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7.已知$a＞b＞0＞c$，则$a×b×c$
＜
（填“＞”“＜”或“=”）0。答案
7.＜
解析
【分析】解题时首先回忆有理数乘法的符号判断规则：多个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正。第一步先判断各乘数的符号：由a＞b＞0可知a、b都是正数，由0＞c可知c是负数；第二步数负因数的总个数：仅c是负数，共1个，为奇数，因此三个数的乘积为负数，小于0。
【解析】解：
∵a＞b＞0，
∴a、b均为正数，可得a×b＞0，
又
∵c＜0，即c为负数，
根据有理数乘法法则：正数与负数相乘，积为负数，
因此a×b×c＜0。
【答案】＜
【知识点】有理数乘法符号法则、正负数的判定
【点评】本题属于有理数乘法的基础题，核心考查乘法符号规律的应用，只要能准确判断各乘数的正负，就能快速得出结果，出错概率较低。
【难度系数】0.9
【解析】解：
∵a＞b＞0，
∴a、b均为正数，可得a×b＞0，
又
∵c＜0，即c为负数，
根据有理数乘法法则：正数与负数相乘，积为负数，
因此a×b×c＜0。
【答案】＜
【知识点】有理数乘法符号法则、正负数的判定
【点评】本题属于有理数乘法的基础题，核心考查乘法符号规律的应用，只要能准确判断各乘数的正负，就能快速得出结果，出错概率较低。
【难度系数】0.9
8. 用简便方法计算：
(1) $-4 × 8 × (-2.5) × 0.1 × (-1.25)$。
(2) $(-\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{5}{4}) × (-24)$。
(3) $(-5) × 7\frac{1}{3} + 7 × (-7\frac{1}{3}) - 12 × (-7\frac{1}{3})$。
(1) $-4 × 8 × (-2.5) × 0.1 × (-1.25)$。
(2) $(-\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{5}{4}) × (-24)$。
(3) $(-5) × 7\frac{1}{3} + 7 × (-7\frac{1}{3}) - 12 × (-7\frac{1}{3})$。
答案
(1)-10。(2)26。(3)0。
解析
【分析】
这三道题均为有理数乘法的简便运算题，解题核心是灵活运用乘法运算律简化计算：
(1) 观察算式中的数字，-4与-2.5相乘得整十数，8与-1.25相乘得整十数，可利用乘法交换律和结合律，先将能凑整的数分组相乘，再计算最终结果，计算时注意负号的个数判断结果符号。
(2) 算式为几个分数的和乘-24，各分数分母均为24的因数，直接运用乘法分配律，将-24分别乘括号内的每一项，再将所得积相加，可避免通分计算。
(3) 三个乘法项中均含有相同因数$7\frac{1}{3}$，可逆用乘法分配律，先提取相同的公因数，再计算剩余数的和，最后乘公因数即可简化计算。
【解析】
(1) $\begin{aligned} \mathrm{原式}&=[(-4)×(-2.5)]×[8×(-1.25)]×0.1 \\&=10×(-10)×0.1 \\&=-100×0.1 \\&=-10\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-\frac{1}{2})×(-24) + \frac{2}{3}×(-24) + (-\frac{5}{4})×(-24) \\&=12 - 16 + 30 \\&=26\end{aligned}$
(3) $\begin{aligned}\mathrm{原式}&=7\frac{1}{3}×(-5) + 7\frac{1}{3}×(-7) + 7\frac{1}{3}×12 \\&=7\frac{1}{3}×[(-5)+(-7)+12] \\&=7\frac{1}{3}×0 \\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；(2) $\boldsymbol{26}$；(3) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
乘法交换律与结合律，乘法分配律，有理数乘法运算
【点评】
本题重点考查有理数乘法运算律的灵活应用，通过凑整、运用分配律可规避复杂的通分与乘法计算，是有理数运算的基础题型，熟练掌握运算律的适用场景能有效提升计算的效率与正确率。
【难度系数】
0.7
这三道题均为有理数乘法的简便运算题，解题核心是灵活运用乘法运算律简化计算：
(1) 观察算式中的数字，-4与-2.5相乘得整十数，8与-1.25相乘得整十数，可利用乘法交换律和结合律，先将能凑整的数分组相乘，再计算最终结果，计算时注意负号的个数判断结果符号。
(2) 算式为几个分数的和乘-24，各分数分母均为24的因数，直接运用乘法分配律，将-24分别乘括号内的每一项，再将所得积相加，可避免通分计算。
(3) 三个乘法项中均含有相同因数$7\frac{1}{3}$，可逆用乘法分配律，先提取相同的公因数，再计算剩余数的和，最后乘公因数即可简化计算。
【解析】
(1) $\begin{aligned} \mathrm{原式}&=[(-4)×(-2.5)]×[8×(-1.25)]×0.1 \\&=10×(-10)×0.1 \\&=-100×0.1 \\&=-10\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-\frac{1}{2})×(-24) + \frac{2}{3}×(-24) + (-\frac{5}{4})×(-24) \\&=12 - 16 + 30 \\&=26\end{aligned}$
(3) $\begin{aligned}\mathrm{原式}&=7\frac{1}{3}×(-5) + 7\frac{1}{3}×(-7) + 7\frac{1}{3}×12 \\&=7\frac{1}{3}×[(-5)+(-7)+12] \\&=7\frac{1}{3}×0 \\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；(2) $\boldsymbol{26}$；(3) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
乘法交换律与结合律，乘法分配律，有理数乘法运算
【点评】
本题重点考查有理数乘法运算律的灵活应用，通过凑整、运用分配律可规避复杂的通分与乘法计算，是有理数运算的基础题型，熟练掌握运算律的适用场景能有效提升计算的效率与正确率。
【难度系数】
0.7
9. 县城A收到一笔来自B市的60万元捐款。其中，捐款的$\frac{1}{3}$来自甲公司，$\frac{1}{4}$来自乙公司，$\frac{1}{5}$来自丙公司，$\frac{1}{6}$来自丁公司，其余来自募捐活动。问：来自募捐活动的捐款额是多少？
答案
3万元。
解析
【分析】
解题时我们可以把总捐款额看作单位“1”，首先求出募捐活动的捐款占总捐款的分率，再用总捐款额乘这个分率就能得到募捐的金额；也可以运用乘法分配律，直接用总捐款额分别乘各公司的捐款占比算出各公司捐款额，再用总金额减去四家公司捐款总和得到结果，第二种方法利用整数乘分数的特性可以简化计算，更不容易出错。
【解析】
我们可以运用有理数乘法分配律简化计算：
募捐活动捐款额 = 总捐款额 - 四家公司捐款额之和，列算式如下：
$\begin{split}&60 - 60×\frac{1}{3} - 60×\frac{1}{4} - 60×\frac{1}{5} - 60×\frac{1}{6}\\=&60 - 20 - 15 - 12 - 10\\=&3\end{split}$
单位为万元。
也可先计算募捐部分占总捐款的分率再求金额：
$\begin{split}&1 - (\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})\\=&1 - \frac{57}{60}\\=&\frac{1}{20}\end{split}$
募捐金额为$60×\frac{1}{20}=3$（万元）。
【答案】
3万元
【知识点】
有理数乘法分配律；分数加减运算；单位“1”应用
【点评】
本题是分数运算的基础应用题型，解题时可灵活选择计算方法，合理运用乘法分配律能有效简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以把总捐款额看作单位“1”，首先求出募捐活动的捐款占总捐款的分率，再用总捐款额乘这个分率就能得到募捐的金额；也可以运用乘法分配律，直接用总捐款额分别乘各公司的捐款占比算出各公司捐款额，再用总金额减去四家公司捐款总和得到结果，第二种方法利用整数乘分数的特性可以简化计算，更不容易出错。
【解析】
我们可以运用有理数乘法分配律简化计算：
募捐活动捐款额 = 总捐款额 - 四家公司捐款额之和，列算式如下：
$\begin{split}&60 - 60×\frac{1}{3} - 60×\frac{1}{4} - 60×\frac{1}{5} - 60×\frac{1}{6}\\=&60 - 20 - 15 - 12 - 10\\=&3\end{split}$
单位为万元。
也可先计算募捐部分占总捐款的分率再求金额：
$\begin{split}&1 - (\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})\\=&1 - \frac{57}{60}\\=&\frac{1}{20}\end{split}$
募捐金额为$60×\frac{1}{20}=3$（万元）。
【答案】
3万元
【知识点】
有理数乘法分配律；分数加减运算；单位“1”应用
【点评】
本题是分数运算的基础应用题型，解题时可灵活选择计算方法，合理运用乘法分配律能有效简化计算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
10. 已知三个有理数$ m,n,p $满足$ m+n=0 $，$ n＜m $，$ m × n × p ＜ 0 $，则$ m × n + n × p $一定是（
A.负数
B.零
C.正数
D.非负数
A
）A.负数
B.零
C.正数
D.非负数
答案
10.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件逐个推导：首先由m+n=0可得m、n互为相反数，再结合n＜m可判断出m、n的正负性；接着根据m×n×p＜0和已得的mn的符号，推出p的正负性；最后分别判断mn和np的符号，再根据有理数加法法则判断mn+np的符号即可得出答案。
【解析】
解：① 因为m+n=0，所以m和n互为相反数，即n=-m；
② 又因为n＜m，所以m＞0，n＜0；
③ 由此可得m×n = 正数×负数 ＜ 0；
④ 已知m×n×p ＜ 0，结合mn＜0，根据有理数乘法法则：负×正=负，可得p＞0；
⑤ 因为n＜0，p＞0，所以n×p = 负数×正数 ＜ 0；
⑥ mn和np均为负数，根据有理数加法法则：两个负数相加，和仍为负数，因此m×n + n×p一定是负数。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质，有理数乘法法则，有理数加法法则
【点评】
本题重点考查有理数运算相关性质的灵活运用，解题的核心是通过已知条件逐步确定各字母的符号，进而判断所求代数式的符号，是有理数运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件逐个推导：首先由m+n=0可得m、n互为相反数，再结合n＜m可判断出m、n的正负性；接着根据m×n×p＜0和已得的mn的符号，推出p的正负性；最后分别判断mn和np的符号，再根据有理数加法法则判断mn+np的符号即可得出答案。
【解析】
解：① 因为m+n=0，所以m和n互为相反数，即n=-m；
② 又因为n＜m，所以m＞0，n＜0；
③ 由此可得m×n = 正数×负数 ＜ 0；
④ 已知m×n×p ＜ 0，结合mn＜0，根据有理数乘法法则：负×正=负，可得p＞0；
⑤ 因为n＜0，p＞0，所以n×p = 负数×正数 ＜ 0；
⑥ mn和np均为负数，根据有理数加法法则：两个负数相加，和仍为负数，因此m×n + n×p一定是负数。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质，有理数乘法法则，有理数加法法则
【点评】
本题重点考查有理数运算相关性质的灵活运用，解题的核心是通过已知条件逐步确定各字母的符号，进而判断所求代数式的符号，是有理数运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
11. 若 12 345 679 × 9 = 111 111 111 且
12 345 679 × a = 888 888 888,则a的
值为
12 345 679 × a = 888 888 888,则a的
值为
72
。答案
11.72
解析
【分析】
解题时先观察已知等式与待求等式的共性：两个等式中第一个因数都是12345679，已知等式的积是111111111，待求等式的积是888888888，可发现888888888是111111111的8倍。根据乘法的规律：一个因数不变时，积扩大为原来的几倍，另一个因数也扩大为原来的几倍，即可求出a的值；也可通过等量代换结合乘法运算律推导结果。
【解析】
已知$12345679 × 9 = 111111111$，
观察待求式的积可得：$888888888 = 8 × 111111111$，
将$111111111 = 12345679 × 9$代入上式，可得：
$888888888 = 8 × (12345679 × 9)$，
根据乘法结合律，整理得：
$888888888 = 12345679 × (9 × 8) = 12345679 × 72$，
对比$12345679 × a = 888888888$，可得$a = 72$。
【答案】
72
【知识点】
有理数乘法运算律；积的变化规律
【点评】
本题侧重考查对乘法运算规律的灵活运用，解题核心是快速找到已知积和待求积的倍数关系，通过规律推导即可得到答案，能有效避免大数直接计算的繁琐。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知等式与待求等式的共性：两个等式中第一个因数都是12345679，已知等式的积是111111111，待求等式的积是888888888，可发现888888888是111111111的8倍。根据乘法的规律：一个因数不变时，积扩大为原来的几倍，另一个因数也扩大为原来的几倍，即可求出a的值；也可通过等量代换结合乘法运算律推导结果。
【解析】
已知$12345679 × 9 = 111111111$，
观察待求式的积可得：$888888888 = 8 × 111111111$，
将$111111111 = 12345679 × 9$代入上式，可得：
$888888888 = 8 × (12345679 × 9)$，
根据乘法结合律，整理得：
$888888888 = 12345679 × (9 × 8) = 12345679 × 72$，
对比$12345679 × a = 888888888$，可得$a = 72$。
【答案】
72
【知识点】
有理数乘法运算律；积的变化规律
【点评】
本题侧重考查对乘法运算规律的灵活运用，解题核心是快速找到已知积和待求积的倍数关系，通过规律推导即可得到答案，能有效避免大数直接计算的繁琐。
【难度系数】
0.8
12.【阅读材料】利用运算律计算有时可以简便：
例1：$-2+5-6+17=-2-6+5+17=-8+22=14$；
例2：$99×99=99×(100-1)=9900-99=9801$。
【尝试解题】请你参考上面的讲解，用运算律简便计算：
(1) $-1\frac{1}{2}+2-3\frac{1}{2}$。
(2) $-4×\frac{2}{3}-6×\frac{2}{7}+\frac{1}{3}×(-4)-\frac{5}{7}×6$。
例1：$-2+5-6+17=-2-6+5+17=-8+22=14$；
例2：$99×99=99×(100-1)=9900-99=9801$。
【尝试解题】请你参考上面的讲解，用运算律简便计算：
(1) $-1\frac{1}{2}+2-3\frac{1}{2}$。
(2) $-4×\frac{2}{3}-6×\frac{2}{7}+\frac{1}{3}×(-4)-\frac{5}{7}×6$。
答案
(1)-3。(2)-10。
解析
【分析】
（1）观察算式发现两个带分数的分数部分相同，可利用加法交换律和结合律，先将两个带分数相加凑整，再计算剩余部分，简化计算步骤。
（2）观察算式中各项的因数，发现有两组分别含相同因数-4和6，可利用乘法分配律的逆运算，分别提取相同因数后先计算括号内的加法，再计算最终结果，避免分步通分计算的繁琐。
【解析】
(1) 利用加法交换律和结合律计算：
$\begin{aligned}原式&=(-1\frac{1}{2}-3\frac{1}{2})+2\\&=-5 + 2\\&=-3\end{aligned}$
(2) 分组后逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=[-4×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×(-4)]+(-6×\frac{2}{7}-\frac{5}{7}×6)\\&=-4×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-6×(\frac{2}{7}+\frac{5}{7})\\&=-4×1 -6×1\\&=-4-6\\&=-10\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{-10}$
【知识点】
加法运算律，乘法分配律，简便运算
【点评】
本题是有理数简便计算的典型题型，解题核心是先观察算式的结构特征，灵活运用运算律对算式进行合理变形、分组，大幅降低计算量，同时也能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）观察算式发现两个带分数的分数部分相同，可利用加法交换律和结合律，先将两个带分数相加凑整，再计算剩余部分，简化计算步骤。
（2）观察算式中各项的因数，发现有两组分别含相同因数-4和6，可利用乘法分配律的逆运算，分别提取相同因数后先计算括号内的加法，再计算最终结果，避免分步通分计算的繁琐。
【解析】
(1) 利用加法交换律和结合律计算：
$\begin{aligned}原式&=(-1\frac{1}{2}-3\frac{1}{2})+2\\&=-5 + 2\\&=-3\end{aligned}$
(2) 分组后逆用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=[-4×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×(-4)]+(-6×\frac{2}{7}-\frac{5}{7}×6)\\&=-4×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-6×(\frac{2}{7}+\frac{5}{7})\\&=-4×1 -6×1\\&=-4-6\\&=-10\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{-10}$
【知识点】
加法运算律，乘法分配律，简便运算
【点评】
本题是有理数简便计算的典型题型，解题核心是先观察算式的结构特征，灵活运用运算律对算式进行合理变形、分组，大幅降低计算量，同时也能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
