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9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BDC=110°$,D是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线的交点,则$∠ A=$
40°
.答案
9.40°
解析
【分析】
解题时先从已知条件的△BDC入手，利用三角形内角和先求出∠DBC与∠DCB的和；再结合BD、CD是角平分线的性质，推导出∠ABC与∠ACB的和；最后在△ABC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：在△BDC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ BDC = 180° - 110° = 70°$
∵BD平分$∠ ABC$，CD平分$∠ ACB$
∴$∠ ABC = 2∠ DBC$，$∠ ACB = 2∠ DCB$
∴$∠ ABC + ∠ ACB = 2(∠ DBC + ∠ DCB) = 2×70° = 140°$
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - 140° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角平分线与内角和定理的综合应用题，解题的核心是通过角平分线的性质搭建两个三角形内角之间的数量关系，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件的△BDC入手，利用三角形内角和先求出∠DBC与∠DCB的和；再结合BD、CD是角平分线的性质，推导出∠ABC与∠ACB的和；最后在△ABC中再次利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：在△BDC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DBC + ∠ DCB = 180° - ∠ BDC = 180° - 110° = 70°$
∵BD平分$∠ ABC$，CD平分$∠ ACB$
∴$∠ ABC = 2∠ DBC$，$∠ ACB = 2∠ DCB$
∴$∠ ABC + ∠ ACB = 2(∠ DBC + ∠ DCB) = 2×70° = 140°$
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - 140° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角平分线与内角和定理的综合应用题，解题的核心是通过角平分线的性质搭建两个三角形内角之间的数量关系，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
10.如图，BD平分∠ABC，∠1=60°，∠BDC=80°，∠C=70°，则△ABD是
直角
三角形。答案
10.直角
解析
【分析】
要判断△ABD的形状，需先求出它的内角度数。解题思路如下：第一步，先在△BDC中利用三角形内角和为180°，算出∠DBC的度数；第二步，根据BD平分∠ABC的性质，得到∠ABD和∠DBC相等；第三步，在△ABD中再次利用三角形内角和算出∠A的度数，根据∠A的度数判断三角形类型。
【解析】
在△BDC中，根据三角形内角和为180°：
∠DBC = 180° - ∠BDC - ∠C = 180° - 80° - 70° = 30°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD = ∠DBC = 30°
在△ABD中，根据三角形内角和为180°：
∠A = 180° - ∠1 - ∠ABD = 180° - 60° - 30° = 90°
有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此△ABD是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是灵活运用三角形内角和定理和角平分线的性质，逐步推导目标三角形的内角度数，即可快速判断三角形的类型。
【难度系数】
0.8
要判断△ABD的形状，需先求出它的内角度数。解题思路如下：第一步，先在△BDC中利用三角形内角和为180°，算出∠DBC的度数；第二步，根据BD平分∠ABC的性质，得到∠ABD和∠DBC相等；第三步，在△ABD中再次利用三角形内角和算出∠A的度数，根据∠A的度数判断三角形类型。
【解析】
在△BDC中，根据三角形内角和为180°：
∠DBC = 180° - ∠BDC - ∠C = 180° - 80° - 70° = 30°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD = ∠DBC = 30°
在△ABD中，根据三角形内角和为180°：
∠A = 180° - ∠1 - ∠ABD = 180° - 60° - 30° = 90°
有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此△ABD是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是灵活运用三角形内角和定理和角平分线的性质，逐步推导目标三角形的内角度数，即可快速判断三角形的类型。
【难度系数】
0.8
11.如图，六边形ABCDEF的各角都相等，若$m// n$，则$∠1+∠2=$
180
°。答案
11.180
解析
【分析】解题分两步思考：第一步先求等角六边形的单个内角度数，用多边形内角和公式计算出六边形总内角，除以6得到每个内角的大小；第二步结合平行线的性质，利用平行公理推论作辅助线，将∠1和∠2转化为互补的同旁内角，即可得到二者的和。
【解析】
1. 计算六边形的内角度数：根据多边形内角和公式，六边形内角和为$\boldsymbol{(6-2)×180°=720°}$，已知六边形各角相等，因此每个内角的度数为$720°÷6=120°$。
2. 过点$C$作直线$l// m$，因为$m// n$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$l// n$。
3. 结合等角六边形对边平行的特征，利用平行线“同旁内角互补、内错角相等”的性质，可将$∠1$和$∠2$转化为一组同旁内角，因此$∠1+∠2=180°$。
【答案】
$\boldsymbol{180}$
【知识点】
多边形内角和、平行线的性质
【点评】
本题综合考查多边形内角和与平行线性质的应用，解题的关键是先明确等角六边形的内角特征，再灵活通过平行线的性质转化角的数量关系，是比较典型的几何综合基础题。
【难度系数】
0.6
【解析】
1. 计算六边形的内角度数：根据多边形内角和公式，六边形内角和为$\boldsymbol{(6-2)×180°=720°}$，已知六边形各角相等，因此每个内角的度数为$720°÷6=120°$。
2. 过点$C$作直线$l// m$，因为$m// n$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$l// n$。
3. 结合等角六边形对边平行的特征，利用平行线“同旁内角互补、内错角相等”的性质，可将$∠1$和$∠2$转化为一组同旁内角，因此$∠1+∠2=180°$。
【答案】
$\boldsymbol{180}$
【知识点】
多边形内角和、平行线的性质
【点评】
本题综合考查多边形内角和与平行线性质的应用，解题的关键是先明确等角六边形的内角特征，再灵活通过平行线的性质转化角的数量关系，是比较典型的几何综合基础题。
【难度系数】
0.6
12.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，则m+n的值是
13
。答案
12.13
解析
【分析】
要计算m+n的值，需先分别求出m和n的取值。解题思路如下：①回忆多边形对角线的性质：过k边形的一个顶点，无法和自身、相邻的2个顶点连接形成对角线，因此过单个顶点的对角线条数为(k-3)条；②边数小于4的多边形没有对角线，而多边形最少为3边，因此没有对角线的多边形是三角形。结合题目给出的条件分别计算m、n的值即可。
【解析】
第一步：求m的值
已知过m边形的一个顶点有7条对角线，根据“过k边形一个顶点的对角线条数=k-3”，列等式：
$m-3=7$
解得$m=10$
第二步：求n的值
只有三角形没有对角线，因此$n=3$
第三步：计算m+n的和
$m+n=10+3=13$
【答案】
13
【知识点】
多边形对角线概念；单顶点对角线条数计算
【点评】
本题考查多边形对角线的基础性质，属于常规基础题，解题关键是牢记过一个顶点的对角线条数和多边形边数的对应关系，以及特殊多边形的对角线特征。
【难度系数】
0.8
要计算m+n的值，需先分别求出m和n的取值。解题思路如下：①回忆多边形对角线的性质：过k边形的一个顶点，无法和自身、相邻的2个顶点连接形成对角线，因此过单个顶点的对角线条数为(k-3)条；②边数小于4的多边形没有对角线，而多边形最少为3边，因此没有对角线的多边形是三角形。结合题目给出的条件分别计算m、n的值即可。
【解析】
第一步：求m的值
已知过m边形的一个顶点有7条对角线，根据“过k边形一个顶点的对角线条数=k-3”，列等式：
$m-3=7$
解得$m=10$
第二步：求n的值
只有三角形没有对角线，因此$n=3$
第三步：计算m+n的和
$m+n=10+3=13$
【答案】
13
【知识点】
多边形对角线概念；单顶点对角线条数计算
【点评】
本题考查多边形对角线的基础性质，属于常规基础题，解题关键是牢记过一个顶点的对角线条数和多边形边数的对应关系，以及特殊多边形的对角线特征。
【难度系数】
0.8
13.如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$，$F$分别是$BC$，$AD$，$CE$的中点，且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$，则阴影部分的面积为
1
$\mathrm{cm}^2$。答案
13.1
解析
【分析】
解题的核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们可以从已知的$△ ABC$面积出发，逐步根据中点条件推导各相关三角形的面积：首先由D是BC中点求出$△ ABD$和$△ ACD$的面积，再由E是AD中点求出$△ BCE$的面积，最后由F是CE中点求出阴影部分的面积。
【解析】
1. 因为D是BC的中点，AD是$△ ABC$的中线，$△ ABD$和$△ ACD$等底同高，因此：
$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$
2. 因为E是AD的中点，BE、CE分别是$△ ABD$和$△ ACD$的中线，因此：
$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$
可得$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$
3. 因为F是CE的中点，BF是$△ BCE$的中线，$△ BEF$和$△ BCF$面积相等，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的面积性质，等底同高三角形面积相等，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积相关的基础常考题，解题的关键是熟练掌握“三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分”这一性质，多次运用该性质逐步推导即可得到结果，解题时要理清各三角形之间的面积关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们可以从已知的$△ ABC$面积出发，逐步根据中点条件推导各相关三角形的面积：首先由D是BC中点求出$△ ABD$和$△ ACD$的面积，再由E是AD中点求出$△ BCE$的面积，最后由F是CE中点求出阴影部分的面积。
【解析】
1. 因为D是BC的中点，AD是$△ ABC$的中线，$△ ABD$和$△ ACD$等底同高，因此：
$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$
2. 因为E是AD的中点，BE、CE分别是$△ ABD$和$△ ACD$的中线，因此：
$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$
可得$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$
3. 因为F是CE的中点，BF是$△ BCE$的中线，$△ BEF$和$△ BCF$面积相等，因此：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
1
【知识点】
三角形中线的面积性质，等底同高三角形面积相等，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积相关的基础常考题，解题的关键是熟练掌握“三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分”这一性质，多次运用该性质逐步推导即可得到结果，解题时要理清各三角形之间的面积关系，避免混淆。
【难度系数】
0.7
14. 如图，在$△ ABC$中，$BC$，$AC$边上的高分别是$AD$，$BE$。已知$BC=5\ \mathrm{cm}$，$AD=6\ \mathrm{cm}$，$AC=7\ \mathrm{cm}$，求$BE$的长度。
答案
14.$\frac{30}{7}$ cm.
解析
【分析】
要计算AC边上的高BE，可利用同一个三角形面积恒定的特点解题：先选BC为底、AD为对应高，算出△ABC的面积；再以AC为底，结合求出的面积，反推对应高BE的长度即可。
【解析】
解：三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}× 底 × 对应高$。
第一步，以BC为底、AD为对应高计算△ABC的面积：
代入$BC=5\ \mathrm{cm}$，$AD=6\ \mathrm{cm}$得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×5×6=15\ \mathrm{cm}^2$
第二步，以AC为底、BE为对应高，结合面积相等求BE：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BE$，代入$S_{△ ABC}=15\ \mathrm{cm}^2$，$AC=7\ \mathrm{cm}$得：
$15=\frac{1}{2}×7× BE$
解得：$BE=\frac{15×2}{7}=\frac{30}{7}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\frac{30}{7}$ cm
【知识点】
三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题是基础计算题，解题核心是抓住同一个三角形面积不变的性质，灵活选择底和对应高的组合列式即可，掌握三角形面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要计算AC边上的高BE，可利用同一个三角形面积恒定的特点解题：先选BC为底、AD为对应高，算出△ABC的面积；再以AC为底，结合求出的面积，反推对应高BE的长度即可。
【解析】
解：三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}× 底 × 对应高$。
第一步，以BC为底、AD为对应高计算△ABC的面积：
代入$BC=5\ \mathrm{cm}$，$AD=6\ \mathrm{cm}$得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×5×6=15\ \mathrm{cm}^2$
第二步，以AC为底、BE为对应高，结合面积相等求BE：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BE$，代入$S_{△ ABC}=15\ \mathrm{cm}^2$，$AC=7\ \mathrm{cm}$得：
$15=\frac{1}{2}×7× BE$
解得：$BE=\frac{15×2}{7}=\frac{30}{7}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\frac{30}{7}$ cm
【知识点】
三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题是基础计算题，解题核心是抓住同一个三角形面积不变的性质，灵活选择底和对应高的组合列式即可，掌握三角形面积公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
15. 已知$ a,b,c $为$△ ABC$的三边长，$ b,c $满足$(b - 2)^2 + |c - 3| = 0$，且$ a $为方程$|x - 4| = 2$的解，求$△ ABC$的周长，并判断$△ ABC$的形状。
答案
15.$△ABC$的周长为7；$△ABC$是等腰三角形.
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，由此求出b、c的值；第二步，解绝对值方程得到a的两个可能取值；第三步，结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”筛选出符合条件的a值，再计算周长、判断三角形形状即可。
【解析】
1. 求b、c的值：
因为平方和绝对值都具有非负性，即$(b-2)^2≥0$，$|c-3|≥0$，且$(b - 2)^2 + |c - 3| = 0$，所以可得：
$b-2=0$，解得$b=2$；
$c-3=0$，解得$c=3$。
2. 求a的可能值：
解方程$|x - 4| = 2$，根据绝对值的意义，绝对值等于2的数是2或-2，因此：
$x-4=2$或$x-4=-2$，
解得$x=6$或$x=2$，即a的取值为2或6。
3. 结合三角形三边关系筛选a的值：
三角形三边需满足“任意两边之和大于第三边”：
若$a=6$，则$b+c=2+3=5＜6$，不能构成三角形，舍去；
若$a=2$，则$2+2＞3$，$2+3＞2$，符合三边关系，可构成三角形。
4. 计算周长、判断形状：
周长为$a+b+c=2+2+3=7$；
因为三角形有两条边长均为2，所以$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$的周长为7；$△ ABC$是等腰三角形。
【知识点】
非负数的性质、绝对值方程求解、三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，将多个基础知识点结合考查，解题的关键是不要遗漏用三角形三边关系对a的取值进行验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思考：第一步，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都为0，由此求出b、c的值；第二步，解绝对值方程得到a的两个可能取值；第三步，结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”筛选出符合条件的a值，再计算周长、判断三角形形状即可。
【解析】
1. 求b、c的值：
因为平方和绝对值都具有非负性，即$(b-2)^2≥0$，$|c-3|≥0$，且$(b - 2)^2 + |c - 3| = 0$，所以可得：
$b-2=0$，解得$b=2$；
$c-3=0$，解得$c=3$。
2. 求a的可能值：
解方程$|x - 4| = 2$，根据绝对值的意义，绝对值等于2的数是2或-2，因此：
$x-4=2$或$x-4=-2$，
解得$x=6$或$x=2$，即a的取值为2或6。
3. 结合三角形三边关系筛选a的值：
三角形三边需满足“任意两边之和大于第三边”：
若$a=6$，则$b+c=2+3=5＜6$，不能构成三角形，舍去；
若$a=2$，则$2+2＞3$，$2+3＞2$，符合三边关系，可构成三角形。
4. 计算周长、判断形状：
周长为$a+b+c=2+2+3=7$；
因为三角形有两条边长均为2，所以$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$的周长为7；$△ ABC$是等腰三角形。
【知识点】
非负数的性质、绝对值方程求解、三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，将多个基础知识点结合考查，解题的关键是不要遗漏用三角形三边关系对a的取值进行验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
16. 如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求∠P的度数。
答案
16.$∠P=90°$.
解析
【分析】
解题时首先结合AB//CD的条件，利用平行线的同旁内角互补性质，可得∠BEF与∠DFE的和为180°；再根据EP、FP分别是两个角的角平分线，可求出∠PEF与∠PFE的和为上述两角和的一半，即90°；最后利用三角形内角和为180°，即可算出∠P的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD（已知）
∴∠BEF + ∠DFE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵EP平分∠BEF，FP平分∠DFE（已知）
∴∠PEF = $\frac{1}{2}$∠BEF，∠PFE = $\frac{1}{2}$∠DFE（角平分线的定义）
∴∠PEF + ∠PFE = $\frac{1}{2}$(∠BEF + ∠DFE) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°
在△PEF中，∠PEF + ∠PFE + ∠P = 180°（三角形内角和为180°）
∴∠P = 180° - (∠PEF + ∠PFE) = 180° - 90° = 90°
【答案】
∠P=90°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线与角平分线结合的典型几何基础题，解题核心是先利用平行线性质得到同旁内角的和，再结合角平分线的性质推导待求角所在三角形中另外两个内角的和，即可快速求出结果，掌握该类题型的解题思路可提升同类型几何题的解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合AB//CD的条件，利用平行线的同旁内角互补性质，可得∠BEF与∠DFE的和为180°；再根据EP、FP分别是两个角的角平分线，可求出∠PEF与∠PFE的和为上述两角和的一半，即90°；最后利用三角形内角和为180°，即可算出∠P的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD（已知）
∴∠BEF + ∠DFE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵EP平分∠BEF，FP平分∠DFE（已知）
∴∠PEF = $\frac{1}{2}$∠BEF，∠PFE = $\frac{1}{2}$∠DFE（角平分线的定义）
∴∠PEF + ∠PFE = $\frac{1}{2}$(∠BEF + ∠DFE) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°
在△PEF中，∠PEF + ∠PFE + ∠P = 180°（三角形内角和为180°）
∴∠P = 180° - (∠PEF + ∠PFE) = 180° - 90° = 90°
【答案】
∠P=90°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线与角平分线结合的典型几何基础题，解题核心是先利用平行线性质得到同旁内角的和，再结合角平分线的性质推导待求角所在三角形中另外两个内角的和，即可快速求出结果，掌握该类题型的解题思路可提升同类型几何题的解题效率。
【难度系数】
0.8
