1. 满足下列条件时，$△ ABC$不是直角三角形的是（）

A.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
B.$AB:BC:AC=3:4:5$
C.$AB=\sqrt{41},BC=4,AC=5$
D.$∠ A=40°,∠ B=50°$

A

逐一分析各选项：
1. 选项A：由∠A:∠B:∠C=3:4:5，结合三角形内角和180°，计算得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，无90°内角，不是直角三角形。
2. 选项B：设三边长为3k、4k、5k，满足$(3k)^2+(4k)^2=(5k)^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
3. 选项C：计算得$BC^2+AC^2=4^2+5^2=41$，$AB^2=(\sqrt{41})^2=41$，即$BC^2+AC^2=AB^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
4. 选项D：$∠ C=180°-∠ A-∠ B=90°$，是直角三角形。

2. 下列各组数中，是勾股数的是 （）

A.8,24,25
B.8,15,17
C.10,20,26
D.14,36,39

B

根据勾股数的定义：满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数称为勾股数，逐一验证：
A. 计算得$8^2+24^2=64+576=640$，$25^2=625$，$640≠625$，不是勾股数；
B. 计算得$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，$8^2+15^2=17^2$，三个数均为正整数，是勾股数；
C. 计算得$10^2+20^2=100+400=500$，$26^2=676$，$500≠676$，不是勾股数；
D. 计算得$14^2+36^2=196+1296=1492$，$39^2=1521$，$1492≠1521$，不是勾股数。

3.如图,一个工人拿一个2.5 m长的梯子,底端A放在距离墙根C点0.7 m处,另一头B点靠墙,如果梯子的顶部下滑0.4 m,梯子的底部向外滑（）

A.0.4 m
B.0.6 m
C.0.7 m
D.0.8 m

D

在初始的Rt△ABC中，∠C=90°，梯子长AB=2.5m，AC=0.7m，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2.5^2-0.7^2}=\sqrt{5.76}=2.4\ \mathrm{m}$。
梯子顶部下滑0.4m后，$EC=BC-0.4=2.4-0.4=2\ \mathrm{m}$，梯子长度不变，$DE=AB=2.5\ \mathrm{m}$。
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{DE^2-EC^2}=\sqrt{2.5^2-2^2}=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$。
因此梯子底部向外滑动的距离$AD=DC-AC=1.5-0.7=0.8\ \mathrm{m}$。

4. 在$△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别是$a,b,c$,下列条件:①$∠ A$与$∠ B$互余;②$(a+b)· (a-b)=c^{2}$;③$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:1$,其中可以判定$△ ABC$是直角三角形的有个.

$\boldsymbol{3}$

解：
① ∵∠A与∠B互余，
∴∠A+∠B=90°，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形，条件①可以判定。
② 对$(a+b)(a-b)=c^2$化简得：
$a^2 - b^2 = c^2$，即$a^2 = b^2 + c^2$，
由勾股定理逆定理可知，∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，条件②可以判定。
③ 设∠A=x，∠B=2x，∠C=x，
由三角形内角和得：$x+2x+x=180°$，
解得$x=45°$，
∴∠B=2×45°=90°，
∴△ABC是直角三角形，条件③可以判定。
综上，3个条件都可判定△ABC是直角三角形。

5. 如图，已知$AC=4$，$BC=3$，$BD=12$，$AD=13$，$∠ ACB=90°$，则阴影部分的面积为。

$\boldsymbol{24}$

解：连接AB。
∵ ∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴ 由勾股定理得：$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$，
∴ $AB = 5$。
∵ $AB=5$，$BD=12$，$AD=13$，
∴ $AB^2 + BD^2 = 25 + 12^2 = 169$，$AD^2 = 13^2 = 169$，
∴ $AB^2 + BD^2 = AD^2$，
∴ $△ ABD$是直角三角形，$∠ ABD=90°$。
∴ 阴影部分的面积 $= S_{△ ABD} - S_{△ ABC}$
$= \frac{1}{2} × AB × BD - \frac{1}{2} × AC × BC$
$= \frac{1}{2} × 5 × 12 - \frac{1}{2} × 4 × 3$
$= 30 - 6$
$= 24$。
最终

6.如图，在$△ ABC$中，E为AC的中点，其中$BD=1$，$DC=3$，$BC=\sqrt{10}$，$AD=\sqrt{7}$，则$△ ADE$的面积为。

$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{7}}{4}}$

解：
在$△ BDC$中，
$\because BD=1$，$DC=3$，$BC=\sqrt{10}$，
$\therefore BD^2 + DC^2 = 1^2 + 3^2 = 10$，$BC^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$，
$\therefore BD^2 + DC^2 = BC^2$，
$\therefore △ BDC$是直角三角形，且$∠ BDC=90°$，
$\therefore CD ⊥ AB$，即$∠ ADC=90°$，
$\therefore S_{△ ADC} = \frac{1}{2} · AD · DC = \frac{1}{2} × \sqrt{7} × 3 = \frac{3\sqrt{7}}{2}$，
$\because E$为$AC$的中点，
$\therefore S_{△ ADE} = \frac{1}{2} S_{△ ADC} = \frac{1}{2} × \frac{3\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$。
最终

7. 如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,∠BCA=60°,AC=2√2,DA=1,CD=3.求四边形ABCD的面积.

解：
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BCA=60°，
∴ ∠BAC=90°-60°=30°，
∴ $BC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2}=\sqrt{3}$。
在△ADC中，DA=1，$AC=2\sqrt{2}$，CD=3，
∵ $DA^2+AC^2=1^2+(2\sqrt{2})^2=1+8=9$，$CD^2=3^2=9$，
∴ $DA^2+AC^2=CD^2$，
∴ △ADC是直角三角形，∠DAC=90°，
∴ $S_{△ ADC}=\frac{1}{2}DA· AC=\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
答：四边形ABCD的面积为$\sqrt{3}+\sqrt{2}$。