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10. 先化简,再求值.$(\frac {x-2}{x+2}+\frac {4x}{x^{2}-4})÷\frac {1}{x^{2}-4}$,其中$x=-3.$
小玲做题时把“$x=-3$”错抄成了“$x=3$”,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事.
本题可先对原式进行化简，再分别将$x = - 3$和$x = 3$代入化简后的式子，分析计算结果相同的原因。
- **步骤一：化简原式**
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对原式中$x^2 - 4$进行因式分解可得$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$。
将原式$(\frac {x - 2}{x + 2} + \frac {4x}{x^2 - 4})÷\frac {1}{x^2 - 4}$变形为$(\frac {x - 2}{x + 2} + \frac {4x}{(x + 2)(x - 2)})×(x^2 - 4)$，即$(\frac {x - 2}{x + 2} + \frac {4x}{(x + 2)(x - 2)})×(x + 2)(x - 2)$。
根据乘法分配律$(a+b)× c=a× c+b× c$，对上式展开可得：
$\frac{x - 2}{x + 2}×(x + 2)(x - 2) + \frac{4x}{(x + 2)(x - 2)}×(x + 2)(x - 2)$
分别化简上式中的两项：
$\frac{x - 2}{x + 2}×(x + 2)(x - 2)=(x - 2)^2$
$\frac{4x}{(x + 2)(x - 2)}×(x + 2)(x - 2)=4x$
将上述化简结果代入原式可得：
$(x - 2)^2 + 4x$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对上式进一步展开可得：
$x^2 - 4x + 4 + 4x=x^2 + 4$
- **步骤二：分别代入$x = - 3$和$x = 3$求值**
当$x = - 3$时，代入化简后的式子$x^2 + 4$可得：$(-3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13$。
当$x = 3$时，代入化简后的式子$x^2 + 4$可得：$3^2 + 4 = 9 + 4 = 13$。
由于化简后的式子$x^2 + 4$中$x$的次数为偶数，所以当$x$取互为相反数的两个值时，$x^2$的值是相等的，那么$x^2 + 4$的值也相等。
化简原式得$x^2 + 4$，因为互为相反数的两个数的平方相等，所以当$x = - 3$和$x = 3$时，$x^2$的值都为$9$，$x^2 + 4$的值都为$13$，故把“$x = - 3$”错抄成“$x = 3$”，计算结果也是正确的。
小玲做题时把“$x=-3$”错抄成了“$x=3$”,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事.
本题可先对原式进行化简，再分别将$x = - 3$和$x = 3$代入化简后的式子，分析计算结果相同的原因。
- **步骤一：化简原式**
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对原式中$x^2 - 4$进行因式分解可得$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$。
将原式$(\frac {x - 2}{x + 2} + \frac {4x}{x^2 - 4})÷\frac {1}{x^2 - 4}$变形为$(\frac {x - 2}{x + 2} + \frac {4x}{(x + 2)(x - 2)})×(x^2 - 4)$，即$(\frac {x - 2}{x + 2} + \frac {4x}{(x + 2)(x - 2)})×(x + 2)(x - 2)$。
根据乘法分配律$(a+b)× c=a× c+b× c$，对上式展开可得：
$\frac{x - 2}{x + 2}×(x + 2)(x - 2) + \frac{4x}{(x + 2)(x - 2)}×(x + 2)(x - 2)$
分别化简上式中的两项：
$\frac{x - 2}{x + 2}×(x + 2)(x - 2)=(x - 2)^2$
$\frac{4x}{(x + 2)(x - 2)}×(x + 2)(x - 2)=4x$
将上述化简结果代入原式可得：
$(x - 2)^2 + 4x$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对上式进一步展开可得：
$x^2 - 4x + 4 + 4x=x^2 + 4$
- **步骤二：分别代入$x = - 3$和$x = 3$求值**
当$x = - 3$时，代入化简后的式子$x^2 + 4$可得：$(-3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13$。
当$x = 3$时，代入化简后的式子$x^2 + 4$可得：$3^2 + 4 = 9 + 4 = 13$。
由于化简后的式子$x^2 + 4$中$x$的次数为偶数，所以当$x$取互为相反数的两个值时，$x^2$的值是相等的，那么$x^2 + 4$的值也相等。
化简原式得$x^2 + 4$，因为互为相反数的两个数的平方相等，所以当$x = - 3$和$x = 3$时，$x^2$的值都为$9$，$x^2 + 4$的值都为$13$，故把“$x = - 3$”错抄成“$x = 3$”，计算结果也是正确的。
答案
【解析】：
本题可先对原式进行化简，再分别将$x = - 3$和$x = 3$代入化简后的式子，分析计算结果相同的原因。
- **步骤一：化简原式**
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对原式中$x^2 - 4$进行因式分解可得$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$。
将原式$(\frac {x - 2}{x + 2} + \frac {4x}{x^2 - 4})÷\frac {1}{x^2 - 4}$变形为$(\frac {x - 2}{x + 2} + \frac {4x}{(x + 2)(x - 2)})×(x^2 - 4)$，即$(\frac {x - 2}{x + 2} + \frac {4x}{(x + 2)(x - 2)})×(x + 2)(x - 2)$。
根据乘法分配律$(a+b)× c=a× c+b× c$，对上式展开可得：
$\frac{x - 2}{x + 2}×(x + 2)(x - 2) + \frac{4x}{(x + 2)(x - 2)}×(x + 2)(x - 2)$
分别化简上式中的两项：
$\frac{x - 2}{x + 2}×(x + 2)(x - 2)=(x - 2)^2$
$\frac{4x}{(x + 2)(x - 2)}×(x + 2)(x - 2)=4x$
将上述化简结果代入原式可得：
$(x - 2)^2 + 4x$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对上式进一步展开可得：
$x^2 - 4x + 4 + 4x=x^2 + 4$
- **步骤二：分别代入$x = - 3$和$x = 3$求值**
当$x = - 3$时，代入化简后的式子$x^2 + 4$可得：$(-3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13$。
当$x = 3$时，代入化简后的式子$x^2 + 4$可得：$3^2 + 4 = 9 + 4 = 13$。
由于化简后的式子$x^2 + 4$中$x$的次数为偶数，所以当$x$取互为相反数的两个值时，$x^2$的值是相等的，那么$x^2 + 4$的值也相等。
【答案】：化简原式得$x^2 + 4$，因为互为相反数的两个数的平方相等，所以当$x = - 3$和$x = 3$时，$x^2$的值都为$9$，$x^2 + 4$的值都为$13$，故把“$x = - 3$”错抄成“$x = 3$”，计算结果也是正确的。
本题可先对原式进行化简，再分别将$x = - 3$和$x = 3$代入化简后的式子，分析计算结果相同的原因。
- **步骤一：化简原式**
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对原式中$x^2 - 4$进行因式分解可得$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$。
将原式$(\frac {x - 2}{x + 2} + \frac {4x}{x^2 - 4})÷\frac {1}{x^2 - 4}$变形为$(\frac {x - 2}{x + 2} + \frac {4x}{(x + 2)(x - 2)})×(x^2 - 4)$，即$(\frac {x - 2}{x + 2} + \frac {4x}{(x + 2)(x - 2)})×(x + 2)(x - 2)$。
根据乘法分配律$(a+b)× c=a× c+b× c$，对上式展开可得：
$\frac{x - 2}{x + 2}×(x + 2)(x - 2) + \frac{4x}{(x + 2)(x - 2)}×(x + 2)(x - 2)$
分别化简上式中的两项：
$\frac{x - 2}{x + 2}×(x + 2)(x - 2)=(x - 2)^2$
$\frac{4x}{(x + 2)(x - 2)}×(x + 2)(x - 2)=4x$
将上述化简结果代入原式可得：
$(x - 2)^2 + 4x$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对上式进一步展开可得：
$x^2 - 4x + 4 + 4x=x^2 + 4$
- **步骤二：分别代入$x = - 3$和$x = 3$求值**
当$x = - 3$时，代入化简后的式子$x^2 + 4$可得：$(-3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13$。
当$x = 3$时，代入化简后的式子$x^2 + 4$可得：$3^2 + 4 = 9 + 4 = 13$。
由于化简后的式子$x^2 + 4$中$x$的次数为偶数，所以当$x$取互为相反数的两个值时，$x^2$的值是相等的，那么$x^2 + 4$的值也相等。
【答案】：化简原式得$x^2 + 4$，因为互为相反数的两个数的平方相等，所以当$x = - 3$和$x = 3$时，$x^2$的值都为$9$，$x^2 + 4$的值都为$13$，故把“$x = - 3$”错抄成“$x = 3$”，计算结果也是正确的。
11. 某市遇到百年一遇的大旱,全市人民齐心协力积极抗旱.某校师生也组织活动捐款打井抗旱.已知第一天捐款4 800元,第二天捐款6 000元,第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人,且两天人均捐款数相等,那么两天参加捐款的人数一共有多少?
答案
【解析】：设第一天捐款人数为$x$人，则第二天捐款人数为$(x + 50)$人。
因为两天人均捐款数相等，根据“人均捐款数=捐款总数÷捐款人数”，可列方程：$\frac{4800}{x}=\frac{6000}{x + 50}$。
方程两边同乘$x(x + 50)$去分母得：$4800(x + 50)=6000x$。
去括号得：$4800x+240000 = 6000x$。
移项得：$6000x-4800x = 240000$。
合并同类项得：$1200x = 240000$。
系数化为$1$得：$x = 200$。
经检验，当$x = 200$时，$x(x + 50)=200×(200 + 50)=200×250 = 50000\neq0$，所以$x = 200$是原分式方程的解。
则第二天捐款人数为$x + 50=200 + 50 = 250$人。
那么两天参加捐款的人数一共有$200 + 250 = 450$人。
【答案】：$450$人
因为两天人均捐款数相等，根据“人均捐款数=捐款总数÷捐款人数”，可列方程：$\frac{4800}{x}=\frac{6000}{x + 50}$。
方程两边同乘$x(x + 50)$去分母得：$4800(x + 50)=6000x$。
去括号得：$4800x+240000 = 6000x$。
移项得：$6000x-4800x = 240000$。
合并同类项得：$1200x = 240000$。
系数化为$1$得：$x = 200$。
经检验，当$x = 200$时，$x(x + 50)=200×(200 + 50)=200×250 = 50000\neq0$，所以$x = 200$是原分式方程的解。
则第二天捐款人数为$x + 50=200 + 50 = 250$人。
那么两天参加捐款的人数一共有$200 + 250 = 450$人。
【答案】：$450$人
12. 一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地,出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶,1 h后以原来速度的1.5倍匀速行驶,并比原计划提前40 min到达目的地.求第1小时的行驶速度.
答案
【解析】：设第1小时的行驶速度是$x$千米/小时。
原计划到达目的地的时间为$\frac{180}{x}$小时。
汽车出发1小时行驶的路程为$x×1 = x$千米，1小时后行驶的路程为$(180 - x)$千米，1小时后速度变为$1.5x$千米/小时，则1小时后行驶的时间为$\frac{180 - x}{1.5x}$小时，那么实际用时为$1+\frac{180 - x}{1.5x}$小时。
已知比原计划提前40分钟（$\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$小时）到达目的地，可列方程：
$\frac{180}{x}-(1 + \frac{180 - x}{1.5x})=\frac{2}{3}$
方程两边同乘$3x$去分母得：
$3x×\frac{180}{x}-3x×(1+\frac{180 - x}{1.5x}) = 3x×\frac{2}{3}$
$540-3x - 2×(180 - x)=2x$
$540-3x - 360 + 2x = 2x$
$-3x + 2x-2x=360 - 540$
$-3x=-180$
$x = 60$。
经检验，当$x = 60$时，$3x=3×60 = 180\neq0$，所以$x = 60$是原方程的解，且符合题意。
【答案】：60千米/小时
原计划到达目的地的时间为$\frac{180}{x}$小时。
汽车出发1小时行驶的路程为$x×1 = x$千米，1小时后行驶的路程为$(180 - x)$千米，1小时后速度变为$1.5x$千米/小时，则1小时后行驶的时间为$\frac{180 - x}{1.5x}$小时，那么实际用时为$1+\frac{180 - x}{1.5x}$小时。
已知比原计划提前40分钟（$\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$小时）到达目的地，可列方程：
$\frac{180}{x}-(1 + \frac{180 - x}{1.5x})=\frac{2}{3}$
方程两边同乘$3x$去分母得：
$3x×\frac{180}{x}-3x×(1+\frac{180 - x}{1.5x}) = 3x×\frac{2}{3}$
$540-3x - 2×(180 - x)=2x$
$540-3x - 360 + 2x = 2x$
$-3x + 2x-2x=360 - 540$
$-3x=-180$
$x = 60$。
经检验，当$x = 60$时，$3x=3×60 = 180\neq0$，所以$x = 60$是原方程的解，且符合题意。
【答案】：60千米/小时
