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，解题关键是熟练掌握常见整数的平方，利用“夹逼法”确定无理数的范围后，通过比较差值即可快速判断结果。
【难度系数】
0.85
要判断$\sqrt{10}$更接近哪个整数，我们可以用“夹逼法”先确定$\sqrt{10}$所在的整数范围，再通过比较$\sqrt{10}$到两个相邻整数的距离判断更接近的数。第一步，先找到和10相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{10}$在哪两个整数之间；第二步，计算10和这两个完全平方数的差值，差值越小说明$\sqrt{10}$越接近对应的整数。
【解析】
首先计算相邻整数的平方：
$3^2=9$，$4^2=16$
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，可直接排除C、D选项。
再计算10和两个完全平方数的差值：
$10-9=1$，$16-10=6$
因为$1＜6$，说明10更靠近9，所以$\sqrt{10}$更接近$\sqrt{9}=3$。
【答案】
A
【知识点】
无理数大小估算、算术平方根的性质
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，解题关键是熟练掌握常见整数的平方，利用“夹逼法”确定无理数的范围后，通过比较差值即可快速判断结果。
【难度系数】
0.85
3. 在算式$(-\sqrt{0.3})□(-\sqrt{0.3})$的$□$中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（
A.加号
B.减号
C.乘号
D.除号
D
）A.加号
B.减号
C.乘号
D.除号
答案
D
解析
【分析】
要确定哪个运算符号能让算式结果最大，可采用代入验证的思路：将四个选项的运算符号分别填入方框中，依次计算每种运算的结果，再对所有结果进行大小比较，结果最大的对应的运算符号就是正确答案。
【解析】
我们分别计算填入四种运算符号后的结果：
1. 填加号（A选项）：$(-\sqrt{0.3})+(-\sqrt{0.3})=-2\sqrt{0.3}$，结果为负数；
2. 填减号（B选项）：$(-\sqrt{0.3})-(-\sqrt{0.3})=-\sqrt{0.3}+\sqrt{0.3}=0$；
3. 填乘号（C选项）：$(-\sqrt{0.3})×(-\sqrt{0.3})=(\sqrt{0.3})^2=0.3$，结果为正数；
4. 填除号（D选项）：$(-\sqrt{0.3})÷(-\sqrt{0.3})=1$，结果为正数。
比较四个结果的大小：$-2\sqrt{0.3}＜0＜0.3＜1$，因此填入除号时结果最大。
【答案】
D
【知识点】
实数的四则运算；实数大小比较；二次根式化简
【点评】
本题考查实数运算的实际应用，解题核心是分类计算不同运算的结果再比对大小，熟练掌握实数的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要确定哪个运算符号能让算式结果最大，可采用代入验证的思路：将四个选项的运算符号分别填入方框中，依次计算每种运算的结果，再对所有结果进行大小比较，结果最大的对应的运算符号就是正确答案。
【解析】
我们分别计算填入四种运算符号后的结果：
1. 填加号（A选项）：$(-\sqrt{0.3})+(-\sqrt{0.3})=-2\sqrt{0.3}$，结果为负数；
2. 填减号（B选项）：$(-\sqrt{0.3})-(-\sqrt{0.3})=-\sqrt{0.3}+\sqrt{0.3}=0$；
3. 填乘号（C选项）：$(-\sqrt{0.3})×(-\sqrt{0.3})=(\sqrt{0.3})^2=0.3$，结果为正数；
4. 填除号（D选项）：$(-\sqrt{0.3})÷(-\sqrt{0.3})=1$，结果为正数。
比较四个结果的大小：$-2\sqrt{0.3}＜0＜0.3＜1$，因此填入除号时结果最大。
【答案】
D
【知识点】
实数的四则运算；实数大小比较；二次根式化简
【点评】
本题考查实数运算的实际应用，解题核心是分类计算不同运算的结果再比对大小，熟练掌握实数的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 下列说法中,正确的有 (
①任何实数的平方根有两个,且它们互为相反数;
②无理数就是带根号的数;
③数轴上所有的点都表示实数;
④负数没有立方根。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)①任何实数的平方根有两个,且它们互为相反数;
②无理数就是带根号的数;
③数轴上所有的点都表示实数;
④负数没有立方根。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
【分析】
这道题考查实数相关的基础概念，解题时需要逐个判断4个说法的正误，再统计正确说法的数量即可得到答案。思考时依次对应回忆平方根的性质、无理数的定义、数轴与实数的对应关系、立方根的性质这几个知识点，逐一验证每个说法是否符合概念要求，排除错误表述即可。
【解析】
我们逐个判断每个说法的对错：
1. 分析说法①：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根只有0这1个；负数没有平方根，因此“任何实数的平方根有两个”的表述错误，故①错误。
2. 分析说法②：无理数是无限不循环小数，带根号的数不一定是无理数，例如$\sqrt{4}=2$是有理数；不带根号的数也可能是无理数，例如$π$，因此②错误。
3. 分析说法③：实数和数轴上的点是一一对应的，即数轴上所有的点都表示实数，所有的实数也都可以用数轴上的点表示，故③正确。
4. 分析说法④：负数有立方根，且负数的立方根仍是负数，例如$\sqrt[3]{-8}=-2$，因此④错误。
综上，只有1个说法是正确的，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方根与立方根的性质，无理数的定义，实数与数轴的对应关系
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对实数相关核心概念的理解，易错点在于容易混淆平方根与立方根的性质、对无理数的判定存在“带根号就是无理数”的误区，学习时要注意辨析易混概念，准确记忆相关性质。
【难度系数】
0.8
这道题考查实数相关的基础概念，解题时需要逐个判断4个说法的正误，再统计正确说法的数量即可得到答案。思考时依次对应回忆平方根的性质、无理数的定义、数轴与实数的对应关系、立方根的性质这几个知识点，逐一验证每个说法是否符合概念要求，排除错误表述即可。
【解析】
我们逐个判断每个说法的对错：
1. 分析说法①：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根只有0这1个；负数没有平方根，因此“任何实数的平方根有两个”的表述错误，故①错误。
2. 分析说法②：无理数是无限不循环小数，带根号的数不一定是无理数，例如$\sqrt{4}=2$是有理数；不带根号的数也可能是无理数，例如$π$，因此②错误。
3. 分析说法③：实数和数轴上的点是一一对应的，即数轴上所有的点都表示实数，所有的实数也都可以用数轴上的点表示，故③正确。
4. 分析说法④：负数有立方根，且负数的立方根仍是负数，例如$\sqrt[3]{-8}=-2$，因此④错误。
综上，只有1个说法是正确的，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方根与立方根的性质，无理数的定义，实数与数轴的对应关系
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对实数相关核心概念的理解，易错点在于容易混淆平方根与立方根的性质、对无理数的判定存在“带根号就是无理数”的误区，学习时要注意辨析易混概念，准确记忆相关性质。
【难度系数】
0.8
5. 已知$0＜x＜1$，那么在$x, \frac{1}{x}, \sqrt{x}, x^2$中最大的数是（
A.$x$
B.$x^2$
C.$\sqrt{x}$
D.$\frac{1}{x}$
D
）A.$x$
B.$x^2$
C.$\sqrt{x}$
D.$\frac{1}{x}$
答案
D
解析
【分析】
这是一道0到1区间内的实数大小比较题，由于是选择题，我们可以用特殊值法快速求解：首先选取一个满足0＜x＜1的具体数值，分别代入四个代数式计算出结果，再比较四个结果的大小就能找到最大的数。也可结合性质推导：当0＜x＜1时，x的乘方结果小于本身，开方结果大于本身，而x的倒数会大于1，其余三个数都小于1，也能快速判断。
【解析】
采用特殊值法求解，取满足0＜x＜1的数值，例如令x=0.25：
1. 分别计算四个代数式的值：
$x=0.25$
$\frac{1}{x}=1÷0.25=4$
$\sqrt{x}=\sqrt{0.25}=0.5$
$x^2=0.25×0.25=0.0625$
2. 比较大小：$0.0625＜0.25＜0.5＜4$，即$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$
因此四个数中最大的是$\frac{1}{x}$。
【答案】
D
【知识点】
实数大小比较；代数式求值；特殊值法应用
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，对于给定范围的代数式大小比较类选择题，选用符合条件的特殊值代入计算是非常简便的解题技巧，能有效降低解题难度，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
这是一道0到1区间内的实数大小比较题，由于是选择题，我们可以用特殊值法快速求解：首先选取一个满足0＜x＜1的具体数值，分别代入四个代数式计算出结果，再比较四个结果的大小就能找到最大的数。也可结合性质推导：当0＜x＜1时，x的乘方结果小于本身，开方结果大于本身，而x的倒数会大于1，其余三个数都小于1，也能快速判断。
【解析】
采用特殊值法求解，取满足0＜x＜1的数值，例如令x=0.25：
1. 分别计算四个代数式的值：
$x=0.25$
$\frac{1}{x}=1÷0.25=4$
$\sqrt{x}=\sqrt{0.25}=0.5$
$x^2=0.25×0.25=0.0625$
2. 比较大小：$0.0625＜0.25＜0.5＜4$，即$x^2＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$
因此四个数中最大的是$\frac{1}{x}$。
【答案】
D
【知识点】
实数大小比较；代数式求值；特殊值法应用
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，对于给定范围的代数式大小比较类选择题，选用符合条件的特殊值代入计算是非常简便的解题技巧，能有效降低解题难度，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
6. 已知数轴上两点A,B所表示的数分别是$\sqrt{2}$和2，则AB=
2-√2
。答案
$2-\sqrt{2}$
解析
【分析】
要计算数轴上两点A、B的距离，首先回忆数轴两点距离的计算规则：数轴上两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，也可直接用右侧点表示的大数减去左侧点表示的小数（数轴上右边的数总大于左边的数）。接下来先比较$\sqrt{2}$和2的大小：$\sqrt{2}\approx1.414$，明显小于2，说明点A在点B左侧，因此直接用大数2减小数$\sqrt{2}$即可得到AB的长度。
【解析】
解：数轴上两点之间的距离等于较大的数减去较小的数（或两数差的绝对值）。
∵ $\sqrt{2}\approx1.414＜2$
∴ $AB=2-\sqrt{2}$
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算、实数大小比较
【点评】
本题是基础类题目，核心考查数轴上两点距离的计算方法，掌握数轴上数的大小规律和距离计算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要计算数轴上两点A、B的距离，首先回忆数轴两点距离的计算规则：数轴上两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，也可直接用右侧点表示的大数减去左侧点表示的小数（数轴上右边的数总大于左边的数）。接下来先比较$\sqrt{2}$和2的大小：$\sqrt{2}\approx1.414$，明显小于2，说明点A在点B左侧，因此直接用大数2减小数$\sqrt{2}$即可得到AB的长度。
【解析】
解：数轴上两点之间的距离等于较大的数减去较小的数（或两数差的绝对值）。
∵ $\sqrt{2}\approx1.414＜2$
∴ $AB=2-\sqrt{2}$
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算、实数大小比较
【点评】
本题是基础类题目，核心考查数轴上两点距离的计算方法，掌握数轴上数的大小规律和距离计算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
7. 下面是一个简单的数值运算程序：
当输入$ x $的值是$-125$时，输出的结果是
当输入$ x $的值是$-125$时，输出的结果是
$-\frac{3}{2}$
。答案
$-\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题时首先要明确运算程序的运算顺序：先求输入数x的立方根，再将所得结果除以2，最后加1得到输出值。我们只需将x=-125按这个顺序逐步计算即可，首先回忆立方根的计算规则，负数的立方根是负数，先算出-125的立方根，再依次完成后续运算。
【解析】
根据运算程序可得输出的代数式为：$\frac{\sqrt[3]{x}}{2}+1$
当$x=-125$时：
1. 计算立方根：因为$(-5)^3=-125$，所以$\sqrt[3]{-125}=-5$
2. 计算除法：$-5÷2=-\frac{5}{2}$
3. 计算加法：$-\frac{5}{2}+1=-\frac{5}{2}+\frac{2}{2}=-\frac{3}{2}$
【答案】
$-\frac{3}{2}$
【知识点】
立方根的计算、实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查对运算程序的理解和立方根、实数四则运算的掌握，只要理清运算顺序，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确运算程序的运算顺序：先求输入数x的立方根，再将所得结果除以2，最后加1得到输出值。我们只需将x=-125按这个顺序逐步计算即可，首先回忆立方根的计算规则，负数的立方根是负数，先算出-125的立方根，再依次完成后续运算。
【解析】
根据运算程序可得输出的代数式为：$\frac{\sqrt[3]{x}}{2}+1$
当$x=-125$时：
1. 计算立方根：因为$(-5)^3=-125$，所以$\sqrt[3]{-125}=-5$
2. 计算除法：$-5÷2=-\frac{5}{2}$
3. 计算加法：$-\frac{5}{2}+1=-\frac{5}{2}+\frac{2}{2}=-\frac{3}{2}$
【答案】
$-\frac{3}{2}$
【知识点】
立方根的计算、实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查对运算程序的理解和立方根、实数四则运算的掌握，只要理清运算顺序，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
8. $-(\sqrt{3} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} = \_\_\_\_\_\_$；$|3 - π| - π = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$-\sqrt{3}$；$-3$
解析
【分析】
分两个小题梳理解题思路：①第一个算式是带括号的二次根式加减运算，先根据去括号法则去掉括号，注意括号前为负号时括号内每一项都要变号，再合并同类二次根式就能得到结果；②第二个算式包含绝对值运算，先判断绝对值内式子的正负：π≈3.14，因此3-π是负数，根据“负数的绝对值等于它的相反数”去掉绝对值符号，再做加减运算即可。
【解析】
计算第一个式子：
$\begin{aligned}-(\sqrt{3} - \sqrt{2}) - \sqrt{2}&=-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{2}\\&=-\sqrt{3}\end{aligned}$
计算第二个式子：
∵ $π\approx3.14＞3$，
∴ $3-π＜0$，则$|3-π|=π-3$
$\begin{aligned}|3 - π| - π&=(π-3)-π\\&=π-3-π\\&=-3\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{3}$；$-3$
【知识点】
去括号法则，绝对值化简，实数加减运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题，主要考察去括号的符号处理规则和绝对值的化简方法，计算时需注意符号判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
分两个小题梳理解题思路：①第一个算式是带括号的二次根式加减运算，先根据去括号法则去掉括号，注意括号前为负号时括号内每一项都要变号，再合并同类二次根式就能得到结果；②第二个算式包含绝对值运算，先判断绝对值内式子的正负：π≈3.14，因此3-π是负数，根据“负数的绝对值等于它的相反数”去掉绝对值符号，再做加减运算即可。
【解析】
计算第一个式子：
$\begin{aligned}-(\sqrt{3} - \sqrt{2}) - \sqrt{2}&=-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{2}\\&=-\sqrt{3}\end{aligned}$
计算第二个式子：
∵ $π\approx3.14＞3$，
∴ $3-π＜0$，则$|3-π|=π-3$
$\begin{aligned}|3 - π| - π&=(π-3)-π\\&=π-3-π\\&=-3\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{3}$；$-3$
【知识点】
去括号法则，绝对值化简，实数加减运算
【点评】
本题属于实数运算的基础题，主要考察去括号的符号处理规则和绝对值的化简方法，计算时需注意符号判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
9. 下列说法:①两个无理数的和是无理数;②两个无理数的积可能是有理数;③无理数与有理数的和是无理数;④有理数除以无理数的商是无理数。其中正确的有
②③
。答案
②③
解析
【分析】
要判断这4个说法的正误，我们可以采用“举反例判断假命题，推导验证真命题”的思路：对于错误的说法，只要找到1个不符合的例子就能证明其错误；对于正确的说法，要验证其普遍成立，我们逐个分析每个说法即可。
【解析】
我们对4个说法逐一判断：
1. 说法①：举反例，$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$都是无理数，二者的和为$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$，0是有理数，因此①错误。
2. 说法②：举例，$\sqrt{2}$是无理数，$\sqrt{2} × \sqrt{2}=2$，2是有理数，说明两个无理数的积确实可能是有理数，因此②正确。
3. 说法③：假设无理数与有理数的和是有理数，那么用这个和减去其中的有理数，得到的结果应该是有理数，但这个结果就是原来的无理数，二者矛盾，因此无理数与有理数的和一定是无理数，③正确。
4. 说法④：举反例，0是有理数，$\sqrt{2}$是无理数，$0 ÷ \sqrt{2}=0$，商0是有理数，因此④错误。
综上，正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
1. 无理数的概念 2. 实数的运算 3. 命题真假判断
【点评】
本题重点考查实数运算的性质，解题的核心是灵活运用举反例的方法快速排除错误说法，同时要注意0是特殊的有理数，运算时不要忽略这种特殊情况。
【难度系数】
0.7
要判断这4个说法的正误，我们可以采用“举反例判断假命题，推导验证真命题”的思路：对于错误的说法，只要找到1个不符合的例子就能证明其错误；对于正确的说法，要验证其普遍成立，我们逐个分析每个说法即可。
【解析】
我们对4个说法逐一判断：
1. 说法①：举反例，$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$都是无理数，二者的和为$\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$，0是有理数，因此①错误。
2. 说法②：举例，$\sqrt{2}$是无理数，$\sqrt{2} × \sqrt{2}=2$，2是有理数，说明两个无理数的积确实可能是有理数，因此②正确。
3. 说法③：假设无理数与有理数的和是有理数，那么用这个和减去其中的有理数，得到的结果应该是有理数，但这个结果就是原来的无理数，二者矛盾，因此无理数与有理数的和一定是无理数，③正确。
4. 说法④：举反例，0是有理数，$\sqrt{2}$是无理数，$0 ÷ \sqrt{2}=0$，商0是有理数，因此④错误。
综上，正确的是②③。
【答案】
②③
【知识点】
1. 无理数的概念 2. 实数的运算 3. 命题真假判断
【点评】
本题重点考查实数运算的性质，解题的核心是灵活运用举反例的方法快速排除错误说法，同时要注意0是特殊的有理数，运算时不要忽略这种特殊情况。
【难度系数】
0.7
10. 用“@”表示一种新运算，对于任意正实数$a,b$，都有$a@b=\sqrt{b}+1$，如$8@9=\sqrt{9}+1$，则$m@(m@9)$的结果是
3
。答案
3
解析
【分析】
这是新定义运算类题目，解题时首先要明确新运算的规则：本题中a@b的运算结果仅与第二个数b有关，等于b的算术平方根加1，运算顺序和常规运算一致，有括号先算括号内的部分。我们先计算括号里的m@9，再将得到的结果作为新运算的第二个数，计算外层的运算即可，无需在意参数m的取值，因为新运算结果和第一个数无关。
【解析】
按照运算顺序，先计算括号内的部分：
根据新运算规则$a@b=\sqrt{b}+1$，计算$m@9$时，对应$b=9$，因此：
$m@9=\sqrt{9}+1=3+1=4$
再计算外层的$m@(m@9)$，即计算$m@4$，此时对应$b=4$，因此：
$m@4=\sqrt{4}+1=2+1=3$
【答案】
3
【知识点】
新定义运算，算术平方根计算，实数运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解能力和实数的基本运算能力，解题时要遵循有括号先算括号内的运算顺序，注意甄别新运算中参与计算的有效参数，不要被无关参数干扰即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是新定义运算类题目，解题时首先要明确新运算的规则：本题中a@b的运算结果仅与第二个数b有关，等于b的算术平方根加1，运算顺序和常规运算一致，有括号先算括号内的部分。我们先计算括号里的m@9，再将得到的结果作为新运算的第二个数，计算外层的运算即可，无需在意参数m的取值，因为新运算结果和第一个数无关。
【解析】
按照运算顺序，先计算括号内的部分：
根据新运算规则$a@b=\sqrt{b}+1$，计算$m@9$时，对应$b=9$，因此：
$m@9=\sqrt{9}+1=3+1=4$
再计算外层的$m@(m@9)$，即计算$m@4$，此时对应$b=4$，因此：
$m@4=\sqrt{4}+1=2+1=3$
【答案】
3
【知识点】
新定义运算，算术平方根计算，实数运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解能力和实数的基本运算能力，解题时要遵循有括号先算括号内的运算顺序，注意甄别新运算中参与计算的有效参数，不要被无关参数干扰即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
11. 计算：
(1) $\sqrt{25} + \sqrt[3]{-8} + (-1)^{2026}$；
(2) $\sqrt[3]{-27} + |\sqrt{2} - 3| - \sqrt{(-3)^2}$。
(1) $\sqrt{25} + \sqrt[3]{-8} + (-1)^{2026}$；
(2) $\sqrt[3]{-27} + |\sqrt{2} - 3| - \sqrt{(-3)^2}$。
答案
(1)原式=5-2+1=4。
(2)原式=-3+3-$\sqrt{2}$ -3=-3-$\sqrt{2}$。
(2)原式=-3+3-$\sqrt{2}$ -3=-3-$\sqrt{2}$。
解析
【分析】
本题是实数的基础运算题，解题遵循“先算乘方、开方，有绝对值先化简绝对值，最后算加减”的运算顺序。（1）先分别计算算术平方根、立方根、乘方的结果，再做加减运算；（2）先计算立方根、化简绝对值、计算算术平方根，再合并计算，去绝对值前要先判断绝对值内式子的正负，负数的绝对值等于它的相反数。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$\sqrt{25}$是25的算术平方根，可得$\sqrt{25}=5$；
$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，可得$\sqrt[3]{-8}=-2$；
$(-1)$的偶次幂为1，2026是偶数，故$(-1)^{2026}=1$；
将各项结果代入计算：原式$=5-2+1=4$。
(2) 分别计算各项：
$\sqrt[3]{-27}$是-27的立方根，可得$\sqrt[3]{-27}=-3$；
因为$\sqrt{2}\approx1.414＜3$，即$\sqrt{2}-3＜0$，所以$|\sqrt{2}-3|=3-\sqrt{2}$；
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}$，9的算术平方根是3，故$\sqrt{(-3)^2}=3$；
将各项结果代入计算：原式$=-3+(3-\sqrt{2})-3=-3+3-\sqrt{2}-3=-3-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) $\boxed{-3-\sqrt{2}}$
【知识点】
实数的运算，算术平方根与立方根，绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考察开方、乘方、绝对值化简的基础规则，计算时注意符号判断，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是实数的基础运算题，解题遵循“先算乘方、开方，有绝对值先化简绝对值，最后算加减”的运算顺序。（1）先分别计算算术平方根、立方根、乘方的结果，再做加减运算；（2）先计算立方根、化简绝对值、计算算术平方根，再合并计算，去绝对值前要先判断绝对值内式子的正负，负数的绝对值等于它的相反数。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$\sqrt{25}$是25的算术平方根，可得$\sqrt{25}=5$；
$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，可得$\sqrt[3]{-8}=-2$；
$(-1)$的偶次幂为1，2026是偶数，故$(-1)^{2026}=1$；
将各项结果代入计算：原式$=5-2+1=4$。
(2) 分别计算各项：
$\sqrt[3]{-27}$是-27的立方根，可得$\sqrt[3]{-27}=-3$；
因为$\sqrt{2}\approx1.414＜3$，即$\sqrt{2}-3＜0$，所以$|\sqrt{2}-3|=3-\sqrt{2}$；
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}$，9的算术平方根是3，故$\sqrt{(-3)^2}=3$；
将各项结果代入计算：原式$=-3+(3-\sqrt{2})-3=-3+3-\sqrt{2}-3=-3-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$
(2) $\boxed{-3-\sqrt{2}}$
【知识点】
实数的运算，算术平方根与立方根，绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考察开方、乘方、绝对值化简的基础规则，计算时注意符号判断，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
