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1.如图，PA，PB为$\odot O$的切线，A，B为切点，连接PO交$\odot O$于点D，连接AD延长交PB于点E，若$AD⊥ PB$.
(1)求$∠ AOB$的大小；
(2)若$AE=6$，直接写出$\odot O$的半径为
(1)求$∠ AOB$的大小；
(2)若$AE=6$，直接写出$\odot O$的半径为
4
.答案
(1)连接OA,OB,
∵AD//OB,
∴∠ADO=∠DOB=∠AOP,
∴AD=AO=OD,
∴△ADO为等边三角形,
∴∠AOB=120°；
(2)$DE=\frac{1}{2}R$,
∴$R+\frac{1}{2}R=6$,
∴$R=4$.
2.(2026·广州)如图,在单位长度为1的网格中,点O,A,B均在格点上,OA=3,AB=2,以O为圆心,OA为半径画圆,请按下列步骤完成作图,并回答问题:
①过点A作切线AC,且AC=4;②连接OC,交⊙O于点D;③连接BD,与AC交于点E.
(1)求证:DB为⊙O的切线; (2)求AE的长.
①过点A作切线AC,且AC=4;②连接OC,交⊙O于点D;③连接BD,与AC交于点E.
(1)求证:DB为⊙O的切线; (2)求AE的长.
答案
(1)证明:在△AOC 和△DOB 中，
$\begin{cases} AO=OD, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ OC=OB, \end{cases}$
∴△AOC≌△DOB,
∴∠ODB=∠OAC=90°,
∴BD 为⊙O 的切线；
(2)解:设 AE=x,
∴DE=AE=x.BE=4−x,
在Rt△BAE 中,$BE^2=AE^2+AB^2$,
$(4−x)^2=x^2+2^2$,$x=\frac{3}{2}$,
∴$AE=\frac{3}{2}$.
3.如图,在△ABM中,∠MAB=90°,AB//CD,点D在AM上,点C在BM上,以D为圆心,AD为半径的⊙D与直线BC相切于点E.
(1)求证:BC=CD;
(2)若AD=4,AB=8,求CD的长.
(1)求证:BC=CD;
(2)若AD=4,AB=8,求CD的长.
答案
(1)证明:连接DE,DB,
证∠CDB=∠DBA=∠DBE；
(2)解:设 CD=x,
∴CE=8−x,
在Rt△CDE 中,
$4^2+(8−x)^2=x^2$,
∴x=5,
∴CD=5.
4.(教材P153例3变式)如图,点P是⊙O外一点,A,B,C三点在⊙O上,AC=AB,PB,PA为⊙O的切线.
(1)求证:PA//BC;
(2)⊙O的半径为5,BC=8,求PA的长.
(1)求证:PA//BC;
(2)⊙O的半径为5,BC=8,求PA的长.
答案
(1)证明:连接OA,
证∠OAP=90°,
∵OA⊥BC,
∴PA//BC；
(2)解:连接AO并延长交BC于D,连接OC,过P作PQ⊥BC交CB的延长线于Q,
∴OD⊥BC,
CD=BD=4,AD=8,
在Rt△PBQ中,
设PA=x,$(x−4)^2+8^2=x^2$,
∴x=10,PA=10.
