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1. 如图，在$□ ABCD$中，E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则$AF:CF=(\quad)$。
A.$1:2$
B.$1:3$
C.$2:3$
D.$2:5$
A.$1:2$
B.$1:3$
C.$2:3$
D.$2:5$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，由此可得AD与BC平行且长度相等；已知E是AD中点，可推出AE与BC的长度比为1:2；接下来观察图形，AD平行BC可得到两组内错角相等，从而证明△AEF和△CBF相似，最后根据相似三角形对应边成比例，即可求出AF:CF的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵E为AD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，即$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵AD//BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF，
∴△AEF∽△CBF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，即AF:CF=1:2。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何比例计算的常见题型，解题的核心是利用平行四边形的对边平行性质找到相似三角形，再结合相似三角形对应边成比例的性质求解，难度不大，需要熟练掌握相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，由此可得AD与BC平行且长度相等；已知E是AD中点，可推出AE与BC的长度比为1:2；接下来观察图形，AD平行BC可得到两组内错角相等，从而证明△AEF和△CBF相似，最后根据相似三角形对应边成比例，即可求出AF:CF的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵E为AD的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，即$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵AD//BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF，
∴△AEF∽△CBF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，即AF:CF=1:2。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何比例计算的常见题型，解题的核心是利用平行四边形的对边平行性质找到相似三角形，再结合相似三角形对应边成比例的性质求解，难度不大，需要熟练掌握相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
2.如果$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$（$k ≠ 1$），那么$k$的值是（
A.$∠ A: ∠ A'$
B.$A'B': AB$
C.$∠ B: ∠ B'$
D.$BC: B'C'$
D
）。A.$∠ A: ∠ A'$
B.$A'B': AB$
C.$∠ B: ∠ B'$
D.$BC: B'C'$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查相似三角形相似比的相关概念，解题思路如下：首先回忆相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，因此对应角的比值恒为1，结合题干k≠1的条件，可先排除角相关的选项；再明确相似比的定义：两个相似三角形的相似比是顺序在前的三角形与顺序在后的三角形的对应边的比值，据此判断边相关的选项即可得出答案。
【解析】
1. 排除角相关选项：
因为△ABC∽△A'B'C'，相似三角形对应角相等，所以∠A=∠A'，∠B=∠B'，可得∠A:∠A'=1，∠B:∠B'=1，已知k≠1，因此A、C选项错误。
2. 判断边相关选项：
相似比的定义为：相似三角形中，书写顺序在前的三角形的边与顺序在后的三角形的对应边的比值。本题中△ABC在前，△A'B'C'在后，因此相似比k=对应边的比为AB:A'B'=BC:B'C'=AC:A'C'。
B选项A'B':AB是后一个三角形的边比前一个三角形的对应边，是相似比的倒数，不符合定义；D选项BC:B'C'符合相似比的定义，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，相似比的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础题型，重点考查对相似比定义的掌握，解题的关键是注意相似比的前后顺序和边的对应关系，避免因混淆顺序出错。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形相似比的相关概念，解题思路如下：首先回忆相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，因此对应角的比值恒为1，结合题干k≠1的条件，可先排除角相关的选项；再明确相似比的定义：两个相似三角形的相似比是顺序在前的三角形与顺序在后的三角形的对应边的比值，据此判断边相关的选项即可得出答案。
【解析】
1. 排除角相关选项：
因为△ABC∽△A'B'C'，相似三角形对应角相等，所以∠A=∠A'，∠B=∠B'，可得∠A:∠A'=1，∠B:∠B'=1，已知k≠1，因此A、C选项错误。
2. 判断边相关选项：
相似比的定义为：相似三角形中，书写顺序在前的三角形的边与顺序在后的三角形的对应边的比值。本题中△ABC在前，△A'B'C'在后，因此相似比k=对应边的比为AB:A'B'=BC:B'C'=AC:A'C'。
B选项A'B':AB是后一个三角形的边比前一个三角形的对应边，是相似比的倒数，不符合定义；D选项BC:B'C'符合相似比的定义，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质，相似比的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础题型，重点考查对相似比定义的掌握，解题的关键是注意相似比的前后顺序和边的对应关系，避免因混淆顺序出错。
【难度系数】
0.8
3.对于下列说法：
①相似且有一边为公共边的两个三角形全等；
②相似且面积相等的两个三角形全等；
③相似且周长相等的两个三角形全等。
其中正确的有(
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
①相似且有一边为公共边的两个三角形全等；
②相似且面积相等的两个三角形全等；
③相似且周长相等的两个三角形全等。
其中正确的有(
C
)。A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
3.C
解析
【分析】
要判断三个说法的正误，核心是明确：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，若能证明两个相似三角形的相似比为1，即可判定二者全等。我们结合相似三角形的性质逐个分析命题：①需注意公共边不一定是两个三角形的对应边，若不是对应边则无法推出相似比为1；②可借助相似三角形面积比与相似比的关系推导；③可借助相似三角形周长比与相似比的关系推导。
【解析】
我们逐个验证三个说法：
1. 验证说法①：若两个相似三角形的公共边不是对应边，例如相似比为2:1的两个三角形，大三角形的短边和小三角形的长边为公共边，此时两个三角形仅相似但不全等，故①错误。
2. 验证说法②：根据相似三角形性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。若两个相似三角形面积相等，则面积比为1，即相似比的平方为1，因相似比为正数，故相似比为1，两个三角形全等，故②正确。
3. 验证说法③：根据相似三角形性质，相似三角形的周长比等于相似比。若两个相似三角形周长相等，则周长比为1，即相似比为1，两个三角形全等，故③正确。
综上，正确的说法共有2个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题易错点是忽略说法①中“公共边不一定是对应边”的情况，解题关键是熟练掌握相似三角形的周长比、面积比和相似比的对应关系，明确相似与全等的逻辑联系。
【难度系数】
0.7
要判断三个说法的正误，核心是明确：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，若能证明两个相似三角形的相似比为1，即可判定二者全等。我们结合相似三角形的性质逐个分析命题：①需注意公共边不一定是两个三角形的对应边，若不是对应边则无法推出相似比为1；②可借助相似三角形面积比与相似比的关系推导；③可借助相似三角形周长比与相似比的关系推导。
【解析】
我们逐个验证三个说法：
1. 验证说法①：若两个相似三角形的公共边不是对应边，例如相似比为2:1的两个三角形，大三角形的短边和小三角形的长边为公共边，此时两个三角形仅相似但不全等，故①错误。
2. 验证说法②：根据相似三角形性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。若两个相似三角形面积相等，则面积比为1，即相似比的平方为1，因相似比为正数，故相似比为1，两个三角形全等，故②正确。
3. 验证说法③：根据相似三角形性质，相似三角形的周长比等于相似比。若两个相似三角形周长相等，则周长比为1，即相似比为1，两个三角形全等，故③正确。
综上，正确的说法共有2个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题易错点是忽略说法①中“公共边不一定是对应边”的情况，解题关键是熟练掌握相似三角形的周长比、面积比和相似比的对应关系，明确相似与全等的逻辑联系。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,D为边AB的中点,沿着过点D的某条直线将$△ ABC$剪开,要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似,不同的剪法有(
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
C
)。A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合相似三角形的判定定理（两角对应相等的两个三角形相似）分析所有可行的剪法。原三角形是直角三角形，要使剪下的小三角形和原三角形相似，截出的小三角形也需为直角三角形，且和原三角形有公共锐角，我们分情况讨论即可。
【解析】
已知在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，D是AB的中点，要使剪下的小三角形与$△ ABC$相似，需满足两个角对应相等，分类讨论如下：
1. 过点D作$DE// AC$，交BC于点E：
此时$∠ BED=∠ C=90°$，且$∠ B$是$△ BDE$和$△ BAC$的公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ BDE ∽ △ BAC$，符合要求；
2. 过点D作$DF// BC$，交AC于点F：
此时$∠ AFD=∠ C=90°$，且$∠ A$是$△ ADF$和$△ ABC$的公共角，同理可得$△ ADF ∽ △ ABC$，符合要求；
3. 过点D作$DG⊥ AB$，交AC或BC于点G：
此时$∠ ADG=90°=∠ C$，且$∠ A$是$△ ADG$和$△ ACB$的公共角，同理可得$△ ADG ∽ △ ACB$，符合要求。
综上，共有3种不同的剪法。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定的几何应用，解题时需要结合图形分类讨论所有可能的剪法，很容易遗漏垂直于斜边的第三种剪法，核心考查分类讨论的数学思想和几何直观能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要结合相似三角形的判定定理（两角对应相等的两个三角形相似）分析所有可行的剪法。原三角形是直角三角形，要使剪下的小三角形和原三角形相似，截出的小三角形也需为直角三角形，且和原三角形有公共锐角，我们分情况讨论即可。
【解析】
已知在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，D是AB的中点，要使剪下的小三角形与$△ ABC$相似，需满足两个角对应相等，分类讨论如下：
1. 过点D作$DE// AC$，交BC于点E：
此时$∠ BED=∠ C=90°$，且$∠ B$是$△ BDE$和$△ BAC$的公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ BDE ∽ △ BAC$，符合要求；
2. 过点D作$DF// BC$，交AC于点F：
此时$∠ AFD=∠ C=90°$，且$∠ A$是$△ ADF$和$△ ABC$的公共角，同理可得$△ ADF ∽ △ ABC$，符合要求；
3. 过点D作$DG⊥ AB$，交AC或BC于点G：
此时$∠ ADG=90°=∠ C$，且$∠ A$是$△ ADG$和$△ ACB$的公共角，同理可得$△ ADG ∽ △ ACB$，符合要求。
综上，共有3种不同的剪法。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定的几何应用，解题时需要结合图形分类讨论所有可能的剪法，很容易遗漏垂直于斜边的第三种剪法，核心考查分类讨论的数学思想和几何直观能力。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$△ ABC$中,点P在边AB上,则在下列四个条件中:①$∠ ACP=∠ B$;②$∠ APC=∠ ACB$;③$AC^2 = AP · AB$;④$AB · CP = AP · CB$,能判定$△ APC$与$△ ACB$相似的条件有(
)。
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
)。A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
答案
5.D
解析
【分析】
要判定△APC与△ACB相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理，只需再满足一组对应角相等，或夹公共角∠A的两组边对应成比例即可。接下来逐个验证四个条件：①②给出一组对应角相等，结合公共角可判定相似；③先将等积式转化为比例式，判断是否为夹∠A的两边成比例；④的比例式中，成比例的两组边的夹角不是相等的公共角，不符合判定要求，最终选出符合条件的选项。
【解析】
已知△APC和△ACB有公共角∠A，逐个分析条件：
1. 条件①：$\because ∠A=∠A, ∠ACP=∠B$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ APC ∽ △ ACB$，故①符合要求；
2. 条件②：$\because ∠A=∠A, ∠APC=∠ACB$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ APC ∽ △ ACB$，故②符合要求；
3. 条件③：将$AC^2 = AP · AB$变形为比例式，得$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$，又$\because ∠A=∠A$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ APC ∽ △ ACB$，故③符合要求；
4. 条件④：将$AB · CP = AP · CB$变形为比例式，得$\frac{AP}{AB}=\frac{CP}{CB}$，此时相等的∠A不是这两组成比例边的夹角，不符合相似三角形的判定定理，无法判定两三角形相似，故④不符合要求。
综上，能判定△APC与△ACB相似的条件是①②③，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要注意挖掘公共角这一隐含条件，应用两边成比例且夹角相等的判定定理时，务必确认成比例的两边的夹角是相等的角，避免误用判定条件导致错误。
【难度系数】
0.7
要判定△APC与△ACB相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理，只需再满足一组对应角相等，或夹公共角∠A的两组边对应成比例即可。接下来逐个验证四个条件：①②给出一组对应角相等，结合公共角可判定相似；③先将等积式转化为比例式，判断是否为夹∠A的两边成比例；④的比例式中，成比例的两组边的夹角不是相等的公共角，不符合判定要求，最终选出符合条件的选项。
【解析】
已知△APC和△ACB有公共角∠A，逐个分析条件：
1. 条件①：$\because ∠A=∠A, ∠ACP=∠B$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ APC ∽ △ ACB$，故①符合要求；
2. 条件②：$\because ∠A=∠A, ∠APC=∠ACB$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ APC ∽ △ ACB$，故②符合要求；
3. 条件③：将$AC^2 = AP · AB$变形为比例式，得$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$，又$\because ∠A=∠A$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ APC ∽ △ ACB$，故③符合要求；
4. 条件④：将$AB · CP = AP · CB$变形为比例式，得$\frac{AP}{AB}=\frac{CP}{CB}$，此时相等的∠A不是这两组成比例边的夹角，不符合相似三角形的判定定理，无法判定两三角形相似，故④不符合要求。
综上，能判定△APC与△ACB相似的条件是①②③，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要注意挖掘公共角这一隐含条件，应用两边成比例且夹角相等的判定定理时，务必确认成比例的两边的夹角是相等的角，避免误用判定条件导致错误。
【难度系数】
0.7
6.已知线段$a=10$，线段$b$是线段$a$的黄金分割的较长部分，则线段$b$的长为
$5\sqrt{5}-5$
。答案
6.$5\sqrt{5}-5$
解析
【分析】
解题的核心是明确黄金分割的性质：线段被黄金分割时，较长线段的长度等于原线段长度乘以黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。首先回忆黄金分割的相关定义，确定较长线段和原线段的数量关系，再代入已知的线段$a$的长度，最后化简计算即可得到$b$的长度。
【解析】
根据黄金分割的定义，若一条线段被黄金分割，较长部分与原线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
已知线段$b$是线段$a$的黄金分割的较长部分，因此：
$b = a × \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
将$a=10$代入上式：
$b = 10 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 5×(\sqrt{5}-1) = 5\sqrt{5}-5$
【答案】
$5\sqrt{5}-5$
【知识点】
黄金分割的性质；二次根式的化简计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记黄金比的数值，结合题意代入计算即可得到正确结果，计算过程中注意运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确黄金分割的性质：线段被黄金分割时，较长线段的长度等于原线段长度乘以黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。首先回忆黄金分割的相关定义，确定较长线段和原线段的数量关系，再代入已知的线段$a$的长度，最后化简计算即可得到$b$的长度。
【解析】
根据黄金分割的定义，若一条线段被黄金分割，较长部分与原线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
已知线段$b$是线段$a$的黄金分割的较长部分，因此：
$b = a × \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
将$a=10$代入上式：
$b = 10 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 5×(\sqrt{5}-1) = 5\sqrt{5}-5$
【答案】
$5\sqrt{5}-5$
【知识点】
黄金分割的性质；二次根式的化简计算
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记黄金比的数值，结合题意代入计算即可得到正确结果，计算过程中注意运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
7.如图,在边长为9的正方形ABCD中,F为AB上一点,连接CF,过点F作FE⊥CF,交AD于点E。若AF=3,则AE的长为
$2$
。答案
7.2
解析
【分析】
解题时首先结合正方形的性质得到直角和边长信息，再根据垂直关系推导角的等量关系，证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列算式计算AE的长度：第一步先根据正方形边长和AF的长度求出BF的长度；第二步通过互余角的关系推出两组对应角相等，证明△AEF和△BFC相似；第三步代入边长到相似三角形的比例式中求解AE。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为9的正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=9，
已知AF=3，
∴BF=AB-AF=9-3=6，
∵FE⊥CF，
∴∠EFC=90°，
∴∠AFE + ∠CFB = 180°-∠EFC=90°，
又
∵在Rt△BCF中，∠BCF + ∠CFB=90°，
∴∠AFE=∠BCF，
又
∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BFC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AE}{BF}=\frac{AF}{BC}$，
将BF=6，AF=3，BC=9代入得：
$\frac{AE}{6}=\frac{3}{9}$，
解得$AE=2$。
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何线段求解的典型题型，核心是利用角度互余关系推导角相等，进而证明三角形相似，再结合相似性质计算未知线段，需要熟练掌握相似三角形的判定方法和性质应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正方形的性质得到直角和边长信息，再根据垂直关系推导角的等量关系，证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列算式计算AE的长度：第一步先根据正方形边长和AF的长度求出BF的长度；第二步通过互余角的关系推出两组对应角相等，证明△AEF和△BFC相似；第三步代入边长到相似三角形的比例式中求解AE。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为9的正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=9，
已知AF=3，
∴BF=AB-AF=9-3=6，
∵FE⊥CF，
∴∠EFC=90°，
∴∠AFE + ∠CFB = 180°-∠EFC=90°，
又
∵在Rt△BCF中，∠BCF + ∠CFB=90°，
∴∠AFE=∠BCF，
又
∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BFC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AE}{BF}=\frac{AF}{BC}$，
将BF=6，AF=3，BC=9代入得：
$\frac{AE}{6}=\frac{3}{9}$，
解得$AE=2$。
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何线段求解的典型题型，核心是利用角度互余关系推导角相等，进而证明三角形相似，再结合相似性质计算未知线段，需要熟练掌握相似三角形的判定方法和性质应用。
【难度系数】
0.7
8.如图,在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中截去一个矩形,使留下的矩形(阴影部分)与原矩形相似,那么留下的矩形的面积为
$8\ \mathrm{cm}^2$
。答案
8.$8\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形对应边成比例，面积比等于相似比的平方。第一步先明确原矩形的长、宽分别为8cm、4cm，截去矩形后留下的阴影矩形的竖直边等于原矩形的宽4cm，我们可以设阴影矩形的另一条水平边长为未知数，根据相似对应边成比例的性质列方程求出边长，再计算面积；也可以先求出两个矩形的相似比，利用相似多边形面积比等于相似比的平方直接计算阴影面积。
【解析】
解：方法1：利用对应边成比例求解
原矩形的长为8cm，宽为4cm，设留下的阴影矩形的水平边长为$x$ cm。
∵ 阴影矩形与原矩形相似，对应边成比例，
∴ $\frac{\mathrm{原矩形的长}}{\mathrm{原矩形的宽}}=\frac{\mathrm{阴影矩形的竖直边长}}{\mathrm{阴影矩形的水平边长}}$，即 $\frac{8}{4}=\frac{4}{x}$，
解得 $x=2$，
∴ 阴影矩形的面积为 $4×2=8\ \mathrm{cm}^2$。
方法2：利用相似图形面积比求解
原矩形面积为 $8×4=32\ \mathrm{cm}^2$，
∵ 阴影矩形与原矩形相似，相似比 $k=\frac{\mathrm{阴影矩形的长}}{\mathrm{原矩形的长}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
又
∵ 相似多边形面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{原}}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=32×\frac{1}{4}=8\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$8\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1.相似多边形的性质
2.矩形面积计算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题，解题核心是准确找到两个相似矩形的对应边，避免对应边匹配错误，掌握相似图形的边长、面积比例关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形对应边成比例，面积比等于相似比的平方。第一步先明确原矩形的长、宽分别为8cm、4cm，截去矩形后留下的阴影矩形的竖直边等于原矩形的宽4cm，我们可以设阴影矩形的另一条水平边长为未知数，根据相似对应边成比例的性质列方程求出边长，再计算面积；也可以先求出两个矩形的相似比，利用相似多边形面积比等于相似比的平方直接计算阴影面积。
【解析】
解：方法1：利用对应边成比例求解
原矩形的长为8cm，宽为4cm，设留下的阴影矩形的水平边长为$x$ cm。
∵ 阴影矩形与原矩形相似，对应边成比例，
∴ $\frac{\mathrm{原矩形的长}}{\mathrm{原矩形的宽}}=\frac{\mathrm{阴影矩形的竖直边长}}{\mathrm{阴影矩形的水平边长}}$，即 $\frac{8}{4}=\frac{4}{x}$，
解得 $x=2$，
∴ 阴影矩形的面积为 $4×2=8\ \mathrm{cm}^2$。
方法2：利用相似图形面积比求解
原矩形面积为 $8×4=32\ \mathrm{cm}^2$，
∵ 阴影矩形与原矩形相似，相似比 $k=\frac{\mathrm{阴影矩形的长}}{\mathrm{原矩形的长}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
又
∵ 相似多边形面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{原}}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=32×\frac{1}{4}=8\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$8\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1.相似多边形的性质
2.矩形面积计算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题，解题核心是准确找到两个相似矩形的对应边，避免对应边匹配错误，掌握相似图形的边长、面积比例关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
9.【跨学科】如图，一束光线从y轴上的点A(0,1)发出，经过x轴上的点C反射后，经过点B(6,2)，则点C的坐标是
$(2,0)$
。答案
9.$(2,0)$
解析
【分析】
本题是跨学科题型，需结合物理光的反射定律和数学几何知识求解：首先根据反射定律“入射角等于反射角”，可得到∠ACO与∠BCD相等，再结合x轴上下的两个直角，可构造出一对相似三角形；接下来设出点C的横坐标为x，用含x的式子表示出两个相似三角形的对应边长，最后利用相似三角形对应边成比例列方程求解，即可得到点C的坐标。
【解析】
解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D。
设点C的坐标为$(x,0)$，则$OC=x$，$CD=6-x$。
根据光的反射定律，可得$∠ ACO=∠ BCD$，
又$\because ∠ AOC=∠ BDC=90°$，
$\therefore △ AOC ∽ △ BDC$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{OA}{BD}=\frac{OC}{CD}$。
已知$A(0,1)$，$B(6,2)$，则$OA=1$，$BD=2$，代入得：
$\frac{1}{2}=\frac{x}{6-x}$
交叉相乘得：$2x=6-x$
解得$x=2$，即点C的坐标为$(2,0)$。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，光的反射定律，平面直角坐标系
【点评】
本题将物理光学知识与数学几何知识结合，解题关键是把反射定律转化为几何中的角相等关系，进而构造相似三角形模型列方程求解，考查了跨学科知识的融合应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是跨学科题型，需结合物理光的反射定律和数学几何知识求解：首先根据反射定律“入射角等于反射角”，可得到∠ACO与∠BCD相等，再结合x轴上下的两个直角，可构造出一对相似三角形；接下来设出点C的横坐标为x，用含x的式子表示出两个相似三角形的对应边长，最后利用相似三角形对应边成比例列方程求解，即可得到点C的坐标。
【解析】
解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D。
设点C的坐标为$(x,0)$，则$OC=x$，$CD=6-x$。
根据光的反射定律，可得$∠ ACO=∠ BCD$，
又$\because ∠ AOC=∠ BDC=90°$，
$\therefore △ AOC ∽ △ BDC$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{OA}{BD}=\frac{OC}{CD}$。
已知$A(0,1)$，$B(6,2)$，则$OA=1$，$BD=2$，代入得：
$\frac{1}{2}=\frac{x}{6-x}$
交叉相乘得：$2x=6-x$
解得$x=2$，即点C的坐标为$(2,0)$。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，光的反射定律，平面直角坐标系
【点评】
本题将物理光学知识与数学几何知识结合，解题关键是把反射定律转化为几何中的角相等关系，进而构造相似三角形模型列方程求解，考查了跨学科知识的融合应用能力。
【难度系数】
0.7
