1. 如图，直线 $ l_1: y = kx + 1 $ 交 $ y $ 轴于点 $ A $，交反比例函数 $ y = \frac{-12}{x} (x ＜ 0) $ 的图象于点 $ B $。将直线 $ l_1 $ 向下平移4个单位长度得到直线 $ l_2 $，直线 $ l_2 $ 交反比例函数 $ y = \frac{-12}{x} (x ＜ 0) $ 的图象于点 $ C $，连接 $ AC, BC $。若 $ △ ABC $ 的面积为8，则 $ k $ 的值为 （）

A.$ -2 $
B.$ -1 $
C.$ -\frac{5}{3} $
D.$ -\frac{1}{2} $

1.D

【分析】
解题思路如下：首先根据一次函数平移“上加下减”的规律，求出平移后直线$l_2$的解析式；接着明确点$A$是$l_1$与$y$轴的交点，坐标为$(0,1)$；然后设交点$B$、$C$的坐标，利用坐标系内三角形面积的计算方法化简面积表达式，会发现面积仅和点$B$的横坐标有关；最后根据$△ ABC$的面积求出点$B$的横坐标，代入反比例函数得到$B$点坐标，再代入$l_1$的解析式即可求出$k$的值。
【解析】
1. 求直线$l_2$的解析式：将$l_1:y=kx+1$向下平移4个单位，根据平移规律得$l_2$的解析式为$y=kx+1-4=kx-3$；
2. 确定点$A$坐标：$l_1$交$y$轴于$A$，令$x=0$，得$y=1$，故$A(0,1)$；
3. 设$B(x_1,y_1)$（$x_1＜0$），$B$是$l_1$与反比例函数的交点，因此$y_1=kx_1+1$，且$y_1=\frac{-12}{x_1}$；设$C(x_2,y_2)$（$x_2＜0$），$C$是$l_2$与反比例函数的交点，因此$y_2=kx_2-3$，且$y_2=\frac{-12}{x_2}$；
4. 计算$△ ABC$的面积，利用坐标三角形面积公式化简：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2-1)+x_2(1-y_1)\right|\\&=\frac{1}{2}\left|x_1(kx_2-3-1)+x_2(1-kx_1-1)\right|\\&=\frac{1}{2}\left|kx_1x_2-4x_1-kx_1x_2\right|\\&=\frac{1}{2}\left|-4x_1\right|=2\left|x_1\right|\end{aligned}$
5. 已知$S_{△ ABC}=8$，故$2\left|x_1\right|=8$，得$\left|x_1\right|=4$，因为$x_1＜0$，所以$x_1=-4$；
6. 将$x_1=-4$代入反比例函数$y=\frac{-12}{x}$，得$y_1=\frac{-12}{-4}=3$，即$B(-4,3)$；
7. 将$B(-4,3)$代入$l_1$的解析式$y=kx+1$，得$3=-4k+1$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数平移，反比例函数交点，坐标系三角形面积计算
【点评】
本题属于函数综合基础题，核心是通过化简三角形面积表达式消去无关变量，快速锁定关键点$B$的坐标，考察了一次函数平移性质、反比例函数性质的综合运用能力，化简过程是解题的关键突破口。
【难度系数】
0.6

2.如图,在平面直角坐标系中,△AOC的边OA在y轴上,点C在第一象限内,B为AC的中点,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过B,C两点.若△AOC的面积是6,则k的值为.

2.4

【分析】
要解决这道题，我们可以通过设点坐标结合已知条件推导关系：首先设出点A和点C的坐标，利用中点坐标公式表示出中点B的坐标；再根据B、C都在反比例函数图象上，代入解析式得到A点纵坐标与k的关系；最后结合△AOC的面积公式列方程，即可求出k的值。
【解析】
设点$ A $的坐标为$ (0,a) $（$ a＞0 $），点$ C $的坐标为$ (m, \frac{k}{m}) $（$ m＞0, k＞0 $）。
因为$ B $是$ AC $的中点，根据中点坐标公式可得点$ B $的坐标为：
$ ( \frac{0+m}{2}, \frac{a+\frac{k}{m}}{2} ) = ( \frac{m}{2}, \frac{am + k}{2m} ) $
又因为点$ B $在反比例函数$ y=\frac{k}{x} $的图象上，将$ B $点坐标代入解析式得：
$ \frac{am + k}{2m} = \frac{k}{\frac{m}{2}} $
化简右侧得$ \frac{2k}{m} $，因此：
$ \frac{am + k}{2m} = \frac{2k}{m} $
两边同乘$ 2m $得：$ am + k = 4k $，解得$ am = 3k $。
已知$ △ AOC $的面积为6，$ OA $的长度为$ a $，$ △ AOC $中$ OA $边上的高为点$ C $的横坐标$ m $，因此：
$ S_{△ AOC} = \frac{1}{2} × OA × m = \frac{1}{2}am = 6 $
将$ am=3k $代入上式得：
$ \frac{1}{2} × 3k = 6 $
解得$ k = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数中求k值的典型题型，解题核心是利用坐标法，结合中点性质、反比例函数解析式和面积公式建立等量关系，考查了数形结合思想的运用，解题过程中坐标参数可通过运算消去，无需单独求解。
【难度系数】
0.6

3.如图,在平面直角坐标系中,一条直线与反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象交于A,B两点,与x轴交于点C,且B是AC的中点,分别过点A,B作x轴的平行线,与反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象交于两点D,E,连接DE,则四边形ABED的面积为.

3.$\frac{9}{2}$

【分析】
我们可以通过设参数表示点坐标的方法求解：首先设点A在反比例函数$y=\frac{8}{x}$上的横坐标为$a$，写出A点坐标，再根据平行于$x$轴的点纵坐标相同，求出D点坐标；接着利用B是AC中点、C在$x$轴上纵坐标为0的特点，得到B点的纵坐标，结合B在$y=\frac{8}{x}$上求出B点坐标，同理求出E点坐标；最后判断四边形ABED是梯形，用梯形面积公式计算，计算过程中参数$a$会消去，得到最终面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{8}{a})$（$a＞0$）。
1. 求D点坐标与AD长度：
∵$AD// x$轴，D在$y=\frac{2}{x}$上，
∴D点纵坐标为$\frac{8}{a}$，代入$y=\frac{2}{x}$得$x=\frac{2}{\frac{8}{a}}=\frac{a}{4}$，即$D(\frac{a}{4},\frac{8}{a})$，
∴$AD=a-\frac{a}{4}=\frac{3a}{4}$。
2. 求B点坐标：
∵B是AC的中点，点C在$x$轴上、纵坐标为0，
∴B点纵坐标为$\frac{\frac{8}{a}+0}{2}=\frac{4}{a}$，
又
∵B在$y=\frac{8}{x}$上，将$y=\frac{4}{a}$代入得$x=\frac{8}{\frac{4}{a}}=2a$，即$B(2a,\frac{4}{a})$。
3. 求E点坐标与BE长度：
∵$BE// x$轴，E在$y=\frac{2}{x}$上，
∴E点纵坐标为$\frac{4}{a}$，代入$y=\frac{2}{x}$得$x=\frac{2}{\frac{4}{a}}=\frac{a}{2}$，即$E(\frac{a}{2},\frac{4}{a})$，
∴$BE=2a-\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$。
4. 计算四边形面积：
∵$AD// BE$，
∴四边形ABED是梯形，梯形的高为两点纵坐标的差：$\frac{8}{a}-\frac{4}{a}=\frac{4}{a}$，
∴$S_{四边形ABED}=\frac{(AD+BE)×高}{2}=\frac{(\frac{3a}{4}+\frac{3a}{2})×\frac{4}{a}}{2}=\frac{\frac{9a}{4}×\frac{4}{a}}{2}=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标特征，梯形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数上点的坐标特征，通过设参数表示各点坐标、结合几何性质求面积，参数在计算中自动消去是解题的关键，需熟练掌握平行于坐标轴的点的坐标特征应用。
【难度系数】
0.65

4.如图，A为双曲线$y=\frac{6}{x}(x＞0)$上的一点，$AB⊥ x$轴于点B，AB交双曲线$y=\frac{2}{x}$于点E，$AC⊥ y$轴于点C，AC交双曲线$y=\frac{2}{x}$于点D，连接DE，则$△ ADE$的面积是。

4.$\frac{4}{3}$

【分析】
我们可以先设出点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的特点，分别求出点D、点E的坐标，再得到线段AD、AE的长度，最后利用直角三角形面积公式计算△ADE的面积即可，计算过程中所设的参数会自动消去，不需要求出参数的具体值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{6}{a})$（$a＞0$），
∵ $AC⊥ y$轴，$AB⊥ x$轴，
∴ 点D的纵坐标与点A相同为$\frac{6}{a}$，点E的横坐标与点A相同为$a$。
将$y=\frac{6}{a}$代入$y=\frac{2}{x}$，得$\frac{6}{a}=\frac{2}{x}$，解得$x=\frac{a}{3}$，即$D(\frac{a}{3},\frac{6}{a})$，
∴ $AD = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$。
将$x=a$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{a}$，即$E(a,\frac{2}{a})$，
∴ $AE = \frac{6}{a} - \frac{2}{a} = \frac{4}{a}$。
由题意可知$∠ A=90°$，则$△ ADE$是直角三角形，
∴ $S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AD × AE = \frac{1}{2} × \frac{2a}{3} × \frac{4}{a} = \frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数中面积计算的典型题型，通过设参数表示各点坐标的方法求解，参数在计算过程中会抵消，不需要求出具体数值，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的坐标满足对应函数解析式的特点。
【难度系数】
0.6