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已知直线$l与线段AB交于点O$,点$P在直线l$上,且$PA = PB$,下列结论：①$OA = OB$；②$PO\perp AB$；③$\angle APO= \angle BPO$；④点$P在线段AB$的垂直平分线上.其中结论正确的序号有____.
答案
④
[点睛] 如图,可知①②③不正确.
1.(2024镇江中考改)如图,$\triangle ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D$,连接$BD$,若$AC = 16$,$CD = 10$,则$BD$的长为____.
答案
6
2.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 40^{\circ}$,$\angle C = 90^{\circ}$,线段$AB的垂直平分线交AB于点D$,交$AC于点E$,则$\angle CEB$的度数为____.
答案
$80^{\circ}$
3.(教材变式)如图,在$\triangle ABC$中,$DE是AC$的垂直平分线,交$BC于点D$,交$AC于点E$.
(1)若$AE = 4$,$\triangle ABC的周长为19$,则$\triangle ABD$的周长为____；
(2)若$\triangle ABC与\triangle ABD的周长分别为21和13$,则$AE$的长为____.
(1)若$AE = 4$,$\triangle ABC的周长为19$,则$\triangle ABD$的周长为____；
(2)若$\triangle ABC与\triangle ABD的周长分别为21和13$,则$AE$的长为____.
答案
(1)11 (2)4
4.(教材变式)如图,点$D在\triangle ABC的边BC$上,且$BC = BD + AD$,则点$D$在线段____的垂直平分线上.
答案
$AC$
5.(教材变式)如图,$AB = AC$,$DB = DC$,点$E在直线AD$上.求证：$BE = CE$.
答案
证明: $\because AB = AC$, $DB = DC$,
$\therefore A$, $D$ 两点都在线段 $BC$ 的垂直平分线上,
$\therefore$ 直线 $AD$ 为 $BC$ 的垂直平分线.
$\because$ 点 $E$ 在直线 $AD$ 上,
$\therefore BE = CE$.
$\therefore A$, $D$ 两点都在线段 $BC$ 的垂直平分线上,
$\therefore$ 直线 $AD$ 为 $BC$ 的垂直平分线.
$\because$ 点 $E$ 在直线 $AD$ 上,
$\therefore BE = CE$.
6.(教材变式)下列命题中,其逆命题是真命题的是()
A.邻补角互补
B.若$a = b$,则$a^{2}= b^{2}$
C.全等三角形的对应边都相等
D.若$a + b = 0$,则$|a|= |b|$
A.邻补角互补
B.若$a = b$,则$a^{2}= b^{2}$
C.全等三角形的对应边都相等
D.若$a + b = 0$,则$|a|= |b|$
答案
C
7.“两直线平行,同旁内角互补”和“______”是互逆定理.
答案
同旁内角互补,两直线平行
