1.(2024·宿豫期中)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,下列条件能判断△ABC是直角三角形的为( )

A.∠A= 2∠C-∠B
B.∠A:∠B:∠C= 3:4:5

C.b^2= (c+a)(c-a)$$
$D.a^2:b^2:c^2= 5:12:13$

C

A. ∠A=2∠C-∠B，∠A+∠B+∠C=180°，则2∠C+∠C=180°，∠C=60°，不能判断是直角三角形；
B. ∠A:∠B:∠C=3:4:5，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，3x+4x+5x=180°，x=15°，∠C=75°，不是直角三角形；
C. $b^2=(c+a)(c-a)=c^2 - a^2$，则$a^2 + b^2 = c^2$，是直角三角形；
D. $a^2:b^2:c^2=5:12:13$，设$a^2=5k$，$b^2=12k$，$c^2=13k$，$a^2 + b^2=17k≠c^2$，不是直角三角形。
C

2.如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE//AB,交AC于点E,DF⊥AB于点F,DE= 5,DF= 3,则下列结论错误的是( )

A.BF= 1
B.DC= 3
C.AE= 5
D.AC= 9

A

∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DF⊥AB，
∴DC=DF=3（角平分线性质），B正确。
∵DE//AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∵∠EAD=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE=5（等角对等边），C正确。
设EC=x，FC=DC=3（矩形DECF），
BF=AB-AF=√[(5+x)²+3²]-(5+x)，
又DE//AB，△CDE∽△CBA，
EC/AC=DE/AB，x/(5+x)=5/√[(5+x)²+3²]，
解得x=4，AC=5+4=9，D正确。
BF=√(9²+3²)-9=3√10-9≠1，A错误。
A

3.(分类讨论思想)在△ABC中,AB= 15,AC= 13,边BC上的高AD= 12,则BC的长为( )

A.5
B.14
C.4或14
D.9或14

C

在Rt△ABD中，$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{15^2 - 12^2}=\sqrt{225 - 144}=\sqrt{81}=9$
在Rt△ACD中，$CD=\sqrt{AC^2 - AD^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{169 - 144}=\sqrt{25}=5$
情况一：高AD在△ABC内部，$BC=BD + CD=9 + 5=14$
情况二：高AD在△ABC外部，$BC=BD - CD=9 - 5=4$
BC的长为4或14，答案选C。

4.如图,点E在△DBC的边DB上,点A在△DBC的内部,∠DAE= ∠BAC= 90°,AD= AE,AB= AC,连接CE.给出下列结论：①BD= CE；②∠ABD+∠ECB= 45°；③BD⊥CE；$④BE^2= 2(AD^2+AB^2)-CD^2.$其中,所有正确的结论是( )

A.①②③④
B.②④
C.①②③
D.①③④

A

①
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC.
∵AD=AE，AB=AC，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴BD=CE.
②
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠ECB=∠ACE+∠ECB=∠ACB=45°.
③设BD与CE交于点F，
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ADB=∠AEC.
∵∠DAE=90°，
∴∠AEC+∠AEF=90°，
∴∠ADB+∠AEF=90°，
∴∠DFE=90°，即BD⊥CE.
④
∵∠DAE=90°，AD=AE，
∴DE²=AD²+AE²=2AD².
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC²=AB²+AC²=2AB².
∵BD⊥CE，
∴BE²+CD²=DE²+BC²，
∴BE²=DE²+BC²-CD²=2AD²+2AB²-CD²=2(AD²+AB²)-CD².
正确结论是①②③④.
A

5.(新考法·探究题)有一道题目如下：如图,∠B= 45°,BC= 2,在射线BM上取一点A,设AC= d,若对于d的一个数值,只能作出唯一一个△ABC,求d的取值范围.对于其答案,甲：d≥2；乙：d= 1.6；丙：d= √2.下列说法正确的是( )

A.只有甲的答案正确
B.甲、丙的答案合在一起才正确
C.甲、乙的答案合在一起才正确
D.三人的答案合在一起才正确

B解析:根据题意，得当AC⊥AB或AC≥BC时，能作出唯一的△ABC.当AC⊥AB时,易得d=$\sqrt{2}$;当AC≥BC时,d≥2.
∴甲、丙的答案合在一起才正确.

6.(2023·荆州改编)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,D是AB的中点,过点D作DE⊥BC,垂足为E,连接CD.若CD= 5,BC= 8,则DE的长为 .

3

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴AB=2CD=2×5=10。
∵BC=8，
∴AC=√(AB²-BC²)=√(10²-8²)=6。
∵DE⊥BC，∠ACB=90°，
∴DE//AC。
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=1/2AC=1/2×6=3。
3

7.如图,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,E是CD的中点.若BC= 5,AD= 10,BE= 13/2,则AB的长为 .

12

过点E作EF⊥AB于点F，设AB=x，AF=y，则BF=x-y。
因为AB⊥BC，AB⊥AD，EF⊥AB，所以AD//EF//BC。
E是CD中点，所以F是AB中点，EF是梯形ABCD中位线，EF=$\frac{AD+BC}{2}=\frac{10+5}{2}=\frac{15}{2}$。
在Rt△BEF中，BE²=BF²+EF²，即$(\frac{13}{2})^2=(x-\frac{x}{2})^2+(\frac{15}{2})^2$，化简得$\frac{169}{4}=(\frac{x}{2})^2+\frac{225}{4}$，$(\frac{x}{2})^2=-\frac{56}{4}$（矛盾）。
重新设AF=m，则BF=x-m。因E为CD中点，所以EF=$\frac{AD+BC}{2}=\frac{15}{2}$，且m - (x - m)=AD - BC=5，即2m - x=5，m=$\frac{x+5}{2}$。
在Rt△BEF中，$(\frac{15}{2})^2 + (x - m)^2 = (\frac{13}{2})^2$，将m=$\frac{x+5}{2}$代入得$(\frac{15}{2})^2 + (\frac{x - 5}{2})^2 = (\frac{13}{2})^2$，解得x=12。
12

8.(2023·广州)如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,AE= 12,DF= 5,则点E到直线AD的距离为 .

$\frac{60}{13}$

∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF=5。
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°。
在Rt△AED中，AE=12，DE=5，
∴AD=$\sqrt{AE^2 + DE^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$。
设点E到直线AD的距离为h，
则$S_{\triangle AED} = \frac{1}{2} × AE × DE = \frac{1}{2} × AD × h$，
即$\frac{1}{2} × 12 × 5 = \frac{1}{2} × 13 × h$，
解得$h = \frac{60}{13}$。
$\frac{60}{13}$