登录
三、解答题
11.计算下列各题：
(1)$(\frac{1}{8}-\frac{5}{12})×24-(-3-3)^2÷(6÷3)^2$；
(2)$-1^{101}-[-3×(2÷3)^2-\frac{4}{3}÷2^2]$。
11.计算下列各题：
(1)$(\frac{1}{8}-\frac{5}{12})×24-(-3-3)^2÷(6÷3)^2$；
(2)$-1^{101}-[-3×(2÷3)^2-\frac{4}{3}÷2^2]$。
答案
解：
(1) 原式$=\frac{1}{8}×24 - \frac{5}{12}×24 - (-6)^2 ÷ 2^2$
$= 3 - 10 - 36 ÷ 4$
$= 3 - 10 - 9$
$= -16$
(2) 原式$= -1 - [-3×(\frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3}÷4]$
$= -1 - [-3×\frac{4}{9} - \frac{1}{3}]$
$= -1 - [-\frac{4}{3} - \frac{1}{3}]$
$= -1 - (-\frac{5}{3})$
$= -1 + \frac{5}{3}$
$= \frac{2}{3}$
(1) 原式$=\frac{1}{8}×24 - \frac{5}{12}×24 - (-6)^2 ÷ 2^2$
$= 3 - 10 - 36 ÷ 4$
$= 3 - 10 - 9$
$= -16$
(2) 原式$= -1 - [-3×(\frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3}÷4]$
$= -1 - [-3×\frac{4}{9} - \frac{1}{3}]$
$= -1 - [-\frac{4}{3} - \frac{1}{3}]$
$= -1 - (-\frac{5}{3})$
$= -1 + \frac{5}{3}$
$= \frac{2}{3}$
解析
【分析】
这两道题为有理数混合运算题，解题遵循有理数混合运算规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号时先算括号内的运算，同级运算从左到右进行，可灵活运用运算律简化计算。
(1) 前半部分$(\frac{1}{8}-\frac{5}{12})×24$适合用乘法分配律展开计算，无需通分更简便；后半部分先计算小括号里的$-3-3$和$6÷3$，再计算乘方，接着算除法，最后按顺序计算加减即可，计算时注意负数乘方的符号判断。
(2) 先计算乘方，注意$-1^{101}$的底数是1，结果为$-1$；再计算中括号内的乘除运算，接着算中括号内的减法，最后计算括号外的减法，去括号时注意符号变化。
【解析】
(1) 原式$=\frac{1}{8}×24 - \frac{5}{12}×24 - (-6)^2 ÷ 2^2$
$= 3 - 10 - 36 ÷ 4$
$= 3 - 10 - 9$
$= -16$
(2) 原式$= -1 - [-3×(\frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3}÷4]$
$= -1 - [-3×\frac{4}{9} - \frac{1}{3}]$
$= -1 - [-\frac{4}{3} - \frac{1}{3}]$
$= -1 - (-\frac{5}{3})$
$= -1 + \frac{5}{3}$
$= \frac{2}{3}$
【答案】
(1) $\boxed{-16}$；(2) $\boxed{\frac{2}{3}}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的常规题型，重点考查运算顺序的掌握和运算符号的处理，合理运用乘法分配律可简化计算过程，计算时要注意区分乘方的底数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
这两道题为有理数混合运算题，解题遵循有理数混合运算规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号时先算括号内的运算，同级运算从左到右进行，可灵活运用运算律简化计算。
(1) 前半部分$(\frac{1}{8}-\frac{5}{12})×24$适合用乘法分配律展开计算，无需通分更简便；后半部分先计算小括号里的$-3-3$和$6÷3$，再计算乘方，接着算除法，最后按顺序计算加减即可，计算时注意负数乘方的符号判断。
(2) 先计算乘方，注意$-1^{101}$的底数是1，结果为$-1$；再计算中括号内的乘除运算，接着算中括号内的减法，最后计算括号外的减法，去括号时注意符号变化。
【解析】
(1) 原式$=\frac{1}{8}×24 - \frac{5}{12}×24 - (-6)^2 ÷ 2^2$
$= 3 - 10 - 36 ÷ 4$
$= 3 - 10 - 9$
$= -16$
(2) 原式$= -1 - [-3×(\frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3}÷4]$
$= -1 - [-3×\frac{4}{9} - \frac{1}{3}]$
$= -1 - [-\frac{4}{3} - \frac{1}{3}]$
$= -1 - (-\frac{5}{3})$
$= -1 + \frac{5}{3}$
$= \frac{2}{3}$
【答案】
(1) $\boxed{-16}$；(2) $\boxed{\frac{2}{3}}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的常规题型，重点考查运算顺序的掌握和运算符号的处理，合理运用乘法分配律可简化计算过程，计算时要注意区分乘方的底数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
12.李明家购置了一辆续航(能行驶的最大路程)为350 km的新能源电动汽车,他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表(单位:km,以40 km为标准,超过部分记为正数,不足部分记为负数).已知该汽车第三天行驶了45 km,第六天行驶了34 km.
(1)“■”处的数为，“●”处的数为；
(2)这款汽车在行驶结束时,若剩余电量不足以支撑续航的15%,行车电脑就会发出充电提示,请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时,行驶电脑会不会发出充电提示.
(1)“■”处的数为，“●”处的数为；
(2)这款汽车在行驶结束时,若剩余电量不足以支撑续航的15%,行车电脑就会发出充电提示,请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时,行驶电脑会不会发出充电提示.
答案
解：
(1) 由题意，以40km为标准，
$45-40=+5$，$34-40=-6$，
所以“■”处的数为$\boldsymbol{+5}$，“●”处的数为$\boldsymbol{-6}$。
(2) 计算7天实际总行驶路程：
$40×7 + (-6 + 2 + 5 - 3 + 8 - 6 + 7)$
$=280 + 7$
$=287\ (\mathrm{km})$
剩余可行驶路程为：$350 - 287 = 63\ (\mathrm{km})$
续航的15%对应的路程为：$350×15\% = 52.5\ (\mathrm{km})$
因为$63 ＞ 52.5$，即剩余电量足以支撑续航的15%，所以该汽车第七天行驶结束时，行车电脑不会发出充电提示。
(1) 由题意，以40km为标准，
$45-40=+5$，$34-40=-6$，
所以“■”处的数为$\boldsymbol{+5}$，“●”处的数为$\boldsymbol{-6}$。
(2) 计算7天实际总行驶路程：
$40×7 + (-6 + 2 + 5 - 3 + 8 - 6 + 7)$
$=280 + 7$
$=287\ (\mathrm{km})$
剩余可行驶路程为：$350 - 287 = 63\ (\mathrm{km})$
续航的15%对应的路程为：$350×15\% = 52.5\ (\mathrm{km})$
因为$63 ＞ 52.5$，即剩余电量足以支撑续航的15%，所以该汽车第七天行驶结束时，行车电脑不会发出充电提示。
解析
【分析】
(1) 题目明确以40km为标准，超过部分记为正，不足部分记为负，因此记录值=实际行驶路程-40km，将第三天、第六天的实际行驶路程代入该公式，即可算出两个空缺的数值。
(2) 要判断是否发出充电提示，需分三步计算：首先算出7天的总行驶路程，先求7天的标准总路程，再加上7天记录值的总和即可得到实际总行驶路程；其次用总续航减去总行驶路程得到剩余可行驶路程，同时算出续航15%对应的阈值路程；最后比较剩余路程和阈值的大小，若剩余路程小于阈值就会发出提示，反之则不会。
【解析】
(1) 根据正负数的记录规则计算：
第三天记录值：$45-40=+5$
第六天记录值：$34-40=-6$
因此“■”处的数为+5，“●”处的数为-6。
(2) 计算7天实际总行驶路程：
7天记录值的和：$-6+2+5-3+8-6+7=7$
7天标准总路程：$40×7=280\ (\mathrm{km})$
实际总行驶路程：$280+7=287\ (\mathrm{km})$
剩余可行驶路程：$350-287=63\ (\mathrm{km})$
充电提示阈值：$350×15\%=52.5\ (\mathrm{km})$
因为$63＞52.5$，剩余可行驶路程大于续航的15%，所以不会发出充电提示。
【答案】
(1) $\boldsymbol{+5}$，$\boldsymbol{-6}$；
(2) 该汽车第七天行驶结束时，行车电脑不会发出充电提示。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数加减运算；百分数计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查正负数的应用和基础运算能力，解题核心是理解正负数的基准定义，理清各数量间的逻辑关系，是注重基础应用的典型题目。
【难度系数】
0.8
(1) 题目明确以40km为标准，超过部分记为正，不足部分记为负，因此记录值=实际行驶路程-40km，将第三天、第六天的实际行驶路程代入该公式，即可算出两个空缺的数值。
(2) 要判断是否发出充电提示，需分三步计算：首先算出7天的总行驶路程，先求7天的标准总路程，再加上7天记录值的总和即可得到实际总行驶路程；其次用总续航减去总行驶路程得到剩余可行驶路程，同时算出续航15%对应的阈值路程；最后比较剩余路程和阈值的大小，若剩余路程小于阈值就会发出提示，反之则不会。
【解析】
(1) 根据正负数的记录规则计算：
第三天记录值：$45-40=+5$
第六天记录值：$34-40=-6$
因此“■”处的数为+5，“●”处的数为-6。
(2) 计算7天实际总行驶路程：
7天记录值的和：$-6+2+5-3+8-6+7=7$
7天标准总路程：$40×7=280\ (\mathrm{km})$
实际总行驶路程：$280+7=287\ (\mathrm{km})$
剩余可行驶路程：$350-287=63\ (\mathrm{km})$
充电提示阈值：$350×15\%=52.5\ (\mathrm{km})$
因为$63＞52.5$，剩余可行驶路程大于续航的15%，所以不会发出充电提示。
【答案】
(1) $\boldsymbol{+5}$，$\boldsymbol{-6}$；
(2) 该汽车第七天行驶结束时，行车电脑不会发出充电提示。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数加减运算；百分数计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查正负数的应用和基础运算能力，解题核心是理解正负数的基准定义，理清各数量间的逻辑关系，是注重基础应用的典型题目。
【难度系数】
0.8
13.阅读理解题:从左边第一个格子开始向右数,在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.
(1)可知$x=$, $\boldsymbol{●}=$, $\boldsymbol{○}=$;
(2)试判断第2024个格子中的数是多少,并给出相应的理由;
(3)判断:前$n$个格子中所填整数之和是否可能为2023?若能,求出$n$的值;若不能,请说明理由.
(1)可知$x=$, $\boldsymbol{●}=$, $\boldsymbol{○}=$;
(2)试判断第2024个格子中的数是多少,并给出相应的理由;
(3)判断:前$n$个格子中所填整数之和是否可能为2023?若能,求出$n$的值;若不能,请说明理由.
答案
解：
(1) 由任意三个相邻格子中所填整数之和相等，可得：
$3+●+○=●+○+x$，解得$x=3$；
$●+○+x=○+x+5$，解得$●=5$；
观察可知数列按3,5,○循环，第9个格子的数等于第3个格子的数，因此$○=-3$。
故$x=\boldsymbol{3}$，$●=\boldsymbol{5}$，$○=\boldsymbol{-3}$。
(2) 由(1)可知，格子中的数按$3,5,-3$依次循环，周期为3。
因为$2024÷3=674······2$，余数为2，
所以第2024个格子中的数与周期内第2个数相等，即为5。
(3) 能。
每个周期三个数的和为$3+5+(-3)=5$。
① 若$n$除以3余2，设共有$k$个完整周期，剩余2个数为3和5：
$5k + 3+5=2023$，解得$k=403$，此时$n=3×403+2=1211$；
② 若$n$除以3余1，设共有$k$个完整周期，剩余1个数为3：
$5k + 3=2023$，解得$k=404$，此时$n=3×404+1=1213$。
综上，前$n$个格子中所填整数之和可以为2023，$n$的值为1211或1213。
(1) 由任意三个相邻格子中所填整数之和相等，可得：
$3+●+○=●+○+x$，解得$x=3$；
$●+○+x=○+x+5$，解得$●=5$；
观察可知数列按3,5,○循环，第9个格子的数等于第3个格子的数，因此$○=-3$。
故$x=\boldsymbol{3}$，$●=\boldsymbol{5}$，$○=\boldsymbol{-3}$。
(2) 由(1)可知，格子中的数按$3,5,-3$依次循环，周期为3。
因为$2024÷3=674······2$，余数为2，
所以第2024个格子中的数与周期内第2个数相等，即为5。
(3) 能。
每个周期三个数的和为$3+5+(-3)=5$。
① 若$n$除以3余2，设共有$k$个完整周期，剩余2个数为3和5：
$5k + 3+5=2023$，解得$k=403$，此时$n=3×403+2=1211$；
② 若$n$除以3余1，设共有$k$个完整周期，剩余1个数为3：
$5k + 3=2023$，解得$k=404$，此时$n=3×404+1=1213$。
综上，前$n$个格子中所填整数之和可以为2023，$n$的值为1211或1213。
解析
【分析】
首先解决第(1)问：利用“任意三个相邻格子的整数和相等”的条件，列出相邻三组和相等的等式，消去公共项即可求出x和●，再根据周期特性，第3、6、9个格子的数相同，就能求出○。接着第(2)问：由(1)可得到数字的循环周期为3，求第2024个数只需用2024除以3看余数，余数对应周期内的位置即可得到结果。最后第(3)问：先计算单个周期的和，再分n除以3余0、余1、余2三种情况列方程求解，判断是否存在正整数解即可。
【解析】
(1) 根据“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”，可得：
$3+●+○=●+○+x$，左右两边同时减去$●+○$，解得$x=3$；
$●+○+x=○+x+5$，左右两边同时减去$○+x$，解得$●=5$；
数列以3个数为一个周期循环，第9个格子的数与第3个格子的数相等，已知第9个数为$-3$，因此$○=-3$。
(2) 由(1)可知，格子中的数按照$3,5,-3$的顺序循环出现，周期为3。
计算得$2024÷3=674······2$，余数为2，因此第2024个格子中的数与周期内第2个数相等，即为5。
(3) 能。先计算单个周期的和：$3+5+(-3)=5$，分情况讨论：
① 若$n$除以3余2，设共有$k$个完整周期，剩余2个数为3和5，列方程：
$5k + 3+5=2023$，解得$k=403$，此时$n=3×403+2=1211$；
② 若$n$除以3余1，设共有$k$个完整周期，剩余1个数为3，列方程：
$5k + 3=2023$，解得$k=404$，此时$n=3×404+1=1213$；
③ 若$n$是3的倍数，列方程$5k=2023$，解得$k$不是整数，该情况舍去。
综上，$n$的值为1211或1213。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{-3}$；
(2) 第2024个格子中的数是$\boldsymbol{5}$；
(3) 能，$n$的值为$\boldsymbol{1211}$或$\boldsymbol{1213}$。
【知识点】
数字周期规律，一元一次方程的应用，有理数加法
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是先根据题目给出的等量关系推导出数字的循环周期，再结合周期性质解决对应位置数字、前n项和的问题，求解前n项和时要注意分类讨论不同余数的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先解决第(1)问：利用“任意三个相邻格子的整数和相等”的条件，列出相邻三组和相等的等式，消去公共项即可求出x和●，再根据周期特性，第3、6、9个格子的数相同，就能求出○。接着第(2)问：由(1)可得到数字的循环周期为3，求第2024个数只需用2024除以3看余数，余数对应周期内的位置即可得到结果。最后第(3)问：先计算单个周期的和，再分n除以3余0、余1、余2三种情况列方程求解，判断是否存在正整数解即可。
【解析】
(1) 根据“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”，可得：
$3+●+○=●+○+x$，左右两边同时减去$●+○$，解得$x=3$；
$●+○+x=○+x+5$，左右两边同时减去$○+x$，解得$●=5$；
数列以3个数为一个周期循环，第9个格子的数与第3个格子的数相等，已知第9个数为$-3$，因此$○=-3$。
(2) 由(1)可知，格子中的数按照$3,5,-3$的顺序循环出现，周期为3。
计算得$2024÷3=674······2$，余数为2，因此第2024个格子中的数与周期内第2个数相等，即为5。
(3) 能。先计算单个周期的和：$3+5+(-3)=5$，分情况讨论：
① 若$n$除以3余2，设共有$k$个完整周期，剩余2个数为3和5，列方程：
$5k + 3+5=2023$，解得$k=403$，此时$n=3×403+2=1211$；
② 若$n$除以3余1，设共有$k$个完整周期，剩余1个数为3，列方程：
$5k + 3=2023$，解得$k=404$，此时$n=3×404+1=1213$；
③ 若$n$是3的倍数，列方程$5k=2023$，解得$k$不是整数，该情况舍去。
综上，$n$的值为1211或1213。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{-3}$；
(2) 第2024个格子中的数是$\boldsymbol{5}$；
(3) 能，$n$的值为$\boldsymbol{1211}$或$\boldsymbol{1213}$。
【知识点】
数字周期规律，一元一次方程的应用，有理数加法
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是先根据题目给出的等量关系推导出数字的循环周期，再结合周期性质解决对应位置数字、前n项和的问题，求解前n项和时要注意分类讨论不同余数的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
14.同学们都知道，$|8-(-3)|$表示8与－3的差的绝对值，实际上也可理解为8与－3在数轴上对应的点之间的距离.同理，$|x-5|$也可理解为x与5在数轴上对应的点之间的距离.
(1)计算：$|9-(-5)|=$；
(2)若$|x-3|=6$，求x的值；
(3)$|x-4|+|x+2|=6$表示数轴上有理数x对应的点到4和－2对应的点之间的距离的和为6，请你找出所有符合条件的整数x，并写出解题过程.
(1)计算：$|9-(-5)|=$；
(2)若$|x-3|=6$，求x的值；
(3)$|x-4|+|x+2|=6$表示数轴上有理数x对应的点到4和－2对应的点之间的距离的和为6，请你找出所有符合条件的整数x，并写出解题过程.
答案
解：
(1) $|9-(-5)|=|9+5|=|14|=14$
(2) 由绝对值的意义可知，$|x-3|=6$表示数轴上x对应的点到3对应的点的距离为6，
因此$x-3=6$或$x-3=-6$，
解得$x=9$或$x=-3$。
(3) 数轴上4和-2对应的点之间的距离为$4-(-2)=6$。
当$x＜-2$时，x对应的点到4和-2对应的点的距离之和大于6，不符合要求；
当$x＞4$时，x对应的点到4和-2对应的点的距离之和大于6，不符合要求；
当$-2≤ x≤4$时，x对应的点到4和-2对应的点的距离之和恰好为6，符合要求。
因此满足条件的整数x为：-2、-1、0、1、2、3、4。
(1) $|9-(-5)|=|9+5|=|14|=14$
(2) 由绝对值的意义可知，$|x-3|=6$表示数轴上x对应的点到3对应的点的距离为6，
因此$x-3=6$或$x-3=-6$，
解得$x=9$或$x=-3$。
(3) 数轴上4和-2对应的点之间的距离为$4-(-2)=6$。
当$x＜-2$时，x对应的点到4和-2对应的点的距离之和大于6，不符合要求；
当$x＞4$时，x对应的点到4和-2对应的点的距离之和大于6，不符合要求；
当$-2≤ x≤4$时，x对应的点到4和-2对应的点的距离之和恰好为6，符合要求。
因此满足条件的整数x为：-2、-1、0、1、2、3、4。
解析
【分析】
本题围绕绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）展开考查，解题思路清晰：
(1) 第一小问直接遵循绝对值运算规则，先计算绝对值内的减法，再求绝对值即可；
(2) 第二小问根据$|x-3|$表示x与3的距离为6，可知x存在3的左侧、右侧两种情况，分别列方程求解即可；
(3) 第三小问先算出4和-2在数轴上的距离恰好为6，可推出只有x在这两个点之间（包含端点）时，到两点的距离和才等于两点间距，超出该范围的距离和都会大于6，最后找出区间内的整数即可。
【解析】
(1) 计算$|9-(-5)|$，先化简绝对值内的式子：$9-(-5)=9+5=14$，再求14的绝对值，得$|14|=14$；
(2) 由绝对值的几何意义可知，$|x-3|=6$表示数轴上x对应的点到3对应的点的距离为6，因此分两种情况：
当x在3的右侧时，$x-3=6$，解得$x=9$；
当x在3的左侧时，$x-3=-6$，解得$x=-3$；
(3) 先计算数轴上4和-2对应点的距离：$4-(-2)=6$，分情况讨论：
① 当$x＜-2$时，x到4和-2的距离之和大于6，不符合要求；
② 当$x＞4$时，x到4和-2的距离之和大于6，不符合要求；
③ 当$-2≤x≤4$时，x到4和-2的距离之和恰好等于6，符合要求。
因此该区间内的整数x为-2、-1、0、1、2、3、4。
【答案】
(1) $\boxed{14}$；(2) $\boxed{x=9}$或$\boxed{x=-3}$；(3) $\boxed{-2、-1、0、1、2、3、4}$
【知识点】
绝对值的意义；数轴两点距离；绝对值方程
【点评】
本题将绝对值的代数运算和数轴的几何意义相结合，体现了数形结合的数学思想，借助数轴分析可直观简化运算，有助于加深对绝对值本质的理解。
【难度系数】
0.7
本题围绕绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）展开考查，解题思路清晰：
(1) 第一小问直接遵循绝对值运算规则，先计算绝对值内的减法，再求绝对值即可；
(2) 第二小问根据$|x-3|$表示x与3的距离为6，可知x存在3的左侧、右侧两种情况，分别列方程求解即可；
(3) 第三小问先算出4和-2在数轴上的距离恰好为6，可推出只有x在这两个点之间（包含端点）时，到两点的距离和才等于两点间距，超出该范围的距离和都会大于6，最后找出区间内的整数即可。
【解析】
(1) 计算$|9-(-5)|$，先化简绝对值内的式子：$9-(-5)=9+5=14$，再求14的绝对值，得$|14|=14$；
(2) 由绝对值的几何意义可知，$|x-3|=6$表示数轴上x对应的点到3对应的点的距离为6，因此分两种情况：
当x在3的右侧时，$x-3=6$，解得$x=9$；
当x在3的左侧时，$x-3=-6$，解得$x=-3$；
(3) 先计算数轴上4和-2对应点的距离：$4-(-2)=6$，分情况讨论：
① 当$x＜-2$时，x到4和-2的距离之和大于6，不符合要求；
② 当$x＞4$时，x到4和-2的距离之和大于6，不符合要求；
③ 当$-2≤x≤4$时，x到4和-2的距离之和恰好等于6，符合要求。
因此该区间内的整数x为-2、-1、0、1、2、3、4。
【答案】
(1) $\boxed{14}$；(2) $\boxed{x=9}$或$\boxed{x=-3}$；(3) $\boxed{-2、-1、0、1、2、3、4}$
【知识点】
绝对值的意义；数轴两点距离；绝对值方程
【点评】
本题将绝对值的代数运算和数轴的几何意义相结合，体现了数形结合的数学思想，借助数轴分析可直观简化运算，有助于加深对绝对值本质的理解。
【难度系数】
0.7
