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1. 如图，在广州西关大屋修缮时，工人师傅砌门时通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学依据是 （
A.对顶角相等
B.两点之间，线段最短
C.三角形具有稳定性
D.垂线段最短
C
）A.对顶角相等
B.两点之间，线段最短
C.三角形具有稳定性
D.垂线段最短
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先明确题目核心需求是让长方形门框不变形，首先观察添加木条BD后图形的变化：原本的四边形ABCD被BD分割为△ABD和△BCD两个三角形，接下来逐一匹配选项对应原理的适用场景：对顶角相等用于角度计算，两点之间线段最短用于路径最短问题，垂线段最短用于点到直线的最短距离问题，只有三角形的稳定性对应“结构固定不变形”的应用，即可推导得出答案。
【解析】
长方形属于四边形，本身具有不稳定性，容易变形。用木条BD固定长方形门框后，BD与长方形的边构成了△ABD和△BCD两个三角形。三角形具有稳定性，即三角形三边长度确定后，形状和大小就固定不变，因此能让门框保持原有形状不发生变形。
对各选项分析如下：
A.对顶角相等的性质多用于角度相关的计算与证明，与固定门框不变形无关，不符合要求；
B.两点之间，线段最短的原理多用于求解最短路径问题，不符合本题场景；
C.三角形具有稳定性，符合固定结构不变形的原理，符合要求；
D.垂线段最短的原理用于求解点到直线的最短距离，与本题无关，不符合要求。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的稳定性，四边形的不稳定性
【点评】
本题是几何基本性质在实际生活中的应用类题目，要求学生能够区分不同几何性质的适用场景，学会用数学原理解释生活中的常见操作，侧重对基础概念的理解与应用。
【难度系数】
0.9
解题时先明确题目核心需求是让长方形门框不变形，首先观察添加木条BD后图形的变化：原本的四边形ABCD被BD分割为△ABD和△BCD两个三角形，接下来逐一匹配选项对应原理的适用场景：对顶角相等用于角度计算，两点之间线段最短用于路径最短问题，垂线段最短用于点到直线的最短距离问题，只有三角形的稳定性对应“结构固定不变形”的应用，即可推导得出答案。
【解析】
长方形属于四边形，本身具有不稳定性，容易变形。用木条BD固定长方形门框后，BD与长方形的边构成了△ABD和△BCD两个三角形。三角形具有稳定性，即三角形三边长度确定后，形状和大小就固定不变，因此能让门框保持原有形状不发生变形。
对各选项分析如下：
A.对顶角相等的性质多用于角度相关的计算与证明，与固定门框不变形无关，不符合要求；
B.两点之间，线段最短的原理多用于求解最短路径问题，不符合本题场景；
C.三角形具有稳定性，符合固定结构不变形的原理，符合要求；
D.垂线段最短的原理用于求解点到直线的最短距离，与本题无关，不符合要求。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的稳定性，四边形的不稳定性
【点评】
本题是几何基本性质在实际生活中的应用类题目，要求学生能够区分不同几何性质的适用场景，学会用数学原理解释生活中的常见操作，侧重对基础概念的理解与应用。
【难度系数】
0.9
2. 下列长度的三条线段中,能组成三角形的是 （
A.4 cm,5 cm,9 cm
B.8 cm,8 cm,15 cm
C.5 cm,5 cm,10 cm
D.6 cm,7 cm,14 cm
B
）A.4 cm,5 cm,9 cm
B.8 cm,8 cm,15 cm
C.5 cm,5 cm,10 cm
D.6 cm,7 cm,14 cm
答案
2.B
解析
【分析】要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需比较两条较短边的长度之和与最长边的大小即可：如果两条短边之和大于最长边，就能组成三角形；如果小于或等于最长边，就不能组成三角形，接下来按这个方法逐个分析选项即可。
【解析】根据三角形三边关系，验证时只需比较两条较短边的和与最长边的大小：
A选项：两条短边为4cm、5cm，和为$4+5=9\mathrm{cm}$，等于最长边9cm，不能组成三角形；
B选项：两条短边为8cm、8cm，和为$8+8=16\mathrm{cm}$，$16\mathrm{cm}＞15\mathrm{cm}$（最长边），满足三边关系，可以组成三角形；
C选项：两条短边为5cm、5cm，和为$5+5=10\mathrm{cm}$，等于最长边10cm，不能组成三角形；
D选项：两条短边为6cm、7cm，和为$6+7=13\mathrm{cm}$，$13\mathrm{cm}＜14\mathrm{cm}$（最长边），不满足三边关系，不能组成三角形。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【点评】本题是三角形相关的基础题型，解题的关键是掌握判断三条线段能否构成三角形的简便方法，不需要逐一验证三组两边之和，只需验证两短边之和大于最长边即可快速得到答案。
【难度系数】0.8
【解析】根据三角形三边关系，验证时只需比较两条较短边的和与最长边的大小：
A选项：两条短边为4cm、5cm，和为$4+5=9\mathrm{cm}$，等于最长边9cm，不能组成三角形；
B选项：两条短边为8cm、8cm，和为$8+8=16\mathrm{cm}$，$16\mathrm{cm}＞15\mathrm{cm}$（最长边），满足三边关系，可以组成三角形；
C选项：两条短边为5cm、5cm，和为$5+5=10\mathrm{cm}$，等于最长边10cm，不能组成三角形；
D选项：两条短边为6cm、7cm，和为$6+7=13\mathrm{cm}$，$13\mathrm{cm}＜14\mathrm{cm}$（最长边），不满足三边关系，不能组成三角形。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【点评】本题是三角形相关的基础题型，解题的关键是掌握判断三条线段能否构成三角形的简便方法，不需要逐一验证三组两边之和，只需验证两短边之和大于最长边即可快速得到答案。
【难度系数】0.8
3. 已知从一个多边形的一个顶点只可以引出4条对角线，那么它共有对角线（
A.7条
B.28条
C.12条
D.14条
D
）A.7条
B.28条
C.12条
D.14条
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先回忆多边形对角线的相关规律：首先，n边形从一个顶点出发时，不能和自身、相邻的2个顶点连接形成对角线，因此一个顶点可引出的对角线条数为(n-3)条；其次，计算多边形总对角线时，n个顶点共可连出n(n-3)条连线，但每条对角线会被两个顶点重复计算1次，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。解题第一步先根据单个顶点的对角线条数求出多边形的边数n，第二步代入总对角线公式计算即可得到结果。
【解析】
解：设该多边形的边数为n。
根据n边形单个顶点引出的对角线条数规律可得：n - 3 = 4，
解得n = 7，即该多边形为七边形。
再代入多边形总对角线条数公式计算：
总对角线条数 = $\frac{n(n-3)}{2}$ = $\frac{7×(7-3)}{2}$ = $\frac{7×4}{2}$ = 14（条）
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 多边形单顶点对角线条数规律
2. 多边形总对角线计算
【点评】
本题考查多边形对角线相关公式的应用，解题核心是先通过单个顶点引出的对角线数量求出多边形边数，再代入总对角线公式计算，熟记相关公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆多边形对角线的相关规律：首先，n边形从一个顶点出发时，不能和自身、相邻的2个顶点连接形成对角线，因此一个顶点可引出的对角线条数为(n-3)条；其次，计算多边形总对角线时，n个顶点共可连出n(n-3)条连线，但每条对角线会被两个顶点重复计算1次，因此总对角线条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。解题第一步先根据单个顶点的对角线条数求出多边形的边数n，第二步代入总对角线公式计算即可得到结果。
【解析】
解：设该多边形的边数为n。
根据n边形单个顶点引出的对角线条数规律可得：n - 3 = 4，
解得n = 7，即该多边形为七边形。
再代入多边形总对角线条数公式计算：
总对角线条数 = $\frac{n(n-3)}{2}$ = $\frac{7×(7-3)}{2}$ = $\frac{7×4}{2}$ = 14（条）
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 多边形单顶点对角线条数规律
2. 多边形总对角线计算
【点评】
本题考查多边形对角线相关公式的应用，解题核心是先通过单个顶点引出的对角线数量求出多边形边数，再代入总对角线公式计算，熟记相关公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在△ABC中,若∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是 (
A.100°
B.90°
C.80°
D.70°
A
)A.100°
B.90°
C.80°
D.70°
答案
4.A
解析
【分析】
要求∠ADC的度数，可先在△ABC中利用三角形内角和求出∠ACB的度数，再结合CD是∠ACB的角平分线得到∠ACD的度数，最后在△ACD中再次运用三角形内角和即可求出∠ADC的大小。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 50° = 100°
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×100° = 50°
在△ADC中，再次根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADC = 180° - ∠A - ∠ACD = 180° - 30° - 50° = 100°
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，解题的核心是熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线的定义，通过逐步推导中间角的度数最终得到目标角的大小，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
要求∠ADC的度数，可先在△ABC中利用三角形内角和求出∠ACB的度数，再结合CD是∠ACB的角平分线得到∠ACD的度数，最后在△ACD中再次运用三角形内角和即可求出∠ADC的大小。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 50° = 100°
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×100° = 50°
在△ADC中，再次根据三角形内角和为180°，可得：
∠ADC = 180° - ∠A - ∠ACD = 180° - 30° - 50° = 100°
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，解题的核心是熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线的定义，通过逐步推导中间角的度数最终得到目标角的大小，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 用三角尺作△ABC的边BC上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是 （
A
）答案
5.A
解析
【分析】
要判断三角尺摆放位置是否正确，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。作BC边上的高，需要同时满足两个条件：①线段过顶点A；②线段与BC边（或BC所在直线）垂直。用三角尺作高的正确操作是：将三角尺的一条直角边与BC重合，平移三角尺使另一条直角边经过点A，此时的摆放位置就是正确的，据此逐一判断选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义，BC边上的高需过点A且垂直于BC：
选项A：三角尺的一条直角边与BC重合，另一条直角边经过点A，符合高的作图要求，摆放正确；
选项B：三角尺的直角边未与BC重合，不满足垂直于BC的要求，摆放错误；
选项C：三角尺的直角顶点在点B处，所作线段不是从A出发垂直于BC的线段，摆放错误；
选项D：三角尺的直角边未与BC重合，所作线段不是BC边上的高，摆放错误。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题考查三角形高的作图方法，解题核心是牢记高的定义，明确作某条边上的高时，要让三角尺的一条直角边与该边重合，另一条直角边过这条边对应的对顶点。
【难度系数】
0.8
要判断三角尺摆放位置是否正确，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。作BC边上的高，需要同时满足两个条件：①线段过顶点A；②线段与BC边（或BC所在直线）垂直。用三角尺作高的正确操作是：将三角尺的一条直角边与BC重合，平移三角尺使另一条直角边经过点A，此时的摆放位置就是正确的，据此逐一判断选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义，BC边上的高需过点A且垂直于BC：
选项A：三角尺的一条直角边与BC重合，另一条直角边经过点A，符合高的作图要求，摆放正确；
选项B：三角尺的直角边未与BC重合，不满足垂直于BC的要求，摆放错误；
选项C：三角尺的直角顶点在点B处，所作线段不是从A出发垂直于BC的线段，摆放错误；
选项D：三角尺的直角边未与BC重合，所作线段不是BC边上的高，摆放错误。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题考查三角形高的作图方法，解题核心是牢记高的定义，明确作某条边上的高时，要让三角尺的一条直角边与该边重合，另一条直角边过这条边对应的对顶点。
【难度系数】
0.8
6.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1=70°，∠2=132°，则∠A的度数为（
A.20°
B.22°
C.30°
D.52°
B
）A.20°
B.22°
C.30°
D.52°
答案
6.B
解析
【分析】
解决这道题我们可以按以下思路思考：首先明确折叠的核心性质：折叠前后对应角相等，因此折叠后得到的∠A'和原∠A相等。其次利用四边形内角和为360°，结合已知的∠1和∠2的度数，先求出∠B与∠C的度数和，最后根据三角形内角和为180°，代入计算即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形的内角和为360°
∴ 四边形BCED中，∠B + ∠C + ∠1 + ∠2 = 360°
将∠1=70°，∠2=132°代入得：
∠B + ∠C = 360° - 70° - 132° = 158°
又
∵ △ABC的内角和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°
∴ ∠A = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - 158° = 22°
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质、三角形内角和定理、四边形内角和定理
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题型，解题关键是掌握折叠前后对应角相等的性质，结合多边形内角和定理就能快速求解，是几何角度计算的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们可以按以下思路思考：首先明确折叠的核心性质：折叠前后对应角相等，因此折叠后得到的∠A'和原∠A相等。其次利用四边形内角和为360°，结合已知的∠1和∠2的度数，先求出∠B与∠C的度数和，最后根据三角形内角和为180°，代入计算即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形的内角和为360°
∴ 四边形BCED中，∠B + ∠C + ∠1 + ∠2 = 360°
将∠1=70°，∠2=132°代入得：
∠B + ∠C = 360° - 70° - 132° = 158°
又
∵ △ABC的内角和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°
∴ ∠A = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - 158° = 22°
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质、三角形内角和定理、四边形内角和定理
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题型，解题关键是掌握折叠前后对应角相等的性质，结合多边形内角和定理就能快速求解，是几何角度计算的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
7.若一个三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，且第三边长为奇数，则这个三角形的周长是
16
cm.答案
7.16
解析
【分析】
解决这道题首先要明确解题的核心依据是三角形三边关系，解题思路分三步：第一步，根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三边的取值范围；第二步，结合“第三边长为奇数”的限制条件，在取值范围内筛选出符合要求的第三边长度；第三步，将三边长度相加得到三角形的周长。
【解析】
解：设第三边的长度为$ x $ cm。
根据三角形三边关系可得：
$ 7 - 2 ＜ x ＜ 7 + 2 $，
即$ 5 ＜ x ＜ 9 $。
已知第三边长为奇数，在$ 5 ＜ x ＜ 9 $范围内的奇数只有7，因此第三边长为7 cm。
三角形的周长为三边长度之和：$ 2 + 7 + 7 = 16 $（cm）。
【答案】
16
【知识点】
三角形三边关系；奇数的识别；三角形周长计算
【点评】
本题是基础常考题，重点考查三角形三边关系的应用，解题时需先通过三边关系确定第三边的取值范围，再结合限定条件筛选出正确的边长，注意不要忽略三边范围的边界限制，避免错误取值。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确解题的核心依据是三角形三边关系，解题思路分三步：第一步，根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三边的取值范围；第二步，结合“第三边长为奇数”的限制条件，在取值范围内筛选出符合要求的第三边长度；第三步，将三边长度相加得到三角形的周长。
【解析】
解：设第三边的长度为$ x $ cm。
根据三角形三边关系可得：
$ 7 - 2 ＜ x ＜ 7 + 2 $，
即$ 5 ＜ x ＜ 9 $。
已知第三边长为奇数，在$ 5 ＜ x ＜ 9 $范围内的奇数只有7，因此第三边长为7 cm。
三角形的周长为三边长度之和：$ 2 + 7 + 7 = 16 $（cm）。
【答案】
16
【知识点】
三角形三边关系；奇数的识别；三角形周长计算
【点评】
本题是基础常考题，重点考查三角形三边关系的应用，解题时需先通过三边关系确定第三边的取值范围，再结合限定条件筛选出正确的边长，注意不要忽略三边范围的边界限制，避免错误取值。
【难度系数】
0.8
8. 在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=2:3:4$，则$∠ A$的度数为
40°
。答案
8.40°
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的性质：三角形的三个内角之和为180°。题目给出了三个内角的度数比，我们可以通过设每份角度为未知数的方法，将三个内角分别用含同一未知数的式子表示，再结合内角和性质列方程求解，最后计算出∠A的度数即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理可知，△ABC的三个内角和为180°。
已知∠A:∠B:∠C=2:3:4，设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，可列方程：
$2x + 3x + 4x = 180°$
合并同类项得：$9x = 180°$
解得：$x = 20°$
因此∠A的度数为$2x = 2×20° = 40°$。
【答案】
40°
【知识点】
三角形内角和定理，比的应用
【点评】
本题是基础题型，解题核心是熟练掌握三角形内角和为180°的性质，结合比例关系设未知数列式计算即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和的性质：三角形的三个内角之和为180°。题目给出了三个内角的度数比，我们可以通过设每份角度为未知数的方法，将三个内角分别用含同一未知数的式子表示，再结合内角和性质列方程求解，最后计算出∠A的度数即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理可知，△ABC的三个内角和为180°。
已知∠A:∠B:∠C=2:3:4，设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，可列方程：
$2x + 3x + 4x = 180°$
合并同类项得：$9x = 180°$
解得：$x = 20°$
因此∠A的度数为$2x = 2×20° = 40°$。
【答案】
40°
【知识点】
三角形内角和定理，比的应用
【点评】
本题是基础题型，解题核心是熟练掌握三角形内角和为180°的性质，结合比例关系设未知数列式计算即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.9
