9.(10分)在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD$为$△ ABC$的中线，且$BD$将$△ ABC$的周长分为12 cm与15 cm两部分，求$△ ABC$的各边长。

9.解:如答图.
∵DB为△ABC的中线,
∴AD=CD.
设AD=CD=x,则AB=2x.
若x+2x=12,BC+x=15,解得x=4,BC=11.
此时△ABC的三边长为AB=AC=8,BC=11;
若x+2x=15,BC+x=12,解得x=5,BC=7,
此时△ABC的三边长为AB=AC=10,BC=7.

10.(16分)如图,在△ABC中,AD是高,CE是中线,G是CE的中点,DG⊥CE,垂足为G.
(1)求证:DC=BE;
(2)若∠AEC=66°,求∠BCE的度数.

10.(1)证明:
∵G是CE的中点,DG⊥CE,
∴DG是CE的垂直平分线,
∴DE=DC.
∵AD是高,CE是中线,
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线,
∴DE=BE=$\dfrac{1}{2}$AB,
∴DC=BE.
(2)解:
∵DE=DC,
∴∠DEC=∠BCE,
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE.
∵DE=BE,
∴∠B=∠EDB,
∴∠B=2∠BCE,
∴∠AEC=∠B+∠BCE=3∠BCE=66°,
∴∠BCE=22°.

11.(26分)如图①，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上.
(1)求证:BF//AC；
(2)过点E作EG//BC交AC于点G，试判断△AEG的形状，并说明理由；
(3)如图②，若点D在射线CA上，且ED=EC，求证:AB=AD+BF.

11.(1)证明:
∵△ABC和△EFC都是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=∠ECF=60°,AC=BC,
CE=CF,
∴∠ACE=∠BCF.
在△ACE和△BCF中,$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCF, \\ CE=CF, \end{cases}$
∴△ACE≌△BCF(SAS),
∴∠A=∠CBF=60°.
∵∠ABC=60°,
∴∠A+∠ABC+∠CBF=180°,
即∠A+∠ABF=180°,
∴AC//BF.
(2)解:△AEG是等边三角形.理由如下:
过点E作EG//BC交AC于点G.如答图①.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.
∵EG//BC,
∴∠AEG=∠ABC=60°,∠AGE=∠ACB=60°,
∴∠A=∠AEG=∠AGE=60°,
∴△AEG是等边三角形.
(3)证明:如答图②,过点E作EM//BC交AC于点M,
则∠AEM=∠ABC=60°,∠AME=∠ACB=60°.
∵∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠BAC=∠AEM=∠AME=60°,
∴△AEM是等边三角形,
∴AE=EM=AM,
∴∠DAE=∠EMC=120°.
∵DE=CE,
∴∠D=∠MCE.
在△ADE和△MCE中,$\begin{cases} ∠DAE=∠CME, \\ ∠D=∠MCE, \\ AE=ME, \end{cases}$
∴△ADE≌△MCE(AAS),
∴AD=MC.
由(1)得△ACE≌△BCF,
∴AE=BF,
∴BF=AM.
∵AC=AM+CM,
∴AC=BF+AD,
∴AB=AD+BF.