8 分类讨论思想 如图,在平面直角坐标系中,∠C=90°,OB=25,OC=20.
(1) 求点C的坐标；
(2) 设P是y轴上的一个动点,当△OCP为等腰三角形时,直接写出点P的坐标.

8. (1) 如图,过点 C 作 $CH ⊥ OB$,垂足为 H. $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ OCB$ 中,$∠ OCB=90°,OB=25,OC=20$,$\therefore BC^2+OC^2=OB^2$,即 $BC^2+20^2=25^2$,$\therefore BC=15$. 根据 $△ OCB$ 的面积公式,得 $\frac{1}{2}OB· CH=\frac{1}{2}OC· BC$,$\therefore CH=\frac{OC· BC}{OB}=\frac{20×15}{25}=12$.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ OHC$ 中,$∠ OHC=90°$,$\therefore OH^2+CH^2=OC^2$,即 $OH^2+12^2=20^2$,$\therefore OH=16$,$\therefore$ 点 C 的坐标为 $(16,-12)$
(2) 当 OC 为 $△ OCP$ 的腰时,点 P 的坐标为 $(0,20)$或 $(0,-20)$或 $(0,-24)$;当 OC 为 $△ OCP$ 的底时,点 P 的坐标为 $(0,-\frac{50}{3})$

9 [2025淮安]点P(-1,1)沿y轴向上平移4个单位长度后的点的坐标是 （）

A.(3,1)
B.(-5,1)
C.(-1,-3)
D.(-1,5)

9. D

10 在平面直角坐标系中，点A与点A₁关于x轴对称，点A与点A₂关于y轴对称。已知点A₁的坐标是(1,2)，则点A₂的坐标是（）

A.$(-2,1)$
B.$(-2,-1)$
C.$(-1,2)$
D.$(-1,-2)$

10. D

11 如图，点A的坐标为(-3,4)，将线段AO绕点A逆时针旋转90°至AA'，则点A'的坐标是。

11. $(1,7)$
【解析】过点 A 作 y 轴的平行线 EF,交 x 轴于点 N,再过点 A'作 EF 的垂线,垂足为 M. 先证$△ A'MA ≌ △ ANO$(AAS),则$A'M=AN,MA=NO$. $\because$ 点 A 的坐标为$(-3,4)$,$\therefore A'M=AN=4,MA=NO=3$,$\therefore 4-3=1,4+3=7$,$\therefore$ 点 A'的坐标为$(1,7)$.

12 如图，△A₁B₁C₁是△ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A₁(1,1)，B₁(4,2)，C₁(3,4)。
(1) 请画出△ABC，并写出点A，B，C的坐标；
(2) 求△AOA₁与△ABC的面积；
(3) 求在整个平移过程中，△ABC扫过的面积。

12. (1) 如图,$△ ABC$ 即为所求 $A(-3,1),B(0,2),C(-1,4)$
(2) 如图,连接 $AO,A_1O,AA_1$. $△ AOA_1$ 的面积为 $\frac{1}{2}×4×1=2$,$△ ABC$ 的面积为 $3×3-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×3=\frac{7}{2}$
(3) 如图,连接 $CC_1$. 由平移的性质,可知 $S_{△ ABC}=S_{△ A_1B_1C_1}$,$\therefore △ ABC$ 扫过的面积为 $S_{\mathrm{四边形}AA_1C_1C}+S_{△ A_1B_1C_1}=S_{\mathrm{四边形}AA_1C_1C}+S_{△ ABC}=4×3+\frac{7}{2}=\frac{31}{2}$

13 在平面直角坐标系中，已知点$A(2,2),B(4,0)$.若在坐标轴上取点$C$，使$△ ABC$为等腰三角形，则满足条件的点$C$的个数是（）

A.5
B.6
C.7
D.8

13. A