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1. 用一块直角三角尺确定一个圆的圆心的位置,至少要用 ()
A.1次
B.2次
C.3次
D.4次
A.1次
B.2次
C.3次
D.4次
答案
B
解析
根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角。因此，将直角三角尺的直角顶点放在圆上，两直角边与圆的交点连线即为圆的一条直径。再用同样的方法得到另一条不同的直径，两条直径的交点就是圆心。所以至少需要用2次。
2. 如图,经过原点的$\odot P$与x轴、y轴分别交于A、B两点,C是$\overset{\frown}{OB}$上一点,则$∠C$的度数为 ()
A.$80^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$100^{\circ}$
D.无法确定
A.$80^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$100^{\circ}$
D.无法确定
答案
B
解析
连接AB，因为⊙P经过原点O，与x轴、y轴交于A、B两点，所以∠AOB=90°，AB为⊙P的直径（圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径）。C是⊙P上一点，所以∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
3. (新情境·现实生活)一块圆形玻璃镜面损坏了一部分,为了得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺作如图所示的测量,测得$AB=12cm,BC=5cm$,则圆形玻璃镜面的半径为cm.
答案
$6.5$（或 $\frac{13}{2}$）
解析
连接$AC$，由于$\angle ABC=90°$，
所以$AC$是直径，且$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$（$cm$）。
圆形玻璃镜面的半径即为直径的一半：
$r=\frac{AC}{2}=\frac{13}{2}=6.5$（$cm$）。
所以$AC$是直径，且$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$（$cm$）。
圆形玻璃镜面的半径即为直径的一半：
$r=\frac{AC}{2}=\frac{13}{2}=6.5$（$cm$）。
4. (2024·宜宾)如图,AB是$\odot O$的直径,若$∠CDB=60^{\circ}$,则$∠ABC$的度数为.
答案
30°
解析
因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。又因为∠CDB=60°，且∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），所以∠CAB=60°。在Rt△ABC中，∠ABC=90°-∠CAB=90°-60°=30°。
5. 如图,$△ABC$内接于一圆,$∠CAB=30^{\circ},∠B=60^{\circ}$,O是AB的中点,$CD⊥AB$于点E,交圆于点D.
(1) 求证:点O是圆心;
(2) 求$∠DAE$的度数.
(1) 求证:点O是圆心;
(2) 求$∠DAE$的度数.
答案
(1) 证明见解析；(2) 30°。
解析
(1) 在△ABC中，∠CAB=30°，∠B=60°，∴∠ACB=180°-30°-60°=90°。
∵△ABC内接于圆，∴∠ACB是圆周角。根据圆周角定理推论，90°的圆周角所对的弦是直径，∴AB是圆的直径。
∵O是AB的中点，∴O是圆心。
(2) ∵AB是直径，CD⊥AB于E，由垂径定理得AB垂直平分CD，∴AC=AD。
∵AC=AD，AB⊥CD，∴AB平分∠CAD，即∠CAB=∠DAB。
∵∠CAB=30°，∴∠DAE=∠DAB=30°。
∵△ABC内接于圆，∴∠ACB是圆周角。根据圆周角定理推论，90°的圆周角所对的弦是直径，∴AB是圆的直径。
∵O是AB的中点，∴O是圆心。
(2) ∵AB是直径，CD⊥AB于E，由垂径定理得AB垂直平分CD，∴AC=AD。
∵AC=AD，AB⊥CD，∴AB平分∠CAD，即∠CAB=∠DAB。
∵∠CAB=30°，∴∠DAE=∠DAB=30°。
6. 如图,$□ ABCD$的顶点A、B、D在$\odot O$上,顶点C在$\odot O$的直径BE上,连接AE,$∠E=36^{\circ}$,则$∠ADC$的度数是 ()
A.$44^{\circ}$
B.$54^{\circ}$
C.$72^{\circ}$
D.$53^{\circ}$
A.$44^{\circ}$
B.$54^{\circ}$
C.$72^{\circ}$
D.$53^{\circ}$
答案
B
解析
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠E=36°，
∴∠ABE=90°-∠E=54°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABE=54°（平行四边形对角相等）。
7. 如图,$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{BD}$皆为半圆,$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BD}$相交于E点,其中A、B、C、D在同一条直线上,且B为AC的中点.若$\overset{\frown}{CE}$的度数为$58^{\circ}$,则$\overset{\frown}{BE}$的度数为 ()
A.$58^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$62^{\circ}$
D.$64^{\circ}$
A.$58^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$62^{\circ}$
D.$64^{\circ}$
答案
D
解析
设弧AC的圆心为B（B为AC中点），半径为BC=BA，故弧AC度数为180°。弧CE度数为58°，则圆心角∠CBE=58°（弧的度数等于圆心角的度数）。
弧BD为半圆，圆心为BD中点O，半径OB=OD。连接BE，BE为圆B半径，设BC=BE=r，∠CBE=58°，则E点坐标可表示为(r cos58°, r sin58°)。
在圆O中，直径BD所对圆周角∠BED=90°。设BD=2R（半径R），由坐标关系得R=r/(2 cos58°)。在△BOE中，由余弦定理：BE²=2R²(1-cos∠BOE)，代入BE=r、R=r/(2 cos58°)，解得cos∠BOE=cos64°，故∠BOE=64°，即弧BE度数为64°。
弧BD为半圆，圆心为BD中点O，半径OB=OD。连接BE，BE为圆B半径，设BC=BE=r，∠CBE=58°，则E点坐标可表示为(r cos58°, r sin58°)。
在圆O中，直径BD所对圆周角∠BED=90°。设BD=2R（半径R），由坐标关系得R=r/(2 cos58°)。在△BOE中，由余弦定理：BE²=2R²(1-cos∠BOE)，代入BE=r、R=r/(2 cos58°)，解得cos∠BOE=cos64°，故∠BOE=64°，即弧BE度数为64°。
