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8.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.若∠ADB＝30°，则∠E的度数为
15
°答案
8.15
解析
【分析】
解题时先连接辅助线AC，首先利用矩形对角线相等的性质，结合已知CE=BD，可得到AC=CE，推出△ACE为等腰三角形，即∠E=∠CAE；再根据矩形对边平行、对角线互相平分且相等的性质，求出∠ACB的度数；最后利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠E的度数。
【解析】
连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD//BC，矩形对角线互相平分且相等，故OB=OC，
∴∠ADB=∠DBC=30°（两直线平行，内错角相等），
又
∵OB=OC，
∴∠ACB=∠DBC=30°，
已知CE=BD，
∴AC=CE，
∴△ACE是等腰三角形，∠E=∠CAE，
∵∠ACB是△ACE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，
即2∠E=30°，解得∠E=15°。
【答案】
15
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的突破口是通过连接AC构造等腰三角形，利用矩形对角线相等完成线段的等量代换，再结合三角形相关性质计算角度，熟练掌握矩形和三角形的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先连接辅助线AC，首先利用矩形对角线相等的性质，结合已知CE=BD，可得到AC=CE，推出△ACE为等腰三角形，即∠E=∠CAE；再根据矩形对边平行、对角线互相平分且相等的性质，求出∠ACB的度数；最后利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠E的度数。
【解析】
连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AD//BC，矩形对角线互相平分且相等，故OB=OC，
∴∠ADB=∠DBC=30°（两直线平行，内错角相等），
又
∵OB=OC，
∴∠ACB=∠DBC=30°，
已知CE=BD，
∴AC=CE，
∴△ACE是等腰三角形，∠E=∠CAE，
∵∠ACB是△ACE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，
即2∠E=30°，解得∠E=15°。
【答案】
15
【知识点】
矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的突破口是通过连接AC构造等腰三角形，利用矩形对角线相等完成线段的等量代换，再结合三角形相关性质计算角度，熟练掌握矩形和三角形的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$△ ABC$中,$BC=18$,$BD⊥ AC$于点$D$,$CE⊥ AB$于点$E$,连接$DE$,$F$,$G$分别为$BC$,$DE$的中点.若$DE=10$,则$FG$的长为
$2\sqrt{14}$
.答案
9.$2\sqrt{14}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：图中存在两个以BC为斜边的直角三角形Rt△BEC、Rt△BDC，且F是BC中点，优先考虑直角三角形斜边中线的性质，先连接EF、DF，可证得EF=DF，即△DEF为等腰三角形；再结合G是DE中点，利用等腰三角形三线合一的性质可得FG⊥DE，最后在直角三角形中借助勾股定理即可求出FG的长度。
【解析】
连接EF、DF：
1. 因为BD⊥AC，所以△BDC是直角三角形，又F为BC的中点，根据“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”，可得$DF=\frac{1}{2}BC$。
2. 同理，CE⊥AB，△BEC是直角三角形，可得$EF=\frac{1}{2}BC$。
3. 已知BC=18，因此$EF=DF=\frac{1}{2}×18=9$，即△DEF是等腰三角形。
4. 因为G是DE的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知FG⊥DE，且$DG=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×10=5$。
5. 在Rt△FGD中，由勾股定理得：$FG=\sqrt{DF^2-DG^2}=\sqrt{9^2-5^2}=\sqrt{81-25}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$。
【答案】
$2\sqrt{14}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形，再结合相关性质和勾股定理计算，这类题型是几何高频考点，需要熟练掌握各性质的适用条件。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察图形特征：图中存在两个以BC为斜边的直角三角形Rt△BEC、Rt△BDC，且F是BC中点，优先考虑直角三角形斜边中线的性质，先连接EF、DF，可证得EF=DF，即△DEF为等腰三角形；再结合G是DE中点，利用等腰三角形三线合一的性质可得FG⊥DE，最后在直角三角形中借助勾股定理即可求出FG的长度。
【解析】
连接EF、DF：
1. 因为BD⊥AC，所以△BDC是直角三角形，又F为BC的中点，根据“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”，可得$DF=\frac{1}{2}BC$。
2. 同理，CE⊥AB，△BEC是直角三角形，可得$EF=\frac{1}{2}BC$。
3. 已知BC=18，因此$EF=DF=\frac{1}{2}×18=9$，即△DEF是等腰三角形。
4. 因为G是DE的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知FG⊥DE，且$DG=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×10=5$。
5. 在Rt△FGD中，由勾股定理得：$FG=\sqrt{DF^2-DG^2}=\sqrt{9^2-5^2}=\sqrt{81-25}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$。
【答案】
$2\sqrt{14}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形，再结合相关性质和勾股定理计算，这类题型是几何高频考点，需要熟练掌握各性质的适用条件。
【难度系数】
0.6
10.如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF.求证:AF=DE. 
第10题图
第10题图答案
10. 证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore AB=DC,∠ B=∠ C=90°.$
$\because BE=CF,\therefore BE+EF=CF+EF,$
即 $BF=CE,$
$\therefore △ ABF≌△ DCE,\therefore AF=DE.$
$\therefore AB=DC,∠ B=∠ C=90°.$
$\because BE=CF,\therefore BE+EF=CF+EF,$
即 $BF=CE,$
$\therefore △ ABF≌△ DCE,\therefore AF=DE.$
解析
【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。本题中AF在△ABF中，DE在△DCE中，因此只需证明△ABF≌△DCE即可。首先利用矩形的性质得到一组对应边相等、一组对应角相等，再结合已知BE=CF，通过等式性质得到另一组对应边相等，即可判定三角形全等，进而得到对应边AF=DE。
【解析】
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore AB=DC,∠ B=∠ C=90°.$
$\because BE=CF,\therefore BE+EF=CF+EF,$
即 $BF=CE,$
在$△ ABF$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}AB=DC \\∠B=∠C \\BF=CE\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DCE(\mathrm{SAS}),\therefore AF=DE.$
【答案】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore AB=DC,∠ B=∠ C=90°.$
$\because BE=CF,\therefore BE+EF=CF+EF,$
即 $BF=CE,$
$\therefore △ ABF≌△ DCE,\therefore AF=DE.$
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查通过三角形全等推导线段相等的方法，解题关键是结合矩形性质和已知条件推导全等所需的边角条件，解题逻辑清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.9
要证明两条线段相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。本题中AF在△ABF中，DE在△DCE中，因此只需证明△ABF≌△DCE即可。首先利用矩形的性质得到一组对应边相等、一组对应角相等，再结合已知BE=CF，通过等式性质得到另一组对应边相等，即可判定三角形全等，进而得到对应边AF=DE。
【解析】
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore AB=DC,∠ B=∠ C=90°.$
$\because BE=CF,\therefore BE+EF=CF+EF,$
即 $BF=CE,$
在$△ ABF$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}AB=DC \\∠B=∠C \\BF=CE\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DCE(\mathrm{SAS}),\therefore AF=DE.$
【答案】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore AB=DC,∠ B=∠ C=90°.$
$\because BE=CF,\therefore BE+EF=CF+EF,$
即 $BF=CE,$
$\therefore △ ABF≌△ DCE,\therefore AF=DE.$
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查通过三角形全等推导线段相等的方法，解题关键是结合矩形性质和已知条件推导全等所需的边角条件，解题逻辑清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.9
11.如图，AD 和 BC 相交于点 O，$∠ ABO = ∠ DCO = 90°$，$OB = OC$，$E$，$F$ 分别是 $AO$，$DO$ 的中点.
(1)求证:$OE=OF$；
(2)当$∠ A = 30°$时，求证:四边形 $BECF$ 是矩形.
第 11 题图
(1)求证:$OE=OF$；
(2)当$∠ A = 30°$时，求证:四边形 $BECF$ 是矩形.
第 11 题图
答案
11. 证明:(1)$\because ∠ ABO=∠ DCO=90°,$
$\therefore AB// CD,\therefore ∠ A=∠ D.$
在$△ AOB$ 和$△ DOC$ 中,$\begin{cases}∠ A=∠ D,\\∠ ABO=∠ DCO,\\OB=OC,\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ DOC(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AO=DO.$
$\because E,F$ 分别是 $AO,DO$ 的中点.
$\therefore OE=\frac{1}{2}OA,OF=\frac{1}{2}OD,\therefore OE=OF.$
(2)$\because OB=OC,OE=OF,$
$\therefore$ 四边形 $BECF$ 是平行四边形.
$\because ∠ ABO=90°,∠ A=30°,$
$\therefore OB=\frac{1}{2}OA=OE,\therefore BC=EF,$
$\therefore$ 四边形 $BECF$ 是矩形.
$\therefore AB// CD,\therefore ∠ A=∠ D.$
在$△ AOB$ 和$△ DOC$ 中,$\begin{cases}∠ A=∠ D,\\∠ ABO=∠ DCO,\\OB=OC,\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ DOC(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AO=DO.$
$\because E,F$ 分别是 $AO,DO$ 的中点.
$\therefore OE=\frac{1}{2}OA,OF=\frac{1}{2}OD,\therefore OE=OF.$
(2)$\because OB=OC,OE=OF,$
$\therefore$ 四边形 $BECF$ 是平行四边形.
$\because ∠ ABO=90°,∠ A=30°,$
$\therefore OB=\frac{1}{2}OA=OE,\therefore BC=EF,$
$\therefore$ 四边形 $BECF$ 是矩形.
解析
【分析】
(1)要证$OE=OF$，已知$E$、$F$分别是$AO$、$DO$的中点，因此只需先证明$AO=DO$。结合已知条件，可通过证明$△ AOB ≌ △ DOC$得到$AO=DO$：由两个直角可得$AB // CD$，推出内错角$∠ A=∠ D$，再结合$OB=OC$的条件，用AAS即可判定两三角形全等，得到$AO=DO$后结合中点性质即可推出$OE=OF$。
(2)要证四边形$BECF$是矩形，首先先判定它是平行四边形：已知$OB=OC$，结合(1)的结论$OE=OF$，可得四边形对角线互相平分，因此是平行四边形。接下来证对角线相等即可：在$Rt△ ABO$中，30°角所对直角边$OB$等于斜边$AO$的一半，而$OE$也是$AO$的一半，因此$OB=OE$，可得对角线$BC=EF$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得证。
【解析】
(1) $\because ∠ ABO=∠ DCO=90°$，
$\therefore AB// CD$，$\therefore ∠ A=∠ D$。
在$△ AOB$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ D, \\∠ ABO=∠ DCO, \\OB=OC,\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ DOC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AO=DO$。
$\because E$，$F$分别是$AO$，$DO$的中点，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OA$，$OF=\frac{1}{2}OD$，
$\therefore OE=OF$。
(2) $\because OB=OC$，$OE=OF$，
$\therefore$ 四边形$BECF$是平行四边形。
$\because ∠ ABO=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore OB=\frac{1}{2}OA=OE$，
$\therefore BC=2OB$，$EF=2OE$，即$BC=EF$，
$\therefore$ 平行四边形$BECF$是矩形。
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
全等三角形判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，围绕三角形全等、特殊直角三角形性质和特殊四边形判定展开，解题时需按照从已知到结论的逻辑逐步推导，先证线段相等为后续判定特殊四边形做铺垫，是几何类的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
(1)要证$OE=OF$，已知$E$、$F$分别是$AO$、$DO$的中点，因此只需先证明$AO=DO$。结合已知条件，可通过证明$△ AOB ≌ △ DOC$得到$AO=DO$：由两个直角可得$AB // CD$，推出内错角$∠ A=∠ D$，再结合$OB=OC$的条件，用AAS即可判定两三角形全等，得到$AO=DO$后结合中点性质即可推出$OE=OF$。
(2)要证四边形$BECF$是矩形，首先先判定它是平行四边形：已知$OB=OC$，结合(1)的结论$OE=OF$，可得四边形对角线互相平分，因此是平行四边形。接下来证对角线相等即可：在$Rt△ ABO$中，30°角所对直角边$OB$等于斜边$AO$的一半，而$OE$也是$AO$的一半，因此$OB=OE$，可得对角线$BC=EF$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得证。
【解析】
(1) $\because ∠ ABO=∠ DCO=90°$，
$\therefore AB// CD$，$\therefore ∠ A=∠ D$。
在$△ AOB$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ D, \\∠ ABO=∠ DCO, \\OB=OC,\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ DOC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AO=DO$。
$\because E$，$F$分别是$AO$，$DO$的中点，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OA$，$OF=\frac{1}{2}OD$，
$\therefore OE=OF$。
(2) $\because OB=OC$，$OE=OF$，
$\therefore$ 四边形$BECF$是平行四边形。
$\because ∠ ABO=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore OB=\frac{1}{2}OA=OE$，
$\therefore BC=2OB$，$EF=2OE$，即$BC=EF$，
$\therefore$ 平行四边形$BECF$是矩形。
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
全等三角形判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，围绕三角形全等、特殊直角三角形性质和特殊四边形判定展开，解题时需按照从已知到结论的逻辑逐步推导，先证线段相等为后续判定特殊四边形做铺垫，是几何类的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
