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8.将长为30 cm、宽为10 cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽是3 cm。设x张白纸黏合后的总长度是y cm。
(1)写出y与x之间的关系式，并判断y是不是x的一次函数；
(2)当x=20时，求y的值。
(1)写出y与x之间的关系式，并判断y是不是x的一次函数；
(2)当x=20时，求y的值。
答案
(1)$y=27x+3$,y是x的一次函数。(2)543
解析
【分析】
解决本题首先要明确黏合时重叠部分的规律：x张白纸黏合时，相邻两张会形成1个黏合处，总共有(x-1)个黏合处，每个黏合处重叠3cm，总长度会减少对应重叠的长度。第一问先计算x张纸不重叠的总长度，再减去重叠部分的总长度，就能得到y与x的关系式，再根据一次函数的定义判断即可；第二问直接将x=20代入第一问得到的关系式求值即可。
【解析】
(1) 每张白纸长30cm，x张白纸不黏合的总长度为30x cm；
x张白纸黏合时，共有(x-1)个黏合处，每个黏合处重叠3cm，因此重叠部分的总长度为3(x-1) cm；
因此黏合后的总长度：
$\begin{aligned}y&=30x - 3(x-1)\\&=30x -3x +3\\&=27x +3\end{aligned}$
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（k、b为常数，$k\ne0$）的函数是一次函数，此处$k=27\ne0$，$b=3$，符合一次函数的形式，因此y是x的一次函数。
(2) 当$x=20$时，代入$y=27x+3$得：
$y=27×20 +3=540+3=543$
【答案】
(1)$y=27x+3$，y是x的一次函数；(2)543
【知识点】
列一次函数关系式，一次函数的判定，一次函数求值
【点评】
本题是结合生活实际的一次函数应用问题，解题的关键是准确找到黏合时重叠部分的数量，避免多算或者少算重叠的长度，掌握一次函数的定义和代入求值的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确黏合时重叠部分的规律：x张白纸黏合时，相邻两张会形成1个黏合处，总共有(x-1)个黏合处，每个黏合处重叠3cm，总长度会减少对应重叠的长度。第一问先计算x张纸不重叠的总长度，再减去重叠部分的总长度，就能得到y与x的关系式，再根据一次函数的定义判断即可；第二问直接将x=20代入第一问得到的关系式求值即可。
【解析】
(1) 每张白纸长30cm，x张白纸不黏合的总长度为30x cm；
x张白纸黏合时，共有(x-1)个黏合处，每个黏合处重叠3cm，因此重叠部分的总长度为3(x-1) cm；
因此黏合后的总长度：
$\begin{aligned}y&=30x - 3(x-1)\\&=30x -3x +3\\&=27x +3\end{aligned}$
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（k、b为常数，$k\ne0$）的函数是一次函数，此处$k=27\ne0$，$b=3$，符合一次函数的形式，因此y是x的一次函数。
(2) 当$x=20$时，代入$y=27x+3$得：
$y=27×20 +3=540+3=543$
【答案】
(1)$y=27x+3$，y是x的一次函数；(2)543
【知识点】
列一次函数关系式，一次函数的判定，一次函数求值
【点评】
本题是结合生活实际的一次函数应用问题，解题的关键是准确找到黏合时重叠部分的数量，避免多算或者少算重叠的长度，掌握一次函数的定义和代入求值的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9. 如图，三角形是有规律地从里到外逐层排列的，设$y$为第$n$层三角形的个数，则下列关系式正确的是（
A.$y=4n-4$
B.$y=4n$
C.$y=4n+4$
D.$y=n^2$
B
）。A.$y=4n-4$
B.$y=4n$
C.$y=4n+4$
D.$y=n^2$
答案
B
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时先从最内层开始，分别数出第1层、第2层等的三角形个数，再将层数n和对应个数y代入各个选项，排除不符合的选项，即可得到正确的关系式。也可以观察每层个数的变化规律：每往外一层，三角形个数增加4个，是公差为4的等差数列，结合首项数值推导关系式。
【解析】
我们先逐层统计三角形个数：
1. 当n=1（最内层第1层）时，数得三角形个数y=4。
代入各选项验证：
A选项：$y=4×1-4=0$，与实际值不符，排除；
B选项：$y=4×1=4$，与实际值相符，暂时保留；
C选项：$y=4×1+4=8$，与实际值不符，排除；
D选项：$y=1^2=1$，与实际值不符，排除。
2. 再验证n=2的情况：第2层三角形个数y=8，代入B选项得$y=4×2=8$，符合实际；
3. 验证n=3的情况：第3层三角形个数y=12，代入B选项得$y=4×3=12$，同样符合实际。
因此正确的关系式为$y=4n$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；函数关系式判断
【点评】
本题考查从图形中提取规律的能力，采用特殊值代入排除法可以快速解题，数每层三角形个数时注意不要重复计数或者漏数。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题时先从最内层开始，分别数出第1层、第2层等的三角形个数，再将层数n和对应个数y代入各个选项，排除不符合的选项，即可得到正确的关系式。也可以观察每层个数的变化规律：每往外一层，三角形个数增加4个，是公差为4的等差数列，结合首项数值推导关系式。
【解析】
我们先逐层统计三角形个数：
1. 当n=1（最内层第1层）时，数得三角形个数y=4。
代入各选项验证：
A选项：$y=4×1-4=0$，与实际值不符，排除；
B选项：$y=4×1=4$，与实际值相符，暂时保留；
C选项：$y=4×1+4=8$，与实际值不符，排除；
D选项：$y=1^2=1$，与实际值不符，排除。
2. 再验证n=2的情况：第2层三角形个数y=8，代入B选项得$y=4×2=8$，符合实际；
3. 验证n=3的情况：第3层三角形个数y=12，代入B选项得$y=4×3=12$，同样符合实际。
因此正确的关系式为$y=4n$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；函数关系式判断
【点评】
本题考查从图形中提取规律的能力，采用特殊值代入排除法可以快速解题，数每层三角形个数时注意不要重复计数或者漏数。
【难度系数】
0.7
10. 若函数 $y=(m-2)x^{|m|-1}$ 是一次函数，则 $m=$
$-2$
。答案
$-2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一次函数的定义要求：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数，正比例函数也属于一次函数。据此可以得到两个限制条件：一是自变量$x$的次数必须为1，二是$x$的系数不能为0（若系数为0，函数就变成常数函数，不符合一次函数的要求）。接下来分别根据这两个条件列等式和不等式求解，再排除不符合要求的$m$值，就能得到最终结果。
【解析】
解：根据一次函数的定义，可得：
$\begin{cases}|m|-1=1 \quad \mathrm{①} \\m-2 ≠ 0 \quad \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解①式：$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
解②式：得$m ≠ 2$；
综上，排除$m=2$，可得$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一次函数的定义 2. 绝对值的性质 3. 不等式求解
【点评】
本题是一次函数概念的典型考察题，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，直接根据次数为1得出$m=\pm2$的错误结论，解题时要注意牢记函数定义中的隐含限制，避免漏判条件。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要明确一次函数的定义要求：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数，正比例函数也属于一次函数。据此可以得到两个限制条件：一是自变量$x$的次数必须为1，二是$x$的系数不能为0（若系数为0，函数就变成常数函数，不符合一次函数的要求）。接下来分别根据这两个条件列等式和不等式求解，再排除不符合要求的$m$值，就能得到最终结果。
【解析】
解：根据一次函数的定义，可得：
$\begin{cases}|m|-1=1 \quad \mathrm{①} \\m-2 ≠ 0 \quad \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解①式：$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
解②式：得$m ≠ 2$；
综上，排除$m=2$，可得$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一次函数的定义 2. 绝对值的性质 3. 不等式求解
【点评】
本题是一次函数概念的典型考察题，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，直接根据次数为1得出$m=\pm2$的错误结论，解题时要注意牢记函数定义中的隐含限制，避免漏判条件。
【难度系数】
0.6
11. 一个长方形的周长为24，设它的一条边长为x，那么它的面积y与x之间的关系式为
$y=x(12-x)$
，这个函数不是
（填“是”或“不是”）一次函数。答案
$y=x(12-x)$；不是
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据长方形周长公式，已知周长和一条边长，先求出长方形另一条邻边的长度；第二步，利用长方形面积公式，将两条边长相乘得到面积y与x的关系式；第三步，对照一次函数的定义，判断得到的函数是否属于一次函数。
【解析】
1. 求邻边长度：长方形周长公式为$C=2×(长+宽)$，已知周长$C=24$，一条边长为$x$，则两条邻边的和为$24÷2=12$，因此另一条边长为$12-x$。
2. 列面积关系式：长方形面积公式为$S=长×宽$，代入两条边长可得$y=x(12-x)$，整理后为$y=-x^2+12x$。
3. 判断函数类型：一次函数的定义是形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数，自变量的最高次数为1。本题得到的函数中自变量$x$的最高次数为2，不符合一次函数的定义，因此不是一次函数。
【答案】
$y=x(12-x)$；不是
【知识点】
1. 长方形周长与面积公式
2. 一次函数的定义
【点评】
本题结合几何图形性质考查函数关系式的列写，以及一次函数的判定，属于基础题，解题关键是熟练掌握常见几何公式和一次函数的特征。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：第一步，根据长方形周长公式，已知周长和一条边长，先求出长方形另一条邻边的长度；第二步，利用长方形面积公式，将两条边长相乘得到面积y与x的关系式；第三步，对照一次函数的定义，判断得到的函数是否属于一次函数。
【解析】
1. 求邻边长度：长方形周长公式为$C=2×(长+宽)$，已知周长$C=24$，一条边长为$x$，则两条邻边的和为$24÷2=12$，因此另一条边长为$12-x$。
2. 列面积关系式：长方形面积公式为$S=长×宽$，代入两条边长可得$y=x(12-x)$，整理后为$y=-x^2+12x$。
3. 判断函数类型：一次函数的定义是形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数，自变量的最高次数为1。本题得到的函数中自变量$x$的最高次数为2，不符合一次函数的定义，因此不是一次函数。
【答案】
$y=x(12-x)$；不是
【知识点】
1. 长方形周长与面积公式
2. 一次函数的定义
【点评】
本题结合几何图形性质考查函数关系式的列写，以及一次函数的判定，属于基础题，解题关键是熟练掌握常见几何公式和一次函数的特征。
【难度系数】
0.85
12. 已知函数$y=(m-3)x^{3-|m|}+m+2$，当$m=$
当$m=$
$-2$
时，$y$是$x$的正比例函数；当$m=$
$\pm2$
时，$y$是$x$的一次函数。答案
$-2$；$\pm2$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要紧扣正比例函数和一次函数的定义，分别列出对应的条件求解：
1. 求正比例函数对应的m值：首先回忆正比例函数的定义，需同时满足三个条件：①x的次数为1；②x的系数不为0；③常数项为0，将三个条件联立即可求出m的取值。
2. 求一次函数对应的m值：回忆一次函数的定义，需同时满足两个条件：①x的次数为1；②x的系数不为0，联立这两个条件求解即可。
【解析】
第一问：求y是x的正比例函数时m的值
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数，可得：
1. x的次数为1：$3-|m|=1$，解得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
2. 一次项系数不为0：$m-3≠0$，即$m≠3$，上述$m=\pm2$均满足；
3. 常数项为0：$m+2=0$，解得$m=-2$。
综上，当$m=-2$时，y是x的正比例函数。
第二问：求y是x的一次函数时m的值
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k≠0$）的函数是一次函数，可得：
1. x的次数为1：$3-|m|=1$，解得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
2. 一次项系数不为0：$m-3≠0$，即$m≠3$，上述$m=\pm2$均满足。
综上，当$m=\pm2$时，y是x的一次函数。
【答案】
$-2$；$\pm2$
【知识点】
正比例函数的定义；一次函数的定义
【点评】
本题核心考查对正比例函数和一次函数定义的掌握，解题时要特别注意两类函数都隐含“一次项系数不为0”的要求，其中正比例函数额外要求常数项为0，避免因遗漏条件导致错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要紧扣正比例函数和一次函数的定义，分别列出对应的条件求解：
1. 求正比例函数对应的m值：首先回忆正比例函数的定义，需同时满足三个条件：①x的次数为1；②x的系数不为0；③常数项为0，将三个条件联立即可求出m的取值。
2. 求一次函数对应的m值：回忆一次函数的定义，需同时满足两个条件：①x的次数为1；②x的系数不为0，联立这两个条件求解即可。
【解析】
第一问：求y是x的正比例函数时m的值
根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数，可得：
1. x的次数为1：$3-|m|=1$，解得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
2. 一次项系数不为0：$m-3≠0$，即$m≠3$，上述$m=\pm2$均满足；
3. 常数项为0：$m+2=0$，解得$m=-2$。
综上，当$m=-2$时，y是x的正比例函数。
第二问：求y是x的一次函数时m的值
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k≠0$）的函数是一次函数，可得：
1. x的次数为1：$3-|m|=1$，解得$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$；
2. 一次项系数不为0：$m-3≠0$，即$m≠3$，上述$m=\pm2$均满足。
综上，当$m=\pm2$时，y是x的一次函数。
【答案】
$-2$；$\pm2$
【知识点】
正比例函数的定义；一次函数的定义
【点评】
本题核心考查对正比例函数和一次函数定义的掌握，解题时要特别注意两类函数都隐含“一次项系数不为0”的要求，其中正比例函数额外要求常数项为0，避免因遗漏条件导致错误。
【难度系数】
0.7
13.【数学应用】一旅游团来到某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏如下图所示，请根据公告栏的内容，回答下列问题：
(1)若该旅游团人数为9，门票费用是多少？若该旅游团人数为30，门票费用又是多少？
(2)设该旅游团人数为$x$，当$x＞10$时，写出该旅游团门票费用$y$(元)与人数$x$的关系式。
(1)若该旅游团人数为9，门票费用是多少？若该旅游团人数为30，门票费用又是多少？
(2)设该旅游团人数为$x$，当$x＞10$时，写出该旅游团门票费用$y$(元)与人数$x$的关系式。
答案
解:(1)$180×9=1620$(元),
$180×10+180×60\%×(30-10)=3960$(元)。
(2)$y=108x+720$。
$180×10+180×60\%×(30-10)=3960$(元)。
(2)$y=108x+720$。
解析
【分析】
解题前首先要读懂公告栏的门票收费规则：①购买10张及以内，每张180元；②购买超过10张时，10张按原价收费，超出10张的部分每张按原价的6折收费。
针对第(1)问：先判断人数对应的收费档位，人数9人≤10，直接用“单价×人数”算总费用；人数30人＞10，分两部分计算费用，先算10张原价票的总钱数，再算超出20张的打折票总钱数，两部分相加就是总费用。
针对第(2)问：当x＞10时，同样按“10张原价票的费用+超出部分的打折票费用”列关系式，再化简整理得到y与x的函数关系式即可。
【解析】
(1) 当旅游团人数为9时，9≤10，按每张180元收费：
总费用 = $180 × 9 = 1620$（元）
当旅游团人数为30时，30＞10，分两部分计费：
10张原价票的费用：$180 × 10 = 1800$（元）
超出10张的部分有$30-10=20$张，每张6折即单价为$180 × 60\% = 108$元，这部分费用：$108 × 20 = 2160$（元）
总费用 = $1800 + 2160 = 3960$（元）
(2) 当$x＞10$时，门票总费用y由两部分组成：
10张原价票费用为$180 × 10 = 1800$元，
超出10张的部分共$(x-10)$张，每张单价$180 × 60\% =108$元，这部分费用为$108(x-10)$元，
因此总费用：
$y = 1800 + 108(x-10)$
展开化简得：
$y = 1800 + 108x - 1080 = 108x + 720$
【答案】
(1) 人数为9时门票费用是1620元，人数为30时门票费用是3960元；
(2) $y=108x+720$
【知识点】
分段计费问题；一次函数解析式；百分数实际应用
【点评】
本题是贴近生活的实际应用类题目，解题核心是准确理解分段收费的规则，分情况计算相关费用，列函数关系式时注意正确梳理各部分的数量关系，再化简即可。
【难度系数】
0.85
解题前首先要读懂公告栏的门票收费规则：①购买10张及以内，每张180元；②购买超过10张时，10张按原价收费，超出10张的部分每张按原价的6折收费。
针对第(1)问：先判断人数对应的收费档位，人数9人≤10，直接用“单价×人数”算总费用；人数30人＞10，分两部分计算费用，先算10张原价票的总钱数，再算超出20张的打折票总钱数，两部分相加就是总费用。
针对第(2)问：当x＞10时，同样按“10张原价票的费用+超出部分的打折票费用”列关系式，再化简整理得到y与x的函数关系式即可。
【解析】
(1) 当旅游团人数为9时，9≤10，按每张180元收费：
总费用 = $180 × 9 = 1620$（元）
当旅游团人数为30时，30＞10，分两部分计费：
10张原价票的费用：$180 × 10 = 1800$（元）
超出10张的部分有$30-10=20$张，每张6折即单价为$180 × 60\% = 108$元，这部分费用：$108 × 20 = 2160$（元）
总费用 = $1800 + 2160 = 3960$（元）
(2) 当$x＞10$时，门票总费用y由两部分组成：
10张原价票费用为$180 × 10 = 1800$元，
超出10张的部分共$(x-10)$张，每张单价$180 × 60\% =108$元，这部分费用为$108(x-10)$元，
因此总费用：
$y = 1800 + 108(x-10)$
展开化简得：
$y = 1800 + 108x - 1080 = 108x + 720$
【答案】
(1) 人数为9时门票费用是1620元，人数为30时门票费用是3960元；
(2) $y=108x+720$
【知识点】
分段计费问题；一次函数解析式；百分数实际应用
【点评】
本题是贴近生活的实际应用类题目，解题核心是准确理解分段收费的规则，分情况计算相关费用，列函数关系式时注意正确梳理各部分的数量关系，再化简即可。
【难度系数】
0.85
