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三、计算长方体和正方体的体积。
答案
5×3×4=60(cm³)
7×7×7=343(dm³)
7×7×7=343(dm³)
解析
【分析】
解题时首先回忆体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高，正方体的体积=棱长×棱长×棱长。第一步先判断图形类型，第一个是长方体，找到它的长、宽、高分别为5cm、3cm、4cm；第二个是正方体，找到它的棱长为7dm。第二步分别把对应数据代入公式计算即可，计算时注意单位不要写错。
【解析】
1. 计算长方体体积：
根据长方体体积=长×宽×高，代入对应数据计算：
$ 5×3×4 = 60(\mathrm{cm}^3) $
2. 计算正方体体积：
根据正方体体积=棱长×棱长×棱长，代入对应数据计算：
$ 7×7×7 = 343(\mathrm{dm}^3) $
【答案】
$ 5×3×4=60(\mathrm{cm}^3) $
$ 7×7×7=343(\mathrm{dm}^3) $
【知识点】
长方体体积计算、正方体体积计算
【点评】
本题属于体积计算的基础题型，核心是熟练掌握长方体和正方体的体积计算公式，计算时准确代入对应数值、注意单位规范即可得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高，正方体的体积=棱长×棱长×棱长。第一步先判断图形类型，第一个是长方体，找到它的长、宽、高分别为5cm、3cm、4cm；第二个是正方体，找到它的棱长为7dm。第二步分别把对应数据代入公式计算即可，计算时注意单位不要写错。
【解析】
1. 计算长方体体积：
根据长方体体积=长×宽×高，代入对应数据计算：
$ 5×3×4 = 60(\mathrm{cm}^3) $
2. 计算正方体体积：
根据正方体体积=棱长×棱长×棱长，代入对应数据计算：
$ 7×7×7 = 343(\mathrm{dm}^3) $
【答案】
$ 5×3×4=60(\mathrm{cm}^3) $
$ 7×7×7=343(\mathrm{dm}^3) $
【知识点】
长方体体积计算、正方体体积计算
【点评】
本题属于体积计算的基础题型，核心是熟练掌握长方体和正方体的体积计算公式，计算时准确代入对应数值、注意单位规范即可得分。
【难度系数】
0.9
四、计算下面图形的体积。（单位：cm）
答案
1-0.5=0.5(cm)
0.5×0.5×0.5+1×0.5×0.5=0.375(cm³)
0.5×0.5×0.5+1×0.5×0.5=0.375(cm³)
解析
【分析】
这是不规则组合立体图形求体积的题目，我们可以用分割法将其转化为学过的长方体来计算。首先观察图形，可沿水平方向分割为上下两个长方体：下方长方体的长是1cm、宽（前后厚度）是0.5cm、高是0.5cm；上方长方体的长是0.5cm、宽是0.5cm，高需要用总高1cm减去下方的高0.5cm得到。分别计算两个长方体的体积后相加，就是整个图形的体积。
【解析】
第一步：计算上方长方体的高：
$1-0.5=0.5(\mathrm{cm})$
第二步：计算上方长方体的体积：
$0.5× 0.5× 0.5=0.125(\mathrm{cm}^3)$
第三步：计算下方长方体的体积：
$1× 0.5× 0.5=0.25(\mathrm{cm}^3)$
第四步：将两部分体积相加得到总体积：
$0.125+0.25=0.375(\mathrm{cm}^3)$
可合并列式为：$0.5×0.5×0.5+1×0.5×0.5=0.375(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$0.375\mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体体积计算、组合体体积计算、分割法求体积
【点评】
本题主要考查组合立体图形的体积求解，解题关键是通过分割将不规则图形转化为熟悉的规则长方体，计算时要准确找到每个长方体对应的长宽高，避免代入数据错误。
【难度系数】
0.7
这是不规则组合立体图形求体积的题目，我们可以用分割法将其转化为学过的长方体来计算。首先观察图形，可沿水平方向分割为上下两个长方体：下方长方体的长是1cm、宽（前后厚度）是0.5cm、高是0.5cm；上方长方体的长是0.5cm、宽是0.5cm，高需要用总高1cm减去下方的高0.5cm得到。分别计算两个长方体的体积后相加，就是整个图形的体积。
【解析】
第一步：计算上方长方体的高：
$1-0.5=0.5(\mathrm{cm})$
第二步：计算上方长方体的体积：
$0.5× 0.5× 0.5=0.125(\mathrm{cm}^3)$
第三步：计算下方长方体的体积：
$1× 0.5× 0.5=0.25(\mathrm{cm}^3)$
第四步：将两部分体积相加得到总体积：
$0.125+0.25=0.375(\mathrm{cm}^3)$
可合并列式为：$0.5×0.5×0.5+1×0.5×0.5=0.375(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$0.375\mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体体积计算、组合体体积计算、分割法求体积
【点评】
本题主要考查组合立体图形的体积求解，解题关键是通过分割将不规则图形转化为熟悉的规则长方体，计算时要准确找到每个长方体对应的长宽高，避免代入数据错误。
【难度系数】
0.7
1. 思思用竹条做了一个长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体框架，又用同样长的竹条做了一个正方体框架，这个正方体的体积是多少？
答案
(5+3+7)×4=60(cm)
60÷12=5(cm)
5×5×5=125(cm³)
60÷12=5(cm)
5×5×5=125(cm³)
解析
【分析】
解题的关键是明确“同样长的竹条”说明长方体框架和正方体框架的棱长总和相等。第一步先计算长方体的棱长总和：长方体的12条棱分为4组相同的长、宽、高，因此棱长总和=(长+宽+高)×4，即可得到竹条的总长度；第二步计算正方体的棱长：正方体12条棱长度都相等，因此棱长=棱长总和÷12；第三步代入正方体体积公式计算体积即可。
【解析】
1. 计算长方体棱长总和（即竹条总长度）：
$(5+3+7)×4 = 15×4 = 60$（cm）
2. 计算正方体的棱长：
因为正方体棱长总和等于竹条总长度，所以棱长为 $60÷12 = 5$（cm）
3. 计算正方体的体积：
$5×5×5 = 125$（cm³）
【答案】
125cm³
【知识点】
长方体棱长和计算、正方体棱长和计算、正方体体积计算
【点评】
本题重点考查长方体、正方体棱长和公式以及正方体体积公式的应用，解题时要抓住二者棱长总和相等的隐含条件，计算过程难度较低，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题的关键是明确“同样长的竹条”说明长方体框架和正方体框架的棱长总和相等。第一步先计算长方体的棱长总和：长方体的12条棱分为4组相同的长、宽、高，因此棱长总和=(长+宽+高)×4，即可得到竹条的总长度；第二步计算正方体的棱长：正方体12条棱长度都相等，因此棱长=棱长总和÷12；第三步代入正方体体积公式计算体积即可。
【解析】
1. 计算长方体棱长总和（即竹条总长度）：
$(5+3+7)×4 = 15×4 = 60$（cm）
2. 计算正方体的棱长：
因为正方体棱长总和等于竹条总长度，所以棱长为 $60÷12 = 5$（cm）
3. 计算正方体的体积：
$5×5×5 = 125$（cm³）
【答案】
125cm³
【知识点】
长方体棱长和计算、正方体棱长和计算、正方体体积计算
【点评】
本题重点考查长方体、正方体棱长和公式以及正方体体积公式的应用，解题时要抓住二者棱长总和相等的隐含条件，计算过程难度较低，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
2. 一个长方体的沙坑装满沙子，这个沙坑长8米，宽2.5米，深0.5米，每立方米沙子重1400千克。这个沙坑里共装沙子多少吨？
答案
8×2.5×0.5=10(立方米)
1400×10=14000(千克)
14000千克=14吨
1400×10=14000(千克)
14000千克=14吨
解析
【分析】
要计算沙坑里装沙子的总重量，首先需要求出沙子的总体积。由于沙坑是装满沙子的长方体，沙子的体积等于长方体沙坑的容积，可根据长方体体积公式（体积=长×宽×高，此处沙坑的深对应公式里的高）计算出体积。再用体积乘每立方米沙子的重量，得到以千克为单位的总重量，最后根据质量单位的换算关系，将千克换算为吨，就能得到最终结果。
【解析】
1. 计算沙子的体积（即沙坑的容积）：
长方体体积=长×宽×深
$8×2.5×0.5=10$（立方米）
2. 计算沙子的总重量（单位：千克）：
总重量=每立方米沙子重量×沙子体积
$1400×10=14000$（千克）
3. 单位换算：
因为1吨=1000千克，所以$14000÷1000=14$（吨）
【答案】
14吨
【知识点】
长方体体积计算、质量单位换算、容积实际应用
【点评】
这道题是结合生活场景的应用题，核心考查长方体体积公式的实际运用，解题时要注意审题，尤其要关注最终所求的单位，避免遗漏单位换算的步骤。
【难度系数】
0.8
要计算沙坑里装沙子的总重量，首先需要求出沙子的总体积。由于沙坑是装满沙子的长方体，沙子的体积等于长方体沙坑的容积，可根据长方体体积公式（体积=长×宽×高，此处沙坑的深对应公式里的高）计算出体积。再用体积乘每立方米沙子的重量，得到以千克为单位的总重量，最后根据质量单位的换算关系，将千克换算为吨，就能得到最终结果。
【解析】
1. 计算沙子的体积（即沙坑的容积）：
长方体体积=长×宽×深
$8×2.5×0.5=10$（立方米）
2. 计算沙子的总重量（单位：千克）：
总重量=每立方米沙子重量×沙子体积
$1400×10=14000$（千克）
3. 单位换算：
因为1吨=1000千克，所以$14000÷1000=14$（吨）
【答案】
14吨
【知识点】
长方体体积计算、质量单位换算、容积实际应用
【点评】
这道题是结合生活场景的应用题，核心考查长方体体积公式的实际运用，解题时要注意审题，尤其要关注最终所求的单位，避免遗漏单位换算的步骤。
【难度系数】
0.8
3. (1)在一个长80厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体水箱中有30厘米深的水。这时水与水箱接触的面积有多少平方厘米？
(2)如果在水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，这时水箱中水深多少厘米？
(2)如果在水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，这时水箱中水深多少厘米？
答案
(1)80×50+80×30×2+50×30×2=11800(平方厘米)
(2)20×20×20÷(80×50)+30=32(厘米)
(2)20×20×20÷(80×50)+30=32(厘米)
解析
【分析】
(1) 求水与水箱接触的面积，实际是求水深30厘米时，水形成的长方体与水箱接触的5个面的总面积（水面是上表面，不接触水箱），分别计算水箱底面、2个长×水深的侧面、2个宽×水深的侧面的面积，再相加即可。
(2) 正方体铁块沉入水中后完全浸没，水面上升部分的体积等于正方体铁块的体积。先算出铁块体积，除以水箱底面积得到水面上升高度，再加上原来的水深就是现在的水深，验证结果小于水箱高度，符合实际。
【解析】
(1) 分别计算各接触面的面积：
底面面积：$80×50 = 4000$（平方厘米）
前后2个侧面面积：$80×30×2 = 4800$（平方厘米）
左右2个侧面面积：$50×30×2 = 3000$（平方厘米）
总接触面积：$4000+4800+3000 = 11800$（平方厘米）
(2) 先算正方体铁块体积：$20×20×20 = 8000$（立方厘米）
水箱底面积：$80×50 = 4000$（平方厘米）
水面上升高度：$8000÷4000 = 2$（厘米）
现在水深：$30+2 = 32$（厘米），$32＜40$，水未溢出，结果合理。
【答案】
(1) 11800平方厘米
(2) 32厘米
【知识点】
长方体表面积计算、正方体体积计算、排水法求体积
【点评】
本题侧重考查表面积和体积公式的灵活应用，解题时要结合实际场景分析：第一问注意接触面积无需计算顶面，不要直接套用完整长方体表面积公式；第二问抓住“上升水的体积等于浸没物体体积”的核心关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求水与水箱接触的面积，实际是求水深30厘米时，水形成的长方体与水箱接触的5个面的总面积（水面是上表面，不接触水箱），分别计算水箱底面、2个长×水深的侧面、2个宽×水深的侧面的面积，再相加即可。
(2) 正方体铁块沉入水中后完全浸没，水面上升部分的体积等于正方体铁块的体积。先算出铁块体积，除以水箱底面积得到水面上升高度，再加上原来的水深就是现在的水深，验证结果小于水箱高度，符合实际。
【解析】
(1) 分别计算各接触面的面积：
底面面积：$80×50 = 4000$（平方厘米）
前后2个侧面面积：$80×30×2 = 4800$（平方厘米）
左右2个侧面面积：$50×30×2 = 3000$（平方厘米）
总接触面积：$4000+4800+3000 = 11800$（平方厘米）
(2) 先算正方体铁块体积：$20×20×20 = 8000$（立方厘米）
水箱底面积：$80×50 = 4000$（平方厘米）
水面上升高度：$8000÷4000 = 2$（厘米）
现在水深：$30+2 = 32$（厘米），$32＜40$，水未溢出，结果合理。
【答案】
(1) 11800平方厘米
(2) 32厘米
【知识点】
长方体表面积计算、正方体体积计算、排水法求体积
【点评】
本题侧重考查表面积和体积公式的灵活应用，解题时要结合实际场景分析：第一问注意接触面积无需计算顶面，不要直接套用完整长方体表面积公式；第二问抓住“上升水的体积等于浸没物体体积”的核心关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
