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12. 如图,在平行四边形ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,$AE= CG,AH= CF$,且EG平分$∠HEF$.
求证:(1)$\triangle AEH\cong \triangle CGF$(
(2)四边形EFGH是菱形.
求证:(1)$\triangle AEH\cong \triangle CGF$(
SAS
);(2)四边形EFGH是菱形.
答案
证明 (1)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore \angle A = \angle C$.
$\because A E = C G$，$A H = C F$，
$\therefore \triangle A E H \cong \triangle C G F$.
(2)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore \angle B = \angle D$且$A B = C D$，$A D = B C$.
$\because A E = C G$，$A H = C F$，
$\therefore B E = D G$，$D H = B F$.
$\therefore \triangle D H G \cong \triangle B F E$，$\therefore H G = E F$.
由(1)知$H E = G F$，
$\therefore$四边形$EFGH$是平行四边形，$\therefore H G // E F$.
$\because E G$平分$\angle H E F$，
$\therefore \angle H E G = \angle F E G$.
$\because H G // E F$，
$\therefore \angle F E G = \angle H G E$.
$\therefore \angle H E G = \angle H G E$，
$\therefore H E = H G$.
$\therefore$四边形$EFGH$是菱形.
$\therefore \angle A = \angle C$.
$\because A E = C G$，$A H = C F$，
$\therefore \triangle A E H \cong \triangle C G F$.
(2)$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore \angle B = \angle D$且$A B = C D$，$A D = B C$.
$\because A E = C G$，$A H = C F$，
$\therefore B E = D G$，$D H = B F$.
$\therefore \triangle D H G \cong \triangle B F E$，$\therefore H G = E F$.
由(1)知$H E = G F$，
$\therefore$四边形$EFGH$是平行四边形，$\therefore H G // E F$.
$\because E G$平分$\angle H E F$，
$\therefore \angle H E G = \angle F E G$.
$\because H G // E F$，
$\therefore \angle F E G = \angle H G E$.
$\therefore \angle H E G = \angle H G E$，
$\therefore H E = H G$.
$\therefore$四边形$EFGH$是菱形.
13. 为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为400g奶粉的情况,质检员进行了抽样调查. 过程如下. 请补全表一、表二中的空白,并回答提出的问题.
收集数据:
从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取10袋,测得实际质量(单位:g)如下:
甲:400,400,408,406,410,409,400,393,394,395
乙:403,404,396,399,402,402,405,397,402,398
整理数据:
表一
|数据分组|$393≤x＜396$|$396≤x＜399$|$399≤x＜402$|$402≤x＜405$|$405≤x＜408$|$408≤x＜411$|
|甲的频数|3|0|
|乙的频数|0|
分析数据:
表二
|种类|平均数|中位数|众数|方差|
|甲|401.5|
|乙|400.8|402|
得出结论:
包装机分装情况比较好的是
收集数据:
从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取10袋,测得实际质量(单位:g)如下:
甲:400,400,408,406,410,409,400,393,394,395
乙:403,404,396,399,402,402,405,397,402,398
整理数据:
表一
|数据分组|$393≤x＜396$|$396≤x＜399$|$399≤x＜402$|$402≤x＜405$|$405≤x＜408$|$408≤x＜411$|
|甲的频数|3|0|
3
|0|1|3||乙的频数|0|
3
|1|5|1
|0|分析数据:
表二
|种类|平均数|中位数|众数|方差|
|甲|401.5|
400
|400|36.85||乙|400.8|402|
402
|8.56|得出结论:
包装机分装情况比较好的是
乙
(填“甲”或“乙”),说明你的理由.答案
解
表一
数据分组：$393\leq x＜396$、$396\leq x＜399$、$399\leq x＜402$、$402\leq x＜405$、$405\leq x＜408$、$408\leq x＜411$
甲的频数：3、0、3、0、1、3
乙的频数：0、3、1、5、1、0
表二
种类 平均数 中位数 众数 方差
甲 401.5 400 400 36.85
乙 400.8 402 402 8.56
乙，理由：由表二知，乙包装机分装的奶粉质量的方差小，分装质量比较稳定，所以包装机分装情况比较好的是乙.
表一
数据分组：$393\leq x＜396$、$396\leq x＜399$、$399\leq x＜402$、$402\leq x＜405$、$405\leq x＜408$、$408\leq x＜411$
甲的频数：3、0、3、0、1、3
乙的频数：0、3、1、5、1、0
表二
种类 平均数 中位数 众数 方差
甲 401.5 400 400 36.85
乙 400.8 402 402 8.56
乙，理由：由表二知，乙包装机分装的奶粉质量的方差小，分装质量比较稳定，所以包装机分装情况比较好的是乙.
