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1 [2025宿迁段考]如图描绘的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为 （
A.相离
B.相切
C.相交
D.平行
（第1题）
C
）A.相离
B.相切
C.相交
D.平行
（第1题）答案
1. C
解析
【分析】
要判断直线和圆的位置关系，首先回忆直线与圆三类位置关系的判定标准：可通过公共点的个数判断，没有公共点是相离，有1个公共点是相切，有2个公共点是相交。接下来观察题图：代表江面的直线穿过代表太阳的圆，圆有一部分在直线下方、一部分在直线上方，说明两者有2个公共点，对应位置关系为相交。
【解析】
直线与圆的位置关系可根据公共点个数判定：
1. 若直线与圆无公共点，为相离；
2. 若直线与圆只有1个公共点，为相切；
3. 若直线与圆有2个公共点，为相交。
观察题图可知，代表江面的直线与代表太阳的圆共有2个公共点，符合相交的特征，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活情境考查直线与圆的位置关系，属于基础题，只要熟练掌握不同位置关系的特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断直线和圆的位置关系，首先回忆直线与圆三类位置关系的判定标准：可通过公共点的个数判断，没有公共点是相离，有1个公共点是相切，有2个公共点是相交。接下来观察题图：代表江面的直线穿过代表太阳的圆，圆有一部分在直线下方、一部分在直线上方，说明两者有2个公共点，对应位置关系为相交。
【解析】
直线与圆的位置关系可根据公共点个数判定：
1. 若直线与圆无公共点，为相离；
2. 若直线与圆只有1个公共点，为相切；
3. 若直线与圆有2个公共点，为相交。
观察题图可知，代表江面的直线与代表太阳的圆共有2个公共点，符合相交的特征，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活情境考查直线与圆的位置关系，属于基础题，只要熟练掌握不同位置关系的特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2 在平面直角坐标系中,以点$(3,-5)$为圆心,$r$为半径的圆上有且仅有两点到$x$轴的距离为1,则圆的半径$r$的取值范围是 （
A.$r＞4$
B.$0＜r＜6$
C.$4≤ r＜6$
D.$4＜r＜6$
D
）A.$r＞4$
B.$0＜r＜6$
C.$4≤ r＜6$
D.$4＜r＜6$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先要将“到x轴距离为1的点”转化为两条平行于x轴的直线y=1和y=-1，问题等价于：以(3,-5)为圆心、r为半径的圆和这两条直线总共有且仅有2个交点。接下来先计算圆心到两条直线的距离，再结合直线与圆相离、相切、相交三种位置关系对应的交点个数，分类讨论半径r的取值范围即可得到答案。
【解析】
解：到x轴距离为1的点所在的直线为y=1和y=-1，分别计算圆心(3,-5)到两条直线的距离：
1. 圆心到直线y=-1的距离$d_1=|-5-(-1)|=4$；
2. 圆心到直线y=1的距离$d_2=|-5-1|=6$。
结合直线与圆的位置关系分析：
若$r＜4$：圆与两条直线均无交点，不符合题意；
若$r=4$：圆与y=-1相切（仅1个交点），与y=1无交点，共1个交点，不符合题意；
若$4＜r＜6$：圆与y=-1相交（2个交点），与y=1相离（无交点），共2个交点，符合题意；
若$r=6$：圆与y=-1相交（2个交点），与y=1相切（1个交点），共3个交点，不符合题意；
若$r＞6$：圆与两条直线均相交（共4个交点），不符合题意。
因此半径r的取值范围是$4＜r＜6$，故选D。
【答案】D
【知识点】
直线与圆的位置关系，点到直线的距离
【点评】
本题核心考查转化思想和分类讨论思想的应用，解题的关键是将点到直线的距离问题转化为圆与直线的位置关系问题，易错点是容易错误包含等号取值，需要结合交点个数准确判断临界情况是否符合要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先要将“到x轴距离为1的点”转化为两条平行于x轴的直线y=1和y=-1，问题等价于：以(3,-5)为圆心、r为半径的圆和这两条直线总共有且仅有2个交点。接下来先计算圆心到两条直线的距离，再结合直线与圆相离、相切、相交三种位置关系对应的交点个数，分类讨论半径r的取值范围即可得到答案。
【解析】
解：到x轴距离为1的点所在的直线为y=1和y=-1，分别计算圆心(3,-5)到两条直线的距离：
1. 圆心到直线y=-1的距离$d_1=|-5-(-1)|=4$；
2. 圆心到直线y=1的距离$d_2=|-5-1|=6$。
结合直线与圆的位置关系分析：
若$r＜4$：圆与两条直线均无交点，不符合题意；
若$r=4$：圆与y=-1相切（仅1个交点），与y=1无交点，共1个交点，不符合题意；
若$4＜r＜6$：圆与y=-1相交（2个交点），与y=1相离（无交点），共2个交点，符合题意；
若$r=6$：圆与y=-1相交（2个交点），与y=1相切（1个交点），共3个交点，不符合题意；
若$r＞6$：圆与两条直线均相交（共4个交点），不符合题意。
因此半径r的取值范围是$4＜r＜6$，故选D。
【答案】D
【知识点】
直线与圆的位置关系，点到直线的距离
【点评】
本题核心考查转化思想和分类讨论思想的应用，解题的关键是将点到直线的距离问题转化为圆与直线的位置关系问题，易错点是容易错误包含等号取值，需要结合交点个数准确判断临界情况是否符合要求。
【难度系数】
0.7
3 已知$\odot O$的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为6 cm，那么直线l与$\odot O$的位置关系是
相离
。答案
3. 相离
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆直线与圆位置关系的判定方法：通过比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小，就能判断二者的位置关系。首先从题干提取已知条件：$\odot O$的半径$r=5\mathrm{cm}$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=6\mathrm{cm}$，再对比$d$和$r$的大小，对应判定规则即可得到结论。
【解析】
解：设$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$。
由题意得：$r=5\mathrm{cm}$，$d=6\mathrm{cm}$
$\because 6\mathrm{cm}＞5\mathrm{cm}$，即$d＞r$
根据直线与圆的位置关系判定规则：当$d＞r$时，直线与圆相离
$\therefore$直线$l$与$\odot O$的位置关系是相离。
【答案】
相离
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础题，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，只要熟记圆心到直线的距离与圆半径的大小关系对应的三种位置关系，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先回忆直线与圆位置关系的判定方法：通过比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小，就能判断二者的位置关系。首先从题干提取已知条件：$\odot O$的半径$r=5\mathrm{cm}$，圆心$O$到直线$l$的距离$d=6\mathrm{cm}$，再对比$d$和$r$的大小，对应判定规则即可得到结论。
【解析】
解：设$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$。
由题意得：$r=5\mathrm{cm}$，$d=6\mathrm{cm}$
$\because 6\mathrm{cm}＞5\mathrm{cm}$，即$d＞r$
根据直线与圆的位置关系判定规则：当$d＞r$时，直线与圆相离
$\therefore$直线$l$与$\odot O$的位置关系是相离。
【答案】
相离
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础题，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，只要熟记圆心到直线的距离与圆半径的大小关系对应的三种位置关系，即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$。若以点$C$为圆心，$r$为半径作圆，则当所作的圆与斜边$AB$所在的直线相切时，$r$的值为
$\frac{24}{5}$
。答案
4. $\frac{24}{5}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆直线与圆相切的性质：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。因此本题中r的取值等于点C到斜边AB的垂线段长度（即AB边上的高）。接下来我们可以先通过勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法列等式，即可求出r的值。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
设点C到AB的距离为$h$，
$\because \odot C$与AB所在直线相切，$\therefore r=h$。
$\because$三角形ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· h$，
$\therefore \frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× r$，
化简得$24=5r$，解得$r=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
直线与圆相切的性质；勾股定理；面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题的核心是将相切的条件转化为圆心到直线的距离等于半径，再结合直角三角形的相关性质计算，其中面积法求斜边上的高是常用的简便计算方法。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆直线与圆相切的性质：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。因此本题中r的取值等于点C到斜边AB的垂线段长度（即AB边上的高）。接下来我们可以先通过勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法列等式，即可求出r的值。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
设点C到AB的距离为$h$，
$\because \odot C$与AB所在直线相切，$\therefore r=h$。
$\because$三角形ABC的面积可表示为$\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$\frac{1}{2}AB· h$，
$\therefore \frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× r$，
化简得$24=5r$，解得$r=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
直线与圆相切的性质；勾股定理；面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题的核心是将相切的条件转化为圆心到直线的距离等于半径，再结合直角三角形的相关性质计算，其中面积法求斜边上的高是常用的简便计算方法。
【难度系数】
0.7
5（易错题）如图，直线$a ⊥ b$，垂足为$H$，点$P$在直线$b$上，$PH=4\ \mathrm{cm}$，$O$为直线$b$上一动点。若以$1\ \mathrm{cm}$为半径的$\odot O$与直线$a$相切，则$OP$的长为
3或5
$\mathrm{cm}$。答案
5. 3或5
解答本题时容易缺少“$\odot P$与直线$a$左切或右切”中的一种情况.
解答本题时容易缺少“$\odot P$与直线$a$左切或右切”中的一种情况.
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆相切的性质：圆心到直线的距离等于圆的半径。由已知直线$a⊥ b$，可知圆心$O$到直线$a$的距离就是线段$OH$的长度，因此可得相切时$OH=1\mathrm{cm}$。接下来考虑动点$O$的位置，分$O$在$H$左侧、$O$在$H$右侧两种情况分别计算$OP$的长度即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
∵ 直线$a ⊥ b$，$\odot O$与直线$a$相切，$\odot O$的半径为$1\ \mathrm{cm}$，
∴ 圆心$O$到直线$a$的距离等于半径，即$OH=1\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 当点$O$在点$H$的左侧时：
$OP=PH-OH=4-1=3\ \mathrm{cm}$；
2. 当点$O$在点$H$的右侧时：
$OP=PH+OH=4+1=5\ \mathrm{cm}$。
综上，$OP$的长为$3$或$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3$或$5$
【知识点】
直线与圆相切的性质，分类讨论思想，两点间距离计算
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略圆心在点$H$右侧的情况，遇到动点问题时要注意分析动点的所有可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆直线与圆相切的性质：圆心到直线的距离等于圆的半径。由已知直线$a⊥ b$，可知圆心$O$到直线$a$的距离就是线段$OH$的长度，因此可得相切时$OH=1\mathrm{cm}$。接下来考虑动点$O$的位置，分$O$在$H$左侧、$O$在$H$右侧两种情况分别计算$OP$的长度即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
∵ 直线$a ⊥ b$，$\odot O$与直线$a$相切，$\odot O$的半径为$1\ \mathrm{cm}$，
∴ 圆心$O$到直线$a$的距离等于半径，即$OH=1\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 当点$O$在点$H$的左侧时：
$OP=PH-OH=4-1=3\ \mathrm{cm}$；
2. 当点$O$在点$H$的右侧时：
$OP=PH+OH=4+1=5\ \mathrm{cm}$。
综上，$OP$的长为$3$或$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3$或$5$
【知识点】
直线与圆相切的性质，分类讨论思想，两点间距离计算
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略圆心在点$H$右侧的情况，遇到动点问题时要注意分析动点的所有可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6 如图，AB是半径为6 cm的$\odot O$的弦，$AB=6\ \mathrm{cm}$. 以点O为圆心、3 cm为半径的圆与AB所在的直线有怎样的位置关系？请说明理由. 
（第6题）
（第6题）答案
半径为3 cm的$\odot O$与AB所在的直线相离 理由:如图,连接OA,过点O作OC⊥AB,垂足为C.由垂径定理,可得$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$. 在$\mathrm{Rt}△AOC$中,由勾股定理,得$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}(\mathrm{cm})$. $\because 3\sqrt{3}＞3,\therefore$ 半径为3 cm的$\odot O$与AB所在的直线相离.
解析
【分析】
要判断直线和圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题先过圆心O作AB的垂线得到距离OC，再结合垂径定理得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出OC的长度，最后和半径3cm比较即可得到结论。
【解析】
解：半径为3cm的$\odot O$与AB所在的直线相离，理由如下：
连接OA，过点O作$OC⊥ AB$，垂足为C。
由垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$。
已知$\odot O$的半径$OA=6\mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，根据勾股定理：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}(\mathrm{cm})$。
$\because 3\sqrt{3}＞3$，即圆心O到AB所在直线的距离大于半径3cm，
$\therefore$半径为3cm的$\odot O$与AB所在的直线相离。
【答案】
半径为3 cm的$\odot O$与AB所在的直线相离 理由:如图,连接OA,过点O作OC⊥AB,垂足为C.由垂径定理,可得$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$. 在$\mathrm{Rt}△AOC$中,由勾股定理,得$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}(\mathrm{cm})$. $\because 3\sqrt{3}＞3,\therefore$ 半径为3 cm的$\odot O$与AB所在的直线相离.
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题，解题关键是掌握位置关系的判定逻辑，能结合垂径定理、勾股定理求出圆心到直线的距离，属于几何知识的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要判断直线和圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题先过圆心O作AB的垂线得到距离OC，再结合垂径定理得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出OC的长度，最后和半径3cm比较即可得到结论。
【解析】
解：半径为3cm的$\odot O$与AB所在的直线相离，理由如下：
连接OA，过点O作$OC⊥ AB$，垂足为C。
由垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$。
已知$\odot O$的半径$OA=6\mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，根据勾股定理：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}(\mathrm{cm})$。
$\because 3\sqrt{3}＞3$，即圆心O到AB所在直线的距离大于半径3cm，
$\therefore$半径为3cm的$\odot O$与AB所在的直线相离。
【答案】
半径为3 cm的$\odot O$与AB所在的直线相离 理由:如图,连接OA,过点O作OC⊥AB,垂足为C.由垂径定理,可得$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$. 在$\mathrm{Rt}△AOC$中,由勾股定理,得$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}(\mathrm{cm})$. $\because 3\sqrt{3}＞3,\therefore$ 半径为3 cm的$\odot O$与AB所在的直线相离.
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题，解题关键是掌握位置关系的判定逻辑，能结合垂径定理、勾股定理求出圆心到直线的距离，属于几何知识的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
7 若直线$y=-x+b$与以坐标原点$O$为圆心、2为半径的$\odot O$相交，则$b$的取值范围是（
A.$0≤b＜2\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{2}≤b≤2\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{3}＜b＜2\sqrt{3}$
D.$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
D
）A.$0≤b＜2\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{2}≤b≤2\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{3}＜b＜2\sqrt{3}$
D.$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
答案
7. D
解析
【分析】
本题考查直线与圆相交的判定，解题思路如下：首先回忆直线与圆相交的核心判定条件：圆心到直线的距离小于圆的半径。第一步先将给定的斜截式直线方程转化为一般式，第二步用点到直线的距离公式计算原点到直线的距离，第三步根据相交的条件列不等式，求解不等式即可得到b的取值范围。
【解析】
首先将直线方程$y=-x+b$整理为一般式：$x + y - b = 0$。
根据点到直线的距离公式，原点$O(0,0)$到直线$x+y-b=0$的距离为：
$d=\frac{|0+0-b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$
已知$\odot O$的半径$r=2$，直线与$\odot O$相交，则满足$d＜r$，代入得：
$\frac{|b|}{\sqrt{2}}＜2$
化简不等式：$|b|＜2\sqrt{2}$，解得$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆相交的判定、点到直线的距离公式、绝对值不等式求解
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础题型，解题关键是牢记直线与圆三种位置关系对应的圆心到直线距离与半径的大小关系，解题时注意相交是严格的距离小于半径，不要和相切的情况混淆。
【难度系数】
0.8
本题考查直线与圆相交的判定，解题思路如下：首先回忆直线与圆相交的核心判定条件：圆心到直线的距离小于圆的半径。第一步先将给定的斜截式直线方程转化为一般式，第二步用点到直线的距离公式计算原点到直线的距离，第三步根据相交的条件列不等式，求解不等式即可得到b的取值范围。
【解析】
首先将直线方程$y=-x+b$整理为一般式：$x + y - b = 0$。
根据点到直线的距离公式，原点$O(0,0)$到直线$x+y-b=0$的距离为：
$d=\frac{|0+0-b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$
已知$\odot O$的半径$r=2$，直线与$\odot O$相交，则满足$d＜r$，代入得：
$\frac{|b|}{\sqrt{2}}＜2$
化简不等式：$|b|＜2\sqrt{2}$，解得$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆相交的判定、点到直线的距离公式、绝对值不等式求解
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础题型，解题关键是牢记直线与圆三种位置关系对应的圆心到直线距离与半径的大小关系，解题时注意相交是严格的距离小于半径，不要和相切的情况混淆。
【难度系数】
0.8
