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1. [教材P101练习第2题改编]从2,3,4,5中任意选两个数,记作a和b,那么点$(a,b)$在函数$y=\frac{12}{x}$图象上的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
D
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
1.D
解析
【分析】要解决这道题，需按照古典概型的求解思路逐步推导：首先明确点(a,b)的横、纵坐标是有顺序的，因此需先枚举所有等可能的有序数对，算出总结果数；再根据反比例函数图象上点的坐标特征（横纵坐标乘积等于12），筛选出符合条件的有序数对的个数；最后用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】解：从2,3,4,5中任意选两个数分别作为a和b，所有等可能的有序数对有：(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,2)、(3,4)、(3,5)、(4,2)、(4,3)、(4,5)、(5,2)、(5,3)、(5,4)，共12种。
若点$(a,b)$在函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，则满足$ab=12$，逐一验证得符合条件的数对为$(3,4)$、$(4,3)$，共2种。
根据概率公式可得：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】D
【知识点】列表法求概率，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】本题是概率与反比例函数的基础综合题，解题时需注意选取的两个数作为横纵坐标是有序的，避免因混淆顺序导致总结果数计算错误。
【难度系数】0.7
【解析】解：从2,3,4,5中任意选两个数分别作为a和b，所有等可能的有序数对有：(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,2)、(3,4)、(3,5)、(4,2)、(4,3)、(4,5)、(5,2)、(5,3)、(5,4)，共12种。
若点$(a,b)$在函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，则满足$ab=12$，逐一验证得符合条件的数对为$(3,4)$、$(4,3)$，共2种。
根据概率公式可得：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】D
【知识点】列表法求概率，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】本题是概率与反比例函数的基础综合题，解题时需注意选取的两个数作为横纵坐标是有序的，避免因混淆顺序导致总结果数计算错误。
【难度系数】0.7
2. 李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（
A.$\frac{2}{25}$
B.$\frac{1}{20}$
C.$\frac{1}{10}$
D.$\frac{2}{5}$
C
）A.$\frac{2}{25}$
B.$\frac{1}{20}$
C.$\frac{1}{10}$
D.$\frac{2}{5}$
答案
2.C
解析
【分析】
本题是古典概型的概率计算问题，解题思路分为三步：第一步先识别靠窗的座位数量，从座位图可知靠窗座位为A、F共2个；第二步分别计算“从5个座位中随机选2个”的所有等可能结果总数，以及“两个座位都靠窗”的符合条件的结果数；第三步根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率，注意选两个不同座位时无需考虑选择顺序，避免重复计数。
【解析】
首先列出从A、B、C、D、F共5个座位中任选2个的所有等可能结果：AB、AC、AD、AF、BC、BD、BF、CD、CF、DF，共10种。
再找“两个座位都靠近窗户”的结果：只有选A和F这1种情况。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得所求概率为$\frac{1}{10}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 概率公式
2. 列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题的核心是准确计数总情况数和符合要求的情况数，注意本题中选择两个座位是无重复的选择，不要误算为有放回的情况，掌握基础的计数方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题是古典概型的概率计算问题，解题思路分为三步：第一步先识别靠窗的座位数量，从座位图可知靠窗座位为A、F共2个；第二步分别计算“从5个座位中随机选2个”的所有等可能结果总数，以及“两个座位都靠窗”的符合条件的结果数；第三步根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率，注意选两个不同座位时无需考虑选择顺序，避免重复计数。
【解析】
首先列出从A、B、C、D、F共5个座位中任选2个的所有等可能结果：AB、AC、AD、AF、BC、BD、BF、CD、CF、DF，共10种。
再找“两个座位都靠近窗户”的结果：只有选A和F这1种情况。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得所求概率为$\frac{1}{10}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 概率公式
2. 列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题的核心是准确计数总情况数和符合要求的情况数，注意本题中选择两个座位是无重复的选择，不要误算为有放回的情况，掌握基础的计数方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. [2026·阜阳太和校级二模]在如图所示的电路中，有4个开关$S_1,S_2,S_3,S_4$，3个灯泡$L_1,L_2,L_3$和电源以及导线若干.已知该电路所示元件都能正常工作，任意闭合两个开关，灯泡$L_2$能正常发光的概率为 (
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
D
)A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
3.D
解析
【分析】
本题为电路知识与概率计算结合的综合题，解题思路如下：第一步先枚举4个开关中任意闭合2个的所有等可能情况；第二步结合电路通路的判断规则，筛选出能让灯泡L₂正常发光的情况；最后根据概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数得到概率。
【解析】
首先，从4个开关中任意闭合2个，所有等可能的组合共6种，分别为：$(S_1,S_2)$、$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$、$(S_2,S_3)$、$(S_2,S_4)$、$(S_3,S_4)$。
观察电路可知，开关$S_1$在干路，若$S_1$未闭合，整个电路为断路状态，$L_2$无法发光；若$S_1$闭合，搭配任意另一个开关均可让电路形成通路，$L_2$有电流通过即可发光：
1. 闭合$S_1$和$S_2$：电路为通路，$L_2$发光；
2. 闭合$S_1$和$S_3$：电路为通路，$L_2$发光；
3. 闭合$S_1$和$S_4$：电路为通路，$L_2$发光；
其余3种组合均未闭合$S_1$，电路断路，$L_2$不发光。
因此满足$L_2$正常发光的情况共3种，根据概率公式得：
$P(L_2正常发光)=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
【答案】
D
【知识点】
概率计算、电路通断判断、枚举法
【点评】
本题将简单电路知识和概率计算结合，考查学生的综合应用能力，解题时要注意准确枚举所有等可能结果，避免漏算或错判电路状态。
【难度系数】
0.7
本题为电路知识与概率计算结合的综合题，解题思路如下：第一步先枚举4个开关中任意闭合2个的所有等可能情况；第二步结合电路通路的判断规则，筛选出能让灯泡L₂正常发光的情况；最后根据概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数得到概率。
【解析】
首先，从4个开关中任意闭合2个，所有等可能的组合共6种，分别为：$(S_1,S_2)$、$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$、$(S_2,S_3)$、$(S_2,S_4)$、$(S_3,S_4)$。
观察电路可知，开关$S_1$在干路，若$S_1$未闭合，整个电路为断路状态，$L_2$无法发光；若$S_1$闭合，搭配任意另一个开关均可让电路形成通路，$L_2$有电流通过即可发光：
1. 闭合$S_1$和$S_2$：电路为通路，$L_2$发光；
2. 闭合$S_1$和$S_3$：电路为通路，$L_2$发光；
3. 闭合$S_1$和$S_4$：电路为通路，$L_2$发光；
其余3种组合均未闭合$S_1$，电路断路，$L_2$不发光。
因此满足$L_2$正常发光的情况共3种，根据概率公式得：
$P(L_2正常发光)=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
【答案】
D
【知识点】
概率计算、电路通断判断、枚举法
【点评】
本题将简单电路知识和概率计算结合，考查学生的综合应用能力，解题时要注意准确枚举所有等可能结果，避免漏算或错判电路状态。
【难度系数】
0.7
4. 同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数之和等于7的概率是
$\frac{1}{6}$
.答案
4.$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路可分为三步：第一步先确定总等可能结果数，同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子有6种点数结果，所有结果出现的可能性相等，总结果数为两枚骰子结果数的乘积；第二步枚举所有满足“点数之和等于7”的结果，注意两枚骰子相互独立，(1,6)和(6,1)属于不同结果，避免漏算或重复计算；第三步将符合条件的结果数除以总结果数，代入概率公式即可得到答案。
【解析】
解：
∵同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的点数都有1、2、3、4、5、6共6种等可能的结果，
∴所有等可能的总结果数为 $6 × 6 = 36$ 种。
其中两枚骰子点数之和等于7的结果有：$(1,6)$、$(2,5)$、$(3,4)$、$(4,3)$、$(5,2)$、$(6,1)$，共6种。
根据概率公式 $P=\frac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{两枚骰子点数之和等于7})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
等可能事件概率，列表法枚举，概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，重点考查对事件结果的有序统计能力，只要按顺序枚举做到不重不漏，结合概率公式即可快速求解，属于概率板块的基础得分题。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路可分为三步：第一步先确定总等可能结果数，同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子有6种点数结果，所有结果出现的可能性相等，总结果数为两枚骰子结果数的乘积；第二步枚举所有满足“点数之和等于7”的结果，注意两枚骰子相互独立，(1,6)和(6,1)属于不同结果，避免漏算或重复计算；第三步将符合条件的结果数除以总结果数，代入概率公式即可得到答案。
【解析】
解：
∵同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的点数都有1、2、3、4、5、6共6种等可能的结果，
∴所有等可能的总结果数为 $6 × 6 = 36$ 种。
其中两枚骰子点数之和等于7的结果有：$(1,6)$、$(2,5)$、$(3,4)$、$(4,3)$、$(5,2)$、$(6,1)$，共6种。
根据概率公式 $P=\frac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{两枚骰子点数之和等于7})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
等可能事件概率，列表法枚举，概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，重点考查对事件结果的有序统计能力，只要按顺序枚举做到不重不漏，结合概率公式即可快速求解，属于概率板块的基础得分题。
【难度系数】
0.8
5. [新课标—数学文化题]《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白点(1,3,5,7,9)为阳数，黑点(2,4,6,8,10)为阴数.现从阳数和阴数中各取1个数，求取出的2个数之和是5的倍数的概率. 
答案
5.$\frac{1}{5}$
解析
【分析】
解题时首先明确阳数、阴数分别包含的数字及各自的个数，先计算从阳数和阴数中各取1个数的所有等可能的总结果数；再通过列举的方法，找出两个数之和为5的倍数的结果数；最后根据古典概型概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算所求概率。
【解析】
解：由题意可知，阳数为1,3,5,7,9，共5个；阴数为2,4,6,8,10，共5个。
1. 计算总等可能结果数：从阳数、阴数中各取1个，所有等可能的结果共有 $5 × 5 = 25$ 种。
2. 找出和为5的倍数的结果：
逐个匹配可得符合条件的组合为：(1,4)、(3,2)、(5,10)、(7,8)、(9,6)，共5种结果。
3. 计算概率：根据概率公式，所求概率 $P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
古典概型计算，列举法求概率，5的倍数特征
【点评】
本题以中华传统文化“河图洛书”为背景考查概率的基础计算，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能事件和符合要求的事件，注重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确阳数、阴数分别包含的数字及各自的个数，先计算从阳数和阴数中各取1个数的所有等可能的总结果数；再通过列举的方法，找出两个数之和为5的倍数的结果数；最后根据古典概型概率公式（概率=符合条件的结果数÷总结果数）计算所求概率。
【解析】
解：由题意可知，阳数为1,3,5,7,9，共5个；阴数为2,4,6,8,10，共5个。
1. 计算总等可能结果数：从阳数、阴数中各取1个，所有等可能的结果共有 $5 × 5 = 25$ 种。
2. 找出和为5的倍数的结果：
逐个匹配可得符合条件的组合为：(1,4)、(3,2)、(5,10)、(7,8)、(9,6)，共5种结果。
3. 计算概率：根据概率公式，所求概率 $P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
古典概型计算，列举法求概率，5的倍数特征
【点评】
本题以中华传统文化“河图洛书”为背景考查概率的基础计算，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能事件和符合要求的事件，注重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
6. [2026·芜湖南陵二模]某百货商场规定:当顾客消费每达到一定金额时,就拥有一次转盘抽奖的机会.如图,转盘被均分成六个区域,一个区域表示一等奖,两个区域表示二等奖,三个区域表示三等奖.抽奖时,顾客转动转盘,转盘停止后指针指向区域的文字就是获奖的等级(若指针停在分界线上,则重新转动转盘).某顾客有两次抽奖机会,记他两次获得都是二等奖的概率为 $ P_1 $,一次获得一等奖和一次获得二等奖的概率为 $ P_2 $,则 $ P_1 $ 与 $ P_2 $ 之间的大小关系是 (
A.$ P_1 ＞ P_2 $
B.$ P_1 = P_2 $
C.$ P_1 ＜ P_2 $
D.不能确定
B
)A.$ P_1 ＞ P_2 $
B.$ P_1 = P_2 $
C.$ P_1 ＜ P_2 $
D.不能确定
答案
6.B
解析
【分析】
首先明确该转盘抽奖属于等可能事件，先计算单次抽奖抽中一等奖、二等奖的概率；由于两次抽奖相互独立，计算两个事件同时发生的概率用乘法计算；注意“一次获得一等奖和一次获得二等奖”包含“先中一等奖后中二等奖”和“先中二等奖后中一等奖”两种情况，两种情况为互斥事件，概率相加，最后比较两个概率的大小即可。
【解析】
解：转盘被均分为6个区域，因此单次抽奖抽中每个区域的概率相等。
单次抽中一等奖的概率：$P(一)=\frac{1}{6}$，
单次抽中二等奖的概率：$P(二)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
①计算两次都获得二等奖的概率$P_1$：
两次抽奖相互独立，因此$P_1 = P(二) × P(二) = \frac{1}{3} × \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。
②计算一次获得一等奖和一次获得二等奖的概率$P_2$：
该事件包含两种情况：
第一种：第一次中一等奖，第二次中二等奖，概率为$\frac{1}{6} × \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$；
第二种：第一次中二等奖，第二次中一等奖，概率为$\frac{1}{3} × \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$。
两种情况互斥，因此$P_2 = \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{1}{9}$。
因此$P_1 = P_2$。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率，独立事件概率，互斥事件加法
【点评】
本题是概率计算基础题，解题的关键是准确计算单次各奖项的中奖概率，计算“一次一等奖一次二等奖”的概率时不要遗漏两种先后顺序的情况，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
首先明确该转盘抽奖属于等可能事件，先计算单次抽奖抽中一等奖、二等奖的概率；由于两次抽奖相互独立，计算两个事件同时发生的概率用乘法计算；注意“一次获得一等奖和一次获得二等奖”包含“先中一等奖后中二等奖”和“先中二等奖后中一等奖”两种情况，两种情况为互斥事件，概率相加，最后比较两个概率的大小即可。
【解析】
解：转盘被均分为6个区域，因此单次抽奖抽中每个区域的概率相等。
单次抽中一等奖的概率：$P(一)=\frac{1}{6}$，
单次抽中二等奖的概率：$P(二)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
①计算两次都获得二等奖的概率$P_1$：
两次抽奖相互独立，因此$P_1 = P(二) × P(二) = \frac{1}{3} × \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。
②计算一次获得一等奖和一次获得二等奖的概率$P_2$：
该事件包含两种情况：
第一种：第一次中一等奖，第二次中二等奖，概率为$\frac{1}{6} × \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$；
第二种：第一次中二等奖，第二次中一等奖，概率为$\frac{1}{3} × \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$。
两种情况互斥，因此$P_2 = \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{1}{9}$。
因此$P_1 = P_2$。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率，独立事件概率，互斥事件加法
【点评】
本题是概率计算基础题，解题的关键是准确计算单次各奖项的中奖概率，计算“一次一等奖一次二等奖”的概率时不要遗漏两种先后顺序的情况，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
