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10. (2025 大连)若点 $ (3, m) $ 和 $ (-3, n) $ 在抛物线 $ y = ax^2 $ 上,则 $ m - n $ 的值为____。
答案
0
11. 已知点 $ A(m, 2) $,$ B(n, 2) $ 是抛物线 $ y = ax^2 $ 上的两点,当 $ x = m + n $ 时,$ y $ 的值是____。
答案
0
12. 已知抛物线 $ y = ax^2(a＞0) $ 经过 $ A(-2, y_1) $,$ B(1, y_2) $ 两点,则下列关系式一定正确的是()
A. $ y_2＞y_1＞0 $
B. $ y_1＞y_2＞0 $
C. $ y_1＞0＞y_2 $
D. $ y_2＞0＞y_1 $
A. $ y_2＞y_1＞0 $
B. $ y_1＞y_2＞0 $
C. $ y_1＞0＞y_2 $
D. $ y_2＞0＞y_1 $
答案
B
13. (2024 滨州中考)将抛物线 $ y = -x^2 $ 先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为____。
答案
(1,2)
14. (2025 江西)抛物线 $ y = ax^2 $ 与直线 $ y = 2x - 3 $ 相交于点 $ (2, b) $,则 $ a $ 的值为____。
答案
$ \frac{1}{4} $
15. 抛物线 $ y = (m - 4)x^2 $ 上有两点 $ A(-3, y_1) $,$ B(2, y_2) $,且 $ y_1＞y_2 $,则 $ m $ 的取值范围是()
A. $ m＜4 $
B. $ m＞4 $
C. $ m≥4 $
D. $ m≠4 $
A. $ m＜4 $
B. $ m＞4 $
C. $ m≥4 $
D. $ m≠4 $
答案
B
16. 已知二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $,当 $ -2≤x≤4 $ 时,$ y $ 的最小值为____,$ y $ 的最大值为____。
答案
0 4
17. 如图,$ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 四点在抛物线 $ y = ax^2 $ 上,且 $ AB// CD// x $ 轴,与 $ y $ 轴的交点分别为 $ E $,$ F $,已知 $ AB = 20 $,$ EF = 3 $,设 $ D(5, m) $。
(1)用含 $ m $ 的式子表示点 $ B $ 的坐标；
(2)求 $ a $ 的值。
(1)用含 $ m $ 的式子表示点 $ B $ 的坐标；
(2)求 $ a $ 的值。
答案
解：(1) $ \because $ 抛物线 $ y = ax^{2} $ 关于 $ y $ 轴对称，$ AB = 20 $，$ \therefore BE = 10 $.
$ \because EF = 3 $，$ D(5, m) $，
$ \therefore B(10, m - 3) $；
(2) $ \because D(5, m) $，$ B(10, m - 3) $ 在抛物线 $ y = ax^{2} $ 上，
$ \therefore \begin{cases} 25a = m, \\ 100a = m - 3, \end{cases} $ 解得 $ a = -\frac{1}{25} $.
$ \because EF = 3 $，$ D(5, m) $，
$ \therefore B(10, m - 3) $；
(2) $ \because D(5, m) $，$ B(10, m - 3) $ 在抛物线 $ y = ax^{2} $ 上，
$ \therefore \begin{cases} 25a = m, \\ 100a = m - 3, \end{cases} $ 解得 $ a = -\frac{1}{25} $.
18. (原创题)如图,点 $ A(-2, 2) $,$ B(3, b) $ 在抛物线 $ y = ax^2 $ 上,$ AB $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $。
(1)求 $ a $,$ b $ 的值及点 $ C $ 的坐标；
(2)$ P $ 为第二象限的抛物线上一点,$ PQ// OC $,交直线 $ AB $ 于点 $ Q $,且 $ PQ = OC $,求点 $ P $ 的坐标。
(1)求 $ a $,$ b $ 的值及点 $ C $ 的坐标；
(2)$ P $ 为第二象限的抛物线上一点,$ PQ// OC $,交直线 $ AB $ 于点 $ Q $,且 $ PQ = OC $,求点 $ P $ 的坐标。
答案
解：(1) 将 $ A(-2, 2) $ 代入 $ y = ax^{2} $，
得 $ 4a = 2 $，$ \therefore a = \frac{1}{2} $，$ \therefore y = \frac{1}{2}x^{2} $.
$ \because B(3, b) $ 在抛物线 $ y = ax^{2} $ 上，
$ \therefore b = \frac{1}{2} \times 3^{2} = \frac{9}{2} $.
$ \therefore a = \frac{1}{2} $，$ b = \frac{9}{2} $；
由 $ A(-2, 2) $，$ B(3, \frac{9}{2}) $，设直线 $ AB $ 的解析式为 $ y = mx + n $，则
$ \begin{cases} -2m + n = 2, \\ 3m + n = \frac{9}{2}, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = \frac{1}{2}, \\ n = 3. \end{cases} $
$ \therefore $ 直线 $ AB $ 的解析式为 $ y = \frac{1}{2}x + 3 $，
$ \therefore C(0, 3) $；
(2) 设 $ P(t, \frac{1}{2}t^{2}) $，
则 $ Q(t, \frac{1}{2}t + 3) $，
$ \because C(0, 3) $，$ \therefore PQ = OC = 3 $，
$ \therefore PQ = \frac{1}{2}t^{2} - \frac{1}{2}t - 3 = 3 $，
解得 $ t_{1} = -3 $，$ t_{2} = 4 $.
$ \because t ＜ 0 $，$ \therefore t = -3 $，$ \therefore P(-3, \frac{9}{2}) $.
得 $ 4a = 2 $，$ \therefore a = \frac{1}{2} $，$ \therefore y = \frac{1}{2}x^{2} $.
$ \because B(3, b) $ 在抛物线 $ y = ax^{2} $ 上，
$ \therefore b = \frac{1}{2} \times 3^{2} = \frac{9}{2} $.
$ \therefore a = \frac{1}{2} $，$ b = \frac{9}{2} $；
由 $ A(-2, 2) $，$ B(3, \frac{9}{2}) $，设直线 $ AB $ 的解析式为 $ y = mx + n $，则
$ \begin{cases} -2m + n = 2, \\ 3m + n = \frac{9}{2}, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = \frac{1}{2}, \\ n = 3. \end{cases} $
$ \therefore $ 直线 $ AB $ 的解析式为 $ y = \frac{1}{2}x + 3 $，
$ \therefore C(0, 3) $；
(2) 设 $ P(t, \frac{1}{2}t^{2}) $，
则 $ Q(t, \frac{1}{2}t + 3) $，
$ \because C(0, 3) $，$ \therefore PQ = OC = 3 $，
$ \therefore PQ = \frac{1}{2}t^{2} - \frac{1}{2}t - 3 = 3 $，
解得 $ t_{1} = -3 $，$ t_{2} = 4 $.
$ \because t ＜ 0 $，$ \therefore t = -3 $，$ \therefore P(-3, \frac{9}{2}) $.
