登录
例1 如图，将$△ ABC$三个角分别沿$DE$，$HG$，$EF$翻折，使三个顶点均落在点$O$处，若$∠ DOH=78°$，求$∠ FOG$的度数.
解:由折叠可得$∠ DOE=∠ A$，$∠ EOF=∠ B$，$∠ GOH=∠ C$.
$\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°$，
$\therefore ∠ DOE+∠ EOF+∠ GOH=180°$.
$\because ∠ DOE+∠ EOF+∠ GOH+∠ DOH+∠ FOG=360°$，
且$∠ DOH=78°$，
$\therefore ∠ FOG=360°-180°-78°=102°$.
解:由折叠可得$∠ DOE=∠ A$，$∠ EOF=∠ B$，$∠ GOH=∠ C$.
$\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°$，
$\therefore ∠ DOE+∠ EOF+∠ GOH=180°$.
$\because ∠ DOE+∠ EOF+∠ GOH+∠ DOH+∠ FOG=360°$，
且$∠ DOH=78°$，
$\therefore ∠ FOG=360°-180°-78°=102°$.
答案
解：由折叠可得$∠DOE=∠A$，$∠EOF=∠B$，$∠GOH=∠C$。
$\because ∠A+∠B+∠C=180°$，
$\therefore ∠DOE+∠EOF+∠GOH=180°$。
$\because$ 以$O$为顶点的周角为$360°$，
$\therefore ∠DOE+∠EOF+∠GOH+∠DOH+∠FOG=360°$，
又$\because ∠DOH=78°$，
$\therefore ∠FOG=360°-180°-78°=102°$。
$\because ∠A+∠B+∠C=180°$，
$\therefore ∠DOE+∠EOF+∠GOH=180°$。
$\because$ 以$O$为顶点的周角为$360°$，
$\therefore ∠DOE+∠EOF+∠GOH+∠DOH+∠FOG=360°$，
又$\because ∠DOH=78°$，
$\therefore ∠FOG=360°-180°-78°=102°$。
解析
【分析】
解决这道题首先结合折叠的性质分析：折叠前后对应角相等，因此△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C翻折后分别与∠DOE、∠EOF、∠GOH相等；再根据三角形内角和为180°，可得三个翻折后得到的角的和也为180°；最后以O为顶点的所有角构成周角，总和为360°，减去三个翻折角的和，再减去已知的∠DOH的度数，即可求出∠FOG的度数。
【解析】
由折叠可得$∠DOE=∠A$，$∠EOF=∠B$，$∠GOH=∠C$。
$\because ∠A+∠B+∠C=180°$，
$\therefore ∠DOE+∠EOF+∠GOH=180°$。
$\because$ 以$O$为顶点的周角为$360°$，
$\therefore ∠DOE+∠EOF+∠GOH+∠DOH+∠FOG=360°$，
又$\because ∠DOH=78°$，
$\therefore ∠FOG=360°-180°-78°=102°$。
【答案】
$102°$
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，周角的性质
【点评】
本题是典型的折叠类角度计算题，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合三角形内角和与周角的角度和关系即可快速求解，考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先结合折叠的性质分析：折叠前后对应角相等，因此△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C翻折后分别与∠DOE、∠EOF、∠GOH相等；再根据三角形内角和为180°，可得三个翻折后得到的角的和也为180°；最后以O为顶点的所有角构成周角，总和为360°，减去三个翻折角的和，再减去已知的∠DOH的度数，即可求出∠FOG的度数。
【解析】
由折叠可得$∠DOE=∠A$，$∠EOF=∠B$，$∠GOH=∠C$。
$\because ∠A+∠B+∠C=180°$，
$\therefore ∠DOE+∠EOF+∠GOH=180°$。
$\because$ 以$O$为顶点的周角为$360°$，
$\therefore ∠DOE+∠EOF+∠GOH+∠DOH+∠FOG=360°$，
又$\because ∠DOH=78°$，
$\therefore ∠FOG=360°-180°-78°=102°$。
【答案】
$102°$
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，周角的性质
【点评】
本题是典型的折叠类角度计算题，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合三角形内角和与周角的角度和关系即可快速求解，考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
例2 在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，使点C落在点C'的位置。
(1)如图1，若点C'在边BC上，∠ADC'=58°，则∠C=°，∠ADC'与∠C的数量关系是；
(2)如图2，若点C'在△ABC内部，∠BEC'=42°，∠ADC'=20°，则∠C=°；
(3)如图3，若点C'在△ABC外部，设∠BEC'的度数为x，∠ADC'的度数为y，试探究∠C与x，y之间的数量关系。
解:(1)由折叠性质得∠C=∠DC'C，
∵∠ADC' = ∠C + ∠DC'C = 2∠C，∠ADC'=58°，
∴∠C=29°.
(2)由折叠的性质得∠CDE = ∠C'DE，∠DEC=∠DEC'，
设∠CDE = ∠C'DE = α，∠DEC = ∠DEC'=β，
∵∠ADC'=20°，
∠ADC'+∠CDE+∠C'DE=180°，
∴20°+2α=180°，解得α=80°.
∵∠BEC'+∠DEC+∠DEC'=180°，
∴42°+2β=180°，解得β=69°.
在△CDE中，∠C=180°−α−β=180°−80°−69°=31°.
(3)∵∠BEC'=x，∴∠CEC'=180°−x.
由折叠的性质得∠DEC = ∠DEC' = $\frac{1}{2}$∠CEC' = 90°−$\frac{1}{2}$x.
∵∠ADC'=y，
∴∠CDE + ∠C'DE=180°+y.
∵∠CDE=∠C'DE，
∴∠CDE=90°+$\frac{1}{2}$y.
在△CDE中，∠C = 180°−∠CDE−∠DEC=180°−(90°+$\frac{1}{2}$y)−(90°−$\frac{1}{2}$x)=$\frac{1}{2}$x−$\frac{1}{2}$y.
(1)如图1，若点C'在边BC上，∠ADC'=58°，则∠C=°，∠ADC'与∠C的数量关系是；
(2)如图2，若点C'在△ABC内部，∠BEC'=42°，∠ADC'=20°，则∠C=°；
(3)如图3，若点C'在△ABC外部，设∠BEC'的度数为x，∠ADC'的度数为y，试探究∠C与x，y之间的数量关系。
解:(1)由折叠性质得∠C=∠DC'C，
∵∠ADC' = ∠C + ∠DC'C = 2∠C，∠ADC'=58°，
∴∠C=29°.
(2)由折叠的性质得∠CDE = ∠C'DE，∠DEC=∠DEC'，
设∠CDE = ∠C'DE = α，∠DEC = ∠DEC'=β，
∵∠ADC'=20°，
∠ADC'+∠CDE+∠C'DE=180°，
∴20°+2α=180°，解得α=80°.
∵∠BEC'+∠DEC+∠DEC'=180°，
∴42°+2β=180°，解得β=69°.
在△CDE中，∠C=180°−α−β=180°−80°−69°=31°.
(3)∵∠BEC'=x，∴∠CEC'=180°−x.
由折叠的性质得∠DEC = ∠DEC' = $\frac{1}{2}$∠CEC' = 90°−$\frac{1}{2}$x.
∵∠ADC'=y，
∴∠CDE + ∠C'DE=180°+y.
∵∠CDE=∠C'DE，
∴∠CDE=90°+$\frac{1}{2}$y.
在△CDE中，∠C = 180°−∠CDE−∠DEC=180°−(90°+$\frac{1}{2}$y)−(90°−$\frac{1}{2}$x)=$\frac{1}{2}$x−$\frac{1}{2}$y.
答案
(1) $\boldsymbol{29}$；$\boldsymbol{∠ADC'=2∠C}$
(2) $\boldsymbol{31}$
(3) $\boldsymbol{∠C=\frac{1}{2}(x-y)}$（或$2∠C=x-y$）
(2) $\boldsymbol{31}$
(3) $\boldsymbol{∠C=\frac{1}{2}(x-y)}$（或$2∠C=x-y$）
解析
【分析】
解题时首先抓住折叠的核心性质：折叠前后对应角相等，再结合三角形的外角性质、内角和定理、平角的定义逐步推导。
(1) 折叠后∠C=∠DC'C，观察∠ADC'是△DCC'的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，可得∠ADC'=∠C+∠DC'C=2∠C，代入已知角度即可求出∠C，同时得到二者数量关系。
(2) 折叠后∠CDE=∠C'DE，∠DEC=∠DEC'，结合平角为180°，分别用已知的∠ADC'、∠BEC'求出∠CDE和∠DEC的度数，再利用△CDE的内角和为180°即可算出∠C。
(3) 与第二问思路类似，先根据平角定义用x表示出∠CEC'，再由折叠性质得到∠DEC的表达式；再根据∠ADC'=y推导得出∠CDE的表达式，最后代入△CDE的内角和公式，化简即可得到∠C与x、y的数量关系。
【解析】
(1) 由折叠的性质可得：$∠ C=∠ DC'C$，
∵$∠ ADC'$是$△ DCC'$的外角，
∴$∠ ADC' = ∠ C + ∠ DC'C = 2∠ C$，
已知$∠ ADC'=58°$，代入得：$58°=2∠ C$，解得$∠ C=29°$，
数量关系为$∠ ADC'=2∠ C$。
(2) 由折叠的性质得：$∠ CDE = ∠ C'DE$，$∠ DEC=∠ DEC'$，
设$∠ CDE = ∠ C'DE = α$，$∠ DEC = ∠ DEC'=β$，
∵$∠ ADC'=20°$，且$∠ ADC'+∠ CDE+∠ C'DE=180°$（平角定义），
∴$20°+2α=180°$，解得$α=80°$，
∵$∠ BEC'=42°$，且$∠ BEC'+∠ DEC+∠ DEC'=180°$（平角定义），
∴$42°+2β=180°$，解得$β=69°$，
在$△ CDE$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ C=180°-α-β=180°-80°-69°=31°$。
(3) 已知$∠ BEC'=x$，由平角定义得$∠ CEC'=180°-x$，
由折叠的性质得：$∠ DEC = ∠ DEC' = \frac{1}{2}∠ CEC' = \frac{1}{2}(180°-x)=90°-\frac{1}{2}x$，
已知$∠ ADC'=y$，可得$∠ CDE + ∠ C'DE=180°+y$，
由折叠的性质得$∠ CDE=∠ C'DE$，
∴$∠ CDE=\frac{1}{2}(180°+y)=90°+\frac{1}{2}y$，
在$△ CDE$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ C = 180°-∠ CDE-∠ DEC=180°-(90°+\frac{1}{2}y)-(90°-\frac{1}{2}x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y$，
即$∠ C=\frac{1}{2}(x-y)$（或写为$2∠ C=x-y$）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{29}$；$\boldsymbol{∠ADC'=2∠C}$
(2) $\boldsymbol{31}$
(3) $\boldsymbol{∠C=\frac{1}{2}(x-y)}$（或$2∠C=x-y$）
【知识点】
折叠的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕折叠变换中的角度关系展开考查，由特殊到一般设置问题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角定义、三角形内角和与外角性质建立角度间的等量关系，能有效锻炼角度推导和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先抓住折叠的核心性质：折叠前后对应角相等，再结合三角形的外角性质、内角和定理、平角的定义逐步推导。
(1) 折叠后∠C=∠DC'C，观察∠ADC'是△DCC'的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，可得∠ADC'=∠C+∠DC'C=2∠C，代入已知角度即可求出∠C，同时得到二者数量关系。
(2) 折叠后∠CDE=∠C'DE，∠DEC=∠DEC'，结合平角为180°，分别用已知的∠ADC'、∠BEC'求出∠CDE和∠DEC的度数，再利用△CDE的内角和为180°即可算出∠C。
(3) 与第二问思路类似，先根据平角定义用x表示出∠CEC'，再由折叠性质得到∠DEC的表达式；再根据∠ADC'=y推导得出∠CDE的表达式，最后代入△CDE的内角和公式，化简即可得到∠C与x、y的数量关系。
【解析】
(1) 由折叠的性质可得：$∠ C=∠ DC'C$，
∵$∠ ADC'$是$△ DCC'$的外角，
∴$∠ ADC' = ∠ C + ∠ DC'C = 2∠ C$，
已知$∠ ADC'=58°$，代入得：$58°=2∠ C$，解得$∠ C=29°$，
数量关系为$∠ ADC'=2∠ C$。
(2) 由折叠的性质得：$∠ CDE = ∠ C'DE$，$∠ DEC=∠ DEC'$，
设$∠ CDE = ∠ C'DE = α$，$∠ DEC = ∠ DEC'=β$，
∵$∠ ADC'=20°$，且$∠ ADC'+∠ CDE+∠ C'DE=180°$（平角定义），
∴$20°+2α=180°$，解得$α=80°$，
∵$∠ BEC'=42°$，且$∠ BEC'+∠ DEC+∠ DEC'=180°$（平角定义），
∴$42°+2β=180°$，解得$β=69°$，
在$△ CDE$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ C=180°-α-β=180°-80°-69°=31°$。
(3) 已知$∠ BEC'=x$，由平角定义得$∠ CEC'=180°-x$，
由折叠的性质得：$∠ DEC = ∠ DEC' = \frac{1}{2}∠ CEC' = \frac{1}{2}(180°-x)=90°-\frac{1}{2}x$，
已知$∠ ADC'=y$，可得$∠ CDE + ∠ C'DE=180°+y$，
由折叠的性质得$∠ CDE=∠ C'DE$，
∴$∠ CDE=\frac{1}{2}(180°+y)=90°+\frac{1}{2}y$，
在$△ CDE$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ C = 180°-∠ CDE-∠ DEC=180°-(90°+\frac{1}{2}y)-(90°-\frac{1}{2}x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y$，
即$∠ C=\frac{1}{2}(x-y)$（或写为$2∠ C=x-y$）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{29}$；$\boldsymbol{∠ADC'=2∠C}$
(2) $\boldsymbol{31}$
(3) $\boldsymbol{∠C=\frac{1}{2}(x-y)}$（或$2∠C=x-y$）
【知识点】
折叠的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕折叠变换中的角度关系展开考查，由特殊到一般设置问题，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角定义、三角形内角和与外角性质建立角度间的等量关系，能有效锻炼角度推导和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
