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5.如图，已知$AB=AC$，$AD=AE$，欲证$△ ABD ≌ △ ACE$，需补充的条件是()
A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ D=∠ E$
C.$∠ 1=∠ 2$
D.$∠ CAD=∠ 2$
A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ D=∠ E$
C.$∠ 1=∠ 2$
D.$∠ CAD=∠ 2$
答案
C
解析
【分析】
首先明确已知条件：△ABD和△ACE中，已有两组对应边相等：AB=AC，AD=AE。根据全等三角形的判定定理，两边对应相等时，可通过补充第三边相等（SSS）或补充两边的夹角相等（SAS）证明全等。观察两个三角形的夹角：△ABD中AB与AD的夹角是∠BAD，△ACE中AC与AE的夹角是∠CAE；∠BAD=∠1+∠CAD，∠CAE=∠2+∠CAD，两个角有公共部分∠CAD，因此只要∠1=∠2，即可推出两个夹角相等，满足SAS判定条件。再逐一验证其余选项是否符合判定规则即可。
【解析】
已知AB=AC，AD=AE，要证明△ABD≌△ACE，分析各选项：
1. 选项A：补充∠B=∠C，此时为两边及其中一边的对角相等（SSA），不属于全等三角形的判定定理，无法证明全等，排除；
2. 选项B：补充∠D=∠E，同样属于SSA，不符合全等判定规则，无法证明全等，排除；
3. 选项C：补充∠1=∠2，根据等式的性质，∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC（已知）\\∠BAD=∠CAE（已证）\\AD=AE（已知）\end{array} $
满足SAS判定定理，可证△ABD≌△ACE，符合要求；
4. 选项D：补充∠CAD=∠2，无法推出两边的夹角相等，也无法得到第三边对应相等，不能证明全等，排除。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的SAS判定；角的和差性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，尤其要注意“SSA”不能作为三角形全等的判定依据，避免错选。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件：△ABD和△ACE中，已有两组对应边相等：AB=AC，AD=AE。根据全等三角形的判定定理，两边对应相等时，可通过补充第三边相等（SSS）或补充两边的夹角相等（SAS）证明全等。观察两个三角形的夹角：△ABD中AB与AD的夹角是∠BAD，△ACE中AC与AE的夹角是∠CAE；∠BAD=∠1+∠CAD，∠CAE=∠2+∠CAD，两个角有公共部分∠CAD，因此只要∠1=∠2，即可推出两个夹角相等，满足SAS判定条件。再逐一验证其余选项是否符合判定规则即可。
【解析】
已知AB=AC，AD=AE，要证明△ABD≌△ACE，分析各选项：
1. 选项A：补充∠B=∠C，此时为两边及其中一边的对角相等（SSA），不属于全等三角形的判定定理，无法证明全等，排除；
2. 选项B：补充∠D=∠E，同样属于SSA，不符合全等判定规则，无法证明全等，排除；
3. 选项C：补充∠1=∠2，根据等式的性质，∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC（已知）\\∠BAD=∠CAE（已证）\\AD=AE（已知）\end{array} $
满足SAS判定定理，可证△ABD≌△ACE，符合要求；
4. 选项D：补充∠CAD=∠2，无法推出两边的夹角相等，也无法得到第三边对应相等，不能证明全等，排除。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的SAS判定；角的和差性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，尤其要注意“SSA”不能作为三角形全等的判定依据，避免错选。
【难度系数】
0.7
6.如图，AB=6 cm，AC=4 cm，BC=5 cm，AE=AC，AD是△ABC的角平分线，则△BED的周长为()
A.7 cm
B.8 cm
C.6 cm
D.9 cm
A.7 cm
B.8 cm
C.6 cm
D.9 cm
答案
A
解析
【分析】
要求△BED的周长，即求BE+ED+BD的和，而已知AB、AC、BC的长度，结合AD是角平分线、AE=AC的条件，可先证明△AED与△ACD全等，得到ED=CD，将周长中的ED替换为CD，把BD+CD转化为BC，再结合BE=AB-AE=AB-AC，即可通过已知线段长度求出周长。
【解析】
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD。
在△AED和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AE=AC(\mathrm{已知})\\∠EAD=∠CAD(\mathrm{角平分线的定义})\\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD（全等三角形的对应边相等）。
∵AE=AC=4cm，
∴BE=AB-AE=6-4=2cm，
∴△BED的周长=BE+ED+BD=BE+CD+BD=BE+(BD+CD)=BE+BC=2+5=7cm。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，解题核心是通过证明全等实现线段的等量代换，将未知的周长转化为已知线段的和差，掌握全等三角形的判定和性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要求△BED的周长，即求BE+ED+BD的和，而已知AB、AC、BC的长度，结合AD是角平分线、AE=AC的条件，可先证明△AED与△ACD全等，得到ED=CD，将周长中的ED替换为CD，把BD+CD转化为BC，再结合BE=AB-AE=AB-AC，即可通过已知线段长度求出周长。
【解析】
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD。
在△AED和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AE=AC(\mathrm{已知})\\∠EAD=∠CAD(\mathrm{角平分线的定义})\\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD（全等三角形的对应边相等）。
∵AE=AC=4cm，
∴BE=AB-AE=6-4=2cm，
∴△BED的周长=BE+ED+BD=BE+CD+BD=BE+(BD+CD)=BE+BC=2+5=7cm。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，解题核心是通过证明全等实现线段的等量代换，将未知的周长转化为已知线段的和差，掌握全等三角形的判定和性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
7.如图，$OA=OC$，$OB=OD$，且$OA⊥OB$，$OC⊥OD$，有下列结论：①$△ AOD ≌ △ COB$；②$CD=AB$；③$∠ CDA = ∠ ABC$.其中正确的结论是()
A.①②
B.①②③
C.①③
D.②③
A.①②
B.①②③
C.①③
D.②③
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据OA⊥OB、OC⊥OD可得两个直角相等，再结合已知的等边条件，依次判断三个结论：
1. 要证△AOD≌△COB，先推导两个三角形的夹角相等，结合两组等边用SAS判定全等即可验证①；
2. 要证CD=AB，可先证CD、AB所在的△COD和△AOB全等，利用SAS判定后根据全等对应边相等验证②；
3. 要证∠CDA=∠ABC，结合前两步全等得到的对应角相等，通过角的和差运算即可验证③。
【解析】
解：
∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB=∠COD=90°。
1. 验证结论①：
∠AOB + ∠AOC = ∠COD + ∠AOC，即∠COB=∠AOD。
在△AOD和△COB中：
$\{\begin{array}{l}OA=OC(\mathrm{已知})\\∠AOD=∠COB(\mathrm{已证})\\OD=OB(\mathrm{已知})\end{array} $
∴△AOD≌△COB（SAS），故①正确。
2. 验证结论②：
在△COD和△AOB中：
$\{\begin{array}{l}OC=OA(\mathrm{已知})\\∠COD=∠AOB=90°(\mathrm{已证})\\OD=OB(\mathrm{已知})\end{array} $
∴△COD≌△AOB（SAS），
∴CD=AB（全等三角形对应边相等），故②正确。
3. 验证结论③：
由△AOD≌△COB，得∠ADO=∠CBO（全等三角形对应角相等）；
由△COD≌△AOB，得∠CDO=∠ABO（全等三角形对应角相等）；
∴∠CDO - ∠ADO = ∠ABO - ∠CBO，即∠CDA=∠ABC，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；垂直的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，核心是利用SAS判定三角形全等，再借助全等的性质推导边、角的等量关系，解题时要注意观察公共角、等角加减等隐含的角相等关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先根据OA⊥OB、OC⊥OD可得两个直角相等，再结合已知的等边条件，依次判断三个结论：
1. 要证△AOD≌△COB，先推导两个三角形的夹角相等，结合两组等边用SAS判定全等即可验证①；
2. 要证CD=AB，可先证CD、AB所在的△COD和△AOB全等，利用SAS判定后根据全等对应边相等验证②；
3. 要证∠CDA=∠ABC，结合前两步全等得到的对应角相等，通过角的和差运算即可验证③。
【解析】
解：
∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB=∠COD=90°。
1. 验证结论①：
∠AOB + ∠AOC = ∠COD + ∠AOC，即∠COB=∠AOD。
在△AOD和△COB中：
$\{\begin{array}{l}OA=OC(\mathrm{已知})\\∠AOD=∠COB(\mathrm{已证})\\OD=OB(\mathrm{已知})\end{array} $
∴△AOD≌△COB（SAS），故①正确。
2. 验证结论②：
在△COD和△AOB中：
$\{\begin{array}{l}OC=OA(\mathrm{已知})\\∠COD=∠AOB=90°(\mathrm{已证})\\OD=OB(\mathrm{已知})\end{array} $
∴△COD≌△AOB（SAS），
∴CD=AB（全等三角形对应边相等），故②正确。
3. 验证结论③：
由△AOD≌△COB，得∠ADO=∠CBO（全等三角形对应角相等）；
由△COD≌△AOB，得∠CDO=∠ABO（全等三角形对应角相等）；
∴∠CDO - ∠ADO = ∠ABO - ∠CBO，即∠CDA=∠ABC，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；垂直的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，核心是利用SAS判定三角形全等，再借助全等的性质推导边、角的等量关系，解题时要注意观察公共角、等角加减等隐含的角相等关系。
【难度系数】
0.7
8.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D. 
第8题图
第8题图答案
证明：
∵ BE=CF，
∴ BE + EF = CF + EF，
即 BF = CE。
在△ABF和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}AB = DC,\\∠ B = ∠ C,\\BF = CE,\end{array} $
∴ △ABF ≌ △DCE（SAS），
∴ ∠A = ∠D。
∵ BE=CF，
∴ BE + EF = CF + EF，
即 BF = CE。
在△ABF和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}AB = DC,\\∠ B = ∠ C,\\BF = CE,\end{array} $
∴ △ABF ≌ △DCE（SAS），
∴ ∠A = ∠D。
解析
【分析】
要证明∠A=∠D，可通过证明两角所在的三角形全等实现。首先观察图形，∠A在△ABF中，∠D在△DCE中，已知BE=CF，可先利用等式的性质，两边同时加EF得到BF=CE，再结合已知的AB=DC、∠B=∠C，就能用SAS判定△ABF和△DCE全等，最后根据全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：
∵ BE=CF，
∴ BE + EF = CF + EF，
即 BF = CE。
在△ABF和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}AB = DC,\\∠ B = ∠ C,\\BF = CE,\end{array} $
∴ △ABF ≌ △DCE（SAS），
∴ ∠A = ∠D。
【答案】
证明过程如上，可证得∠A=∠D。
【知识点】
等式的性质、SAS全等判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是先根据已知线段相等推导全等所需的对应边相等，再结合边角边判定定理证明三角形全等，进而得到对应角相等，侧重对基础定理应用能力的考察。
【难度系数】
0.85
要证明∠A=∠D，可通过证明两角所在的三角形全等实现。首先观察图形，∠A在△ABF中，∠D在△DCE中，已知BE=CF，可先利用等式的性质，两边同时加EF得到BF=CE，再结合已知的AB=DC、∠B=∠C，就能用SAS判定△ABF和△DCE全等，最后根据全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：
∵ BE=CF，
∴ BE + EF = CF + EF，
即 BF = CE。
在△ABF和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}AB = DC,\\∠ B = ∠ C,\\BF = CE,\end{array} $
∴ △ABF ≌ △DCE（SAS），
∴ ∠A = ∠D。
【答案】
证明过程如上，可证得∠A=∠D。
【知识点】
等式的性质、SAS全等判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是先根据已知线段相等推导全等所需的对应边相等，再结合边角边判定定理证明三角形全等，进而得到对应角相等，侧重对基础定理应用能力的考察。
【难度系数】
0.85
9. 如图,在△ABC 和△DBE 中,AC = DE,∠ACB=∠DEB,BC=BE.若EF⊥BC于点F,∠BEF=60°,求∠ABD 的度数.
答案
解：
∵ $EF ⊥ BC$，
∴ $∠ EFB = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ BEF = 60°$，
∴ $∠ EBF = 90° - 60° = 30°$。
在$△ ABC$和$△ DBE$中，
$\begin{cases}AC = DE \\∠ ACB = ∠ DEB \\BC = BE\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DBE$（SAS），
∴ $∠ ABC = ∠ DBE$，
∴ $∠ ABC - ∠ ABE = ∠ DBE - ∠ ABE$，
即 $∠ ABD = ∠ EBF = 30°$。
答：$∠ ABD$的度数为$30°$。
∵ $EF ⊥ BC$，
∴ $∠ EFB = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ BEF = 60°$，
∴ $∠ EBF = 90° - 60° = 30°$。
在$△ ABC$和$△ DBE$中，
$\begin{cases}AC = DE \\∠ ACB = ∠ DEB \\BC = BE\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DBE$（SAS），
∴ $∠ ABC = ∠ DBE$，
∴ $∠ ABC - ∠ ABE = ∠ DBE - ∠ ABE$，
即 $∠ ABD = ∠ EBF = 30°$。
答：$∠ ABD$的度数为$30°$。
解析
【分析】
解题时首先从已知的EF⊥BC和∠BEF=60°入手，利用直角三角形两个锐角互余先求出∠EBF的度数；再观察给出的△ABC和△DBE的边、角条件，刚好满足两边及其夹角对应相等，可通过SAS判定两个三角形全等，得到对应角∠ABC=∠DBE；最后将这两个相等的角同时减去公共角∠ABE，即可推出∠ABD与∠EBF相等，得到所求角度数。
【解析】
∵ $EF ⊥ BC$，
∴ $∠ EFB = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ BEF = 60°$，
∴ $∠ EBF = 90° - 60° = 30°$。
在$△ ABC$和$△ DBE$中，
$\begin{cases}AC = DE \\∠ ACB = ∠ DEB \\BC = BE\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DBE$（SAS），
∴ $∠ ABC = ∠ DBE$，
∴ $∠ ABC - ∠ ABE = ∠ DBE - ∠ ABE$，
即 $∠ ABD = ∠ EBF = 30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；SAS判定全等；全等三角形对应角相等
【点评】
本题属于基础几何综合题，综合考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是先证明三角形全等，再通过角的和差关系完成角度的转化，熟练掌握全等判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的EF⊥BC和∠BEF=60°入手，利用直角三角形两个锐角互余先求出∠EBF的度数；再观察给出的△ABC和△DBE的边、角条件，刚好满足两边及其夹角对应相等，可通过SAS判定两个三角形全等，得到对应角∠ABC=∠DBE；最后将这两个相等的角同时减去公共角∠ABE，即可推出∠ABD与∠EBF相等，得到所求角度数。
【解析】
∵ $EF ⊥ BC$，
∴ $∠ EFB = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ BEF = 60°$，
∴ $∠ EBF = 90° - 60° = 30°$。
在$△ ABC$和$△ DBE$中，
$\begin{cases}AC = DE \\∠ ACB = ∠ DEB \\BC = BE\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DBE$（SAS），
∴ $∠ ABC = ∠ DBE$，
∴ $∠ ABC - ∠ ABE = ∠ DBE - ∠ ABE$，
即 $∠ ABD = ∠ EBF = 30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；SAS判定全等；全等三角形对应角相等
【点评】
本题属于基础几何综合题，综合考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是先证明三角形全等，再通过角的和差关系完成角度的转化，熟练掌握全等判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
10.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°$,$∠ C=20°$.过点$A$作$AE⊥ BC$,垂足为$E$,延长$EA$至点$D$,使$AD=AC$.在边$AC$上截取$AF=AB$,连接$DF$.求证:$DF=CB$.
答案
证明：
在$△ ABC$中，
$\because ∠ B=50°$，$∠ C=20°$，
$\therefore ∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 110°$。
$\because AE⊥ BC$，
$\therefore ∠ AEC=90°$，
$\therefore ∠ EAC = 90° - ∠ C = 70°$。
$\because$ 点$D$在$EA$的延长线上，
$\therefore ∠ DAF + ∠ EAC = 180°$，
$\therefore ∠ DAF = 180° - 70° = 110°$，
$\therefore ∠ DAF = ∠ BAC$。
在$△ DAF$和$△ CAB$中，
$\begin{cases}AD = AC \\∠ DAF = ∠ CAB \\AF = AB\end{cases}$
$\therefore △ DAF ≌ △ CAB \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF = CB$。
在$△ ABC$中，
$\because ∠ B=50°$，$∠ C=20°$，
$\therefore ∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 110°$。
$\because AE⊥ BC$，
$\therefore ∠ AEC=90°$，
$\therefore ∠ EAC = 90° - ∠ C = 70°$。
$\because$ 点$D$在$EA$的延长线上，
$\therefore ∠ DAF + ∠ EAC = 180°$，
$\therefore ∠ DAF = 180° - 70° = 110°$，
$\therefore ∠ DAF = ∠ BAC$。
在$△ DAF$和$△ CAB$中，
$\begin{cases}AD = AC \\∠ DAF = ∠ CAB \\AF = AB\end{cases}$
$\therefore △ DAF ≌ △ CAB \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF = CB$。
解析
【分析】
要证明两条线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。本题中$DF$和$CB$分别在$△ DAF$和$△ CAB$中，已知$AD=AC$、$AF=AB$，因此只需证明两组边的夹角$∠ DAF=∠ CAB$即可。首先利用三角形内角和求出$△ ABC$中$∠ BAC$的度数，再结合$AE⊥ BC$的条件求出$∠ EAC$的度数，最后根据平角的性质求出$∠ DAF$的度数，验证两个夹角相等后，即可通过SAS判定$△ DAF≌△ CAB$，从而得到$DF=CB$。
【解析】
在$△ ABC$中，
$\because ∠ B=50°$，$∠ C=20°$，
$\therefore ∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 110°$。
$\because AE⊥ BC$，
$\therefore ∠ AEC=90°$，
$\therefore ∠ EAC = 90° - ∠ C = 70°$。
$\because$ 点$D$在$EA$的延长线上，
$\therefore ∠ DAF + ∠ EAC = 180°$，
$\therefore ∠ DAF = 180° - 70° = 110°$，
$\therefore ∠ DAF = ∠ BAC$。
在$△ DAF$和$△ CAB$中，
$\begin{cases}AD = AC \\∠ DAF = ∠ CAB \\AF = AB\end{cases}$
$\therefore △ DAF ≌ △ CAB \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF = CB$。
【答案】
$DF=CB$
【知识点】
三角形内角和，全等三角形SAS判定，邻补角性质
【点评】
本题是三角形全等判定的基础应用题，解题核心是通过角度计算得到全等所需的对应角相等条件，结合已知的边相等条件判定三角形全等，进而得到对应边相等的结论，能帮助学生巩固三角形全等判定的应用思路。
【难度系数】
0.7
要证明两条线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。本题中$DF$和$CB$分别在$△ DAF$和$△ CAB$中，已知$AD=AC$、$AF=AB$，因此只需证明两组边的夹角$∠ DAF=∠ CAB$即可。首先利用三角形内角和求出$△ ABC$中$∠ BAC$的度数，再结合$AE⊥ BC$的条件求出$∠ EAC$的度数，最后根据平角的性质求出$∠ DAF$的度数，验证两个夹角相等后，即可通过SAS判定$△ DAF≌△ CAB$，从而得到$DF=CB$。
【解析】
在$△ ABC$中，
$\because ∠ B=50°$，$∠ C=20°$，
$\therefore ∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 110°$。
$\because AE⊥ BC$，
$\therefore ∠ AEC=90°$，
$\therefore ∠ EAC = 90° - ∠ C = 70°$。
$\because$ 点$D$在$EA$的延长线上，
$\therefore ∠ DAF + ∠ EAC = 180°$，
$\therefore ∠ DAF = 180° - 70° = 110°$，
$\therefore ∠ DAF = ∠ BAC$。
在$△ DAF$和$△ CAB$中，
$\begin{cases}AD = AC \\∠ DAF = ∠ CAB \\AF = AB\end{cases}$
$\therefore △ DAF ≌ △ CAB \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF = CB$。
【答案】
$DF=CB$
【知识点】
三角形内角和，全等三角形SAS判定，邻补角性质
【点评】
本题是三角形全等判定的基础应用题，解题核心是通过角度计算得到全等所需的对应角相等条件，结合已知的边相等条件判定三角形全等，进而得到对应边相等的结论，能帮助学生巩固三角形全等判定的应用思路。
【难度系数】
0.7
