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7. 如图是一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字－1,1,2,3.若转动转盘两次，每次转盘停止后指针所指区域的数字分别记为m,n(指针恰好指在分界线时重转)，则点(m,n)在第四象限的概率为
$\frac{3}{16}$
.答案
7.$\frac{3}{16}$
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心要点：一是第四象限内点的坐标符号特征，即横坐标为正、纵坐标为负；二是计算转动两次转盘的所有等可能结果数，再从中找出符合第四象限坐标要求的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
1. 计算总等可能结果数：转动转盘1次有4种等可能结果，转动两次的所有等可能结果共有$4 × 4 = 16$种。
2. 确定符合条件的结果：第四象限的点$(m,n)$满足$m＞0$，$n＜0$。盘面中仅$-1$为负数，因此$n=-1$；正数有1、2、3共3个，因此$m$可取1、2、3，对应符合条件的点为$(1,-1)$、$(2,-1)$、$(3,-1)$，共3种结果。
3. 计算概率：$P(\mathrm{点在第四象限}) = \frac{3}{16}$。
【答案】
$\frac{3}{16}$
【知识点】
1. 第四象限坐标特征
2. 列举法求概率
【点评】
本题将平面直角坐标系知识与概率计算结合，考查学生对基础知识点的综合运用能力，解题的关键是准确掌握象限的坐标符号规则，不重不漏地列举出所有结果，是概率部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确两个核心要点：一是第四象限内点的坐标符号特征，即横坐标为正、纵坐标为负；二是计算转动两次转盘的所有等可能结果数，再从中找出符合第四象限坐标要求的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
1. 计算总等可能结果数：转动转盘1次有4种等可能结果，转动两次的所有等可能结果共有$4 × 4 = 16$种。
2. 确定符合条件的结果：第四象限的点$(m,n)$满足$m＞0$，$n＜0$。盘面中仅$-1$为负数，因此$n=-1$；正数有1、2、3共3个，因此$m$可取1、2、3，对应符合条件的点为$(1,-1)$、$(2,-1)$、$(3,-1)$，共3种结果。
3. 计算概率：$P(\mathrm{点在第四象限}) = \frac{3}{16}$。
【答案】
$\frac{3}{16}$
【知识点】
1. 第四象限坐标特征
2. 列举法求概率
【点评】
本题将平面直角坐标系知识与概率计算结合，考查学生对基础知识点的综合运用能力，解题的关键是准确掌握象限的坐标符号规则，不重不漏地列举出所有结果，是概率部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
变式训练
转动一个转盘→转动两个转盘
用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘A转到红色，转盘B转到蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为
转动一个转盘→转动两个转盘
用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘A转到红色，转盘B转到蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为
$\frac{1}{12}$
。答案
【变式训练】$\frac{1}{12}$
解析
【分析】
要计算配成紫色的概率，首先明确配成紫色的要求为“转盘A转到红色且转盘B转到蓝色”。首先分析两个转盘的等可能结果：转盘A被分成3个圆心角均为120°的扇形，因此转动转盘A有红、橙、黄3种等可能结果；转盘B被分成4个圆心角均为90°的扇形，转动转盘B有青、白、蓝、绿4种等可能结果。我们可以通过列表法列举出两个转盘搭配的所有等可能结果，再统计其中符合配紫色要求的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可求解。
【解析】
解：转动转盘A的等可能结果有3种：红、橙、黄；转动转盘B的等可能结果有4种：青、白、蓝、绿。
列表统计所有搭配结果如下：
| 转盘A\转盘B | 青 | 白 | 蓝 | 绿 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | （红，青） | （红，白） | （红，蓝） | （红，绿） |
| 橙 | （橙，青） | （橙，白） | （橙，蓝） | （橙，绿） |
| 黄 | （黄，青） | （黄，白） | （黄，蓝） | （黄，绿） |
由表可知，总共有$3×4=12$种等可能的结果，其中满足“转盘A转到红色，转盘B转到蓝色”的结果只有1种，
因此配成紫色的概率$P=\frac{1}{12}$。
【答案】
$\frac{1}{12}$
【知识点】
列表法求概率、概率公式
【点评】
本题是概率的基础应用类题目，解题的核心是准确梳理两个转盘的等可能结果，通过列表法清晰列举所有搭配情况，再结合概率公式计算即可，掌握列表法求概率的步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要计算配成紫色的概率，首先明确配成紫色的要求为“转盘A转到红色且转盘B转到蓝色”。首先分析两个转盘的等可能结果：转盘A被分成3个圆心角均为120°的扇形，因此转动转盘A有红、橙、黄3种等可能结果；转盘B被分成4个圆心角均为90°的扇形，转动转盘B有青、白、蓝、绿4种等可能结果。我们可以通过列表法列举出两个转盘搭配的所有等可能结果，再统计其中符合配紫色要求的结果数，根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可求解。
【解析】
解：转动转盘A的等可能结果有3种：红、橙、黄；转动转盘B的等可能结果有4种：青、白、蓝、绿。
列表统计所有搭配结果如下：
| 转盘A\转盘B | 青 | 白 | 蓝 | 绿 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | （红，青） | （红，白） | （红，蓝） | （红，绿） |
| 橙 | （橙，青） | （橙，白） | （橙，蓝） | （橙，绿） |
| 黄 | （黄，青） | （黄，白） | （黄，蓝） | （黄，绿） |
由表可知，总共有$3×4=12$种等可能的结果，其中满足“转盘A转到红色，转盘B转到蓝色”的结果只有1种，
因此配成紫色的概率$P=\frac{1}{12}$。
【答案】
$\frac{1}{12}$
【知识点】
列表法求概率、概率公式
【点评】
本题是概率的基础应用类题目，解题的核心是准确梳理两个转盘的等可能结果，通过列表法清晰列举所有搭配情况，再结合概率公式计算即可，掌握列表法求概率的步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
8. 为了响应国家有关开展中小学生课后服务的政策，某学校课后开设了五门课程供学生选择，分别是A.合唱；B.书法；C.阅读；D.绘画；E.足球.学生需要从中选报自己喜欢的两门课程.
(1)若甲同学选第一门课程时，从上面课程中随机挑选一门，则甲同学选中“E.足球”的概率为
(2)若甲同学和乙同学第一次都选择了“E.足球”，第二次都从剩余课程里随机选一门课程，那么他们第二次选课相同的概率是多少？请用列表的方法加以说明.
(1)若甲同学选第一门课程时，从上面课程中随机挑选一门，则甲同学选中“E.足球”的概率为
$\frac{1}{5}$
.(2)若甲同学和乙同学第一次都选择了“E.足球”，第二次都从剩余课程里随机选一门课程，那么他们第二次选课相同的概率是多少？请用列表的方法加以说明.
答案
8.(1)$\frac{1}{5}$
(2)他们第二次选课相同的概率为$\frac{1}{4}$.
(2)他们第二次选课相同的概率为$\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
（1）第一问为一步概率计算问题，解题思路为：先确定从5门课程中随机选1门的总等可能结果数，再找到选中“E.足球”的结果数，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
（2）第二问为两步概率问题，首先根据题意确定两人第二次可选的课程为A、B、C、D共4门；接下来用列表法列举出甲、乙两人第二次选课的所有等可能结果，再统计出两人选课相同的结果数，最后代入概率公式求解即可。
【解析】
（1）从A、B、C、D、E共5门课程中随机选1门，总共有5种等可能的结果，其中选中“E.足球”的结果有1种，因此甲同学选中“E.足球”的概率为$\frac{1}{5}$。
（2）由题意可知，两人第一次都选了E后，剩余可选课程为A、B、C、D共4门，列表如下：
| 甲的选择\乙的选择 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
由表格可得，所有等可能的结果共有16种，其中两人第二次选课相同的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)共4种，因此他们第二次选课相同的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{5}$；(2)$\frac{1}{4}$
【知识点】
简单概率计算；列表法求概率
【点评】
本题是概率的基础应用类题目，重点考查对概率公式的理解和列表法求概率的掌握，解题时要先明确可选的课程范围，列举结果时做到不重不漏，即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
（1）第一问为一步概率计算问题，解题思路为：先确定从5门课程中随机选1门的总等可能结果数，再找到选中“E.足球”的结果数，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
（2）第二问为两步概率问题，首先根据题意确定两人第二次可选的课程为A、B、C、D共4门；接下来用列表法列举出甲、乙两人第二次选课的所有等可能结果，再统计出两人选课相同的结果数，最后代入概率公式求解即可。
【解析】
（1）从A、B、C、D、E共5门课程中随机选1门，总共有5种等可能的结果，其中选中“E.足球”的结果有1种，因此甲同学选中“E.足球”的概率为$\frac{1}{5}$。
（2）由题意可知，两人第一次都选了E后，剩余可选课程为A、B、C、D共4门，列表如下：
| 甲的选择\乙的选择 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
由表格可得，所有等可能的结果共有16种，其中两人第二次选课相同的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)共4种，因此他们第二次选课相同的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{5}$；(2)$\frac{1}{4}$
【知识点】
简单概率计算；列表法求概率
【点评】
本题是概率的基础应用类题目，重点考查对概率公式的理解和列表法求概率的掌握，解题时要先明确可选的课程范围，列举结果时做到不重不漏，即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
9. [教材P105习题26.2第6题改编]如图所示的转盘被分成5等份，分别标记数字1,2,3,4,5.小娟和小丽玩转盘游戏，指针停在分界线时，则重转.
(1)如果转一次，求指针停在偶数区域的概率.
(2)如果约定游戏规则:小娟转一次，指针落在奇数区域得15分;小丽连续转两次，两次得分之积为偶数得15分.试问游戏公平吗?若不公平，请修改小娟或小丽的得分使游戏公平.
(1)如果转一次，求指针停在偶数区域的概率.
(2)如果约定游戏规则:小娟转一次，指针落在奇数区域得15分;小丽连续转两次，两次得分之积为偶数得15分.试问游戏公平吗?若不公平，请修改小娟或小丽的得分使游戏公平.
答案
9.(1)转一次,指针停在偶数区域的概率为$\frac{2}{5}$.
(2)小娟转一次得 15 分的概率为$\frac{3}{5}$,小丽连续转两次共有 25种等可能的结果,两次得分之积如表:
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
其中积为偶数的结果共有 16 种,则小丽得 15 分的概率为$\frac{16}{25}$.
$\because \frac{3}{5}＜\frac{16}{25},\therefore$游戏不公平.
$\because 15× \frac{16}{25}=16× \frac{3}{5}$,
$\therefore$修改规则如下:小娟转一次,指针落在奇数区域得 16 分.
(规则不唯一,合理即可)
(2)小娟转一次得 15 分的概率为$\frac{3}{5}$,小丽连续转两次共有 25种等可能的结果,两次得分之积如表:
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
其中积为偶数的结果共有 16 种,则小丽得 15 分的概率为$\frac{16}{25}$.
$\because \frac{3}{5}＜\frac{16}{25},\therefore$游戏不公平.
$\because 15× \frac{16}{25}=16× \frac{3}{5}$,
$\therefore$修改规则如下:小娟转一次,指针落在奇数区域得 16 分.
(规则不唯一,合理即可)
解析
【分析】
(1) 第一问为单步概率计算，首先明确转盘5等份，转一次共有5种等可能结果，先确定偶数区域的数量，再根据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式计算即可。
(2) 判断游戏公平性，需先分别计算小娟、小丽获得15分的概率，再对比两人单次游戏的平均得分（得分×对应概率），若平均得分相等则游戏公平，否则不公平。修改规则时只要保证两人平均得分相等即可。计算小丽的得分概率时，转两次属于两步试验，用列表法列举所有等可能结果，再筛选出积为偶数的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
解：(1) 转盘被分为5等份，转一次共有5种等可能的结果，其中偶数区域为标有2、4的区域，共2种结果，
∴$P(\mathrm{指针停在偶数区域})=\frac{2}{5}$。
(2) 先计算小娟得15分的概率：
奇数区域为标有1、3、5的区域，共3种结果，
∴$P(\mathrm{小娟得15分})=\frac{3}{5}$，小娟单次游戏平均得分为$15×\frac{3}{5}=9$分。
小丽连续转两次，总共有$5×5=25$种等可能结果，列表如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
其中两次得分之积为偶数的结果共16种，
∴$P(\mathrm{小丽得15分})=\frac{16}{25}$，小丽单次游戏平均得分为$15×\frac{16}{25}=9.6$分。
∵$9≠9.6$，即$\frac{3}{5}＜\frac{16}{25}$，
∴游戏不公平。
设小娟指针落在奇数区域得$x$分时游戏公平，则$\frac{3}{5}x=15×\frac{16}{25}$，解得$x=16$，因此可修改规则为：小娟转一次，指针落在奇数区域得16分（规则不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) $\frac{2}{5}$
(2) 游戏不公平；修改规则示例：小娟转一次，指针落在奇数区域得16分（合理即可）
【知识点】
概率公式；列表法求概率；游戏公平性判断
【点评】
本题结合转盘游戏考查概率计算和游戏公平性的判断，解题核心是正确列举所有等可能结果，理解游戏公平的本质是双方期望得分相等，题目贴近生活场景，能有效考查概率知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为单步概率计算，首先明确转盘5等份，转一次共有5种等可能结果，先确定偶数区域的数量，再根据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式计算即可。
(2) 判断游戏公平性，需先分别计算小娟、小丽获得15分的概率，再对比两人单次游戏的平均得分（得分×对应概率），若平均得分相等则游戏公平，否则不公平。修改规则时只要保证两人平均得分相等即可。计算小丽的得分概率时，转两次属于两步试验，用列表法列举所有等可能结果，再筛选出积为偶数的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
解：(1) 转盘被分为5等份，转一次共有5种等可能的结果，其中偶数区域为标有2、4的区域，共2种结果，
∴$P(\mathrm{指针停在偶数区域})=\frac{2}{5}$。
(2) 先计算小娟得15分的概率：
奇数区域为标有1、3、5的区域，共3种结果，
∴$P(\mathrm{小娟得15分})=\frac{3}{5}$，小娟单次游戏平均得分为$15×\frac{3}{5}=9$分。
小丽连续转两次，总共有$5×5=25$种等可能结果，列表如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
其中两次得分之积为偶数的结果共16种，
∴$P(\mathrm{小丽得15分})=\frac{16}{25}$，小丽单次游戏平均得分为$15×\frac{16}{25}=9.6$分。
∵$9≠9.6$，即$\frac{3}{5}＜\frac{16}{25}$，
∴游戏不公平。
设小娟指针落在奇数区域得$x$分时游戏公平，则$\frac{3}{5}x=15×\frac{16}{25}$，解得$x=16$，因此可修改规则为：小娟转一次，指针落在奇数区域得16分（规则不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) $\frac{2}{5}$
(2) 游戏不公平；修改规则示例：小娟转一次，指针落在奇数区域得16分（合理即可）
【知识点】
概率公式；列表法求概率；游戏公平性判断
【点评】
本题结合转盘游戏考查概率计算和游戏公平性的判断，解题核心是正确列举所有等可能结果，理解游戏公平的本质是双方期望得分相等，题目贴近生活场景，能有效考查概率知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
