已知函数 $ y = mx^{m^2 + 3m - 2} $ 是关于 $ x $ 的二次函数,则 $ m $ 的值是____；当 $ m = $____时,函数图象的开口向下；当 $ m = $____时,函数有最小值。

−4或1　−4　1

1. 二次函数 $ y = (a + 3)x^2 $ 的图象如图所示,则 $ a $ 的取值范围为____。

a＞−3

2. 二次函数 $ y = 4x^2 $ 的图象的顶点是____,开口____,对称轴是____；当 $ x $____时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x $____时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,顶点是抛物线的最____点。

(0,0)　向上　y轴　＞0　＜0　低

3. 二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的图象的顶点是____,开口____,对称轴是____；当 $ x $____时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x $____时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,顶点是抛物线的最____点。

(0,0)　向下　y轴　＞0　＜0　高

4. (2025 黄冈)下列关于抛物线 $ y = 2x^2 $ 和抛物线 $ y = -2x^2 $ 的说法中错误的是()
A. 对称轴都是 $ y $ 轴
B. 开口方向相反
C. 顶点都是原点
D. 在 $ y $ 轴左侧的部分都是上升的

D

5. (2025 河南)在二次函数① $ y = 3x^2 $；② $ y = x^2 $；③ $ y = 2x^2 $ 中,图象在同一坐标系中的开口大小顺序,用序号表示应该为()
A. ①＞②＞③
B. ②＞③＞①
C. ①＞③＞②
D. ②＞①＞③

B

6. (2025 广元)若二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象经过点 $ P(-1, 2) $,则该图象必经过点()
A. $ (-1, -2) $
B. $ (-2, 1) $
C. $ (1, 2) $
D. $ (2, 1) $

C

7. (2024 广东中考改)若点 $ (0, y_1) $,$ (-1, y_2) $,$ (-2, y_3) $ 都在二次函数 $ y = -x^2 $ 的图象上,则()
A. $ y_3＞y_2＞y_1 $
B. $ y_2＞y_1＞y_3 $
C. $ y_1＞y_3＞y_2 $
D. $ y_1＞y_2＞y_3 $

D

8. (2025 南通)若点 $ (-2, 3) $,$ (m, 3) $ 是抛物线 $ y = ax^2 $ 上两点,则 $ m $ 的值为____。

2

9. 已知 $ y = (m + 1)x^{m^2 + m} $ 是二次函数,且当 $ x＞0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
(1)求 $ m $ 的值；
(2)在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)点 $ (\sqrt{2}, 3) $ 在(2)中的函数图象上吗？请说明理由。

解：(1) 由题意，得 $ \begin{cases} m^{2} + m = 2, \\ m + 1 ＞ 0, \end{cases} $
$ \therefore \begin{cases} m = 1 \text{ 或 } -2, \\ m ＞ -1, \end{cases} \therefore m = 1 $；
(2) 由 (1) 知二次函数解析式为 $ y = 2x^{2} $，列表：
| $ x $ | $ \cdots $ | $ -2 $ | $ -1.5 $ | $ -1 $ | $ -0.5 $ | $ 0 $ |
| $ y $ | $ \cdots $ | $ 8 $ | $ 4.5 $ | $ 2 $ | $ 0.5 $ | $ 0 $ |
| $ x $ | $ 0.5 $ | $ 1 $ | $ 1.5 $ | $ 2 $ | $ \cdots $ |
| $ y $ | $ 0.5 $ | $ 2 $ | $ 4.5 $ | $ 8 $ | $ \cdots $ |
描点，连线，如图所示；

(3) 当 $ x = \sqrt{2} $ 时，$ y = 2 \times (\sqrt{2})^{2} = 4 $，
$ \therefore $ 点 $ (\sqrt{2}, 3) $ 不在该函数的图象上.