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3 认识一次函数(第2课时)
课堂精要·梳理内容
1. 如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成
2. 特别地,当b=
3. 对一次函数而言,自变量每增加1,函数值就增加
课堂精要·梳理内容
1. 如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成
$y=kx+b$
(k,b为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的一次函数
。2. 特别地,当b=
0
时,称y是x的正比例函数
,所以说正比例函数
是一种特殊的一次函数。3. 对一次函数而言,自变量每增加1,函数值就增加
$k$
,函数值的变化是“均匀”的,因此,一次函数y=kx+b(k≠0)中的k体现了一个变化过程中,函数值的变化速度。答案
1. $y=kx+b$ 一次函数
2. 0 正比例函数 正比例函数
3. $k$
2. 0 正比例函数 正比例函数
3. $k$
解析
【分析】
这三道题均考查一次函数相关的基础概念，解题时需结合教材中一次函数、正比例函数的定义，以及一次函数的变化特征作答。第1题直接回忆一次函数的一般表达形式与定义即可；第2题需明确正比例函数是一次函数的特殊情况，对应b=0的情形；第3题可通过计算自变量增加1前后的函数值差，推导得到增量结果。
【解析】
1. 根据一次函数的定义：若两个变量x，y的对应关系可表示为$y=kx+b$（k，b为常数，$k≠0$），则称y是x的一次函数，因此两个空依次填$y=kx+b$、一次函数。
2. 当$b=0$时，一次函数表达式变为$y=kx$（$k≠0$），符合正比例函数的定义，因此称y是x的正比例函数，即正比例函数是特殊的一次函数，三个空依次填0、正比例函数、正比例函数。
3. 当自变量x增加1时，新的函数值为$k(x+1)+b=kx+k+b$，与原函数值$kx+b$的差为$(kx+k+b)-(kx+b)=k$，因此自变量每增加1，函数值增加$k$。
【答案】
1. $y=kx+b$；一次函数
2. 0；正比例函数；正比例函数
3. $k$
【知识点】
一次函数定义；正比例函数定义；一次函数变化规律
【点评】
本题是一次函数入门的基础概念题，核心考查对基础定义的记忆与简单推导能力，是后续学习一次函数图像、性质及实际应用的必备基础，需熟练掌握相关概念。
【难度系数】
0.9
这三道题均考查一次函数相关的基础概念，解题时需结合教材中一次函数、正比例函数的定义，以及一次函数的变化特征作答。第1题直接回忆一次函数的一般表达形式与定义即可；第2题需明确正比例函数是一次函数的特殊情况，对应b=0的情形；第3题可通过计算自变量增加1前后的函数值差，推导得到增量结果。
【解析】
1. 根据一次函数的定义：若两个变量x，y的对应关系可表示为$y=kx+b$（k，b为常数，$k≠0$），则称y是x的一次函数，因此两个空依次填$y=kx+b$、一次函数。
2. 当$b=0$时，一次函数表达式变为$y=kx$（$k≠0$），符合正比例函数的定义，因此称y是x的正比例函数，即正比例函数是特殊的一次函数，三个空依次填0、正比例函数、正比例函数。
3. 当自变量x增加1时，新的函数值为$k(x+1)+b=kx+k+b$，与原函数值$kx+b$的差为$(kx+k+b)-(kx+b)=k$，因此自变量每增加1，函数值增加$k$。
【答案】
1. $y=kx+b$；一次函数
2. 0；正比例函数；正比例函数
3. $k$
【知识点】
一次函数定义；正比例函数定义；一次函数变化规律
【点评】
本题是一次函数入门的基础概念题，核心考查对基础定义的记忆与简单推导能力，是后续学习一次函数图像、性质及实际应用的必备基础，需熟练掌握相关概念。
【难度系数】
0.9
1.下列函数是关于x的一次函数的是（
A.$y=\dfrac{1}{x}$
B.$y=2x^2+1$
C.$y=3-\dfrac{1}{2}x$
D.$y=\sqrt{x}$
C
）。A.$y=\dfrac{1}{x}$
B.$y=2x^2+1$
C.$y=3-\dfrac{1}{2}x$
D.$y=\sqrt{x}$
答案
C
解析
【分析】
要判断一个函数是不是一次函数，首先要明确一次函数的判定标准：形如$y=kx+b$（$k$、$b$是常数，且$k≠0$）的函数是一次函数，需同时满足三个条件：①解析式是关于$x$的整式；②自变量$x$的最高次数为1；③一次项系数$k$不为0。我们只需要按照这三个标准逐个排查每个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆一次函数的定义：一般地，形如$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数。我们对各选项逐一分析：
A选项：$y=\dfrac{1}{x}$是分式，$x$的次数为$-1$，不符合一次函数定义，排除；
B选项：$y=2x^2+1$中$x$的最高次数是2，属于二次函数，不符合一次函数定义，排除；
C选项：$y=3-\dfrac{1}{2}x$可变形为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$，符合$y=kx+b$的形式，其中$k=-\dfrac{1}{2}≠0$，$x$的次数为1，且是整式，满足一次函数的所有条件；
D选项：$y=\sqrt{x}$中$x$的次数为$\dfrac{1}{2}$，不是1，且不属于整式，不符合一次函数定义，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 整式的概念
【点评】
本题是一次函数判定的基础题，解题核心是准确掌握一次函数的定义特征，注意区分不同类型函数的解析式特点，不要将一次函数和反比例函数、二次函数、根式函数等混淆。
【难度系数】
0.8
要判断一个函数是不是一次函数，首先要明确一次函数的判定标准：形如$y=kx+b$（$k$、$b$是常数，且$k≠0$）的函数是一次函数，需同时满足三个条件：①解析式是关于$x$的整式；②自变量$x$的最高次数为1；③一次项系数$k$不为0。我们只需要按照这三个标准逐个排查每个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆一次函数的定义：一般地，形如$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数。我们对各选项逐一分析：
A选项：$y=\dfrac{1}{x}$是分式，$x$的次数为$-1$，不符合一次函数定义，排除；
B选项：$y=2x^2+1$中$x$的最高次数是2，属于二次函数，不符合一次函数定义，排除；
C选项：$y=3-\dfrac{1}{2}x$可变形为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$，符合$y=kx+b$的形式，其中$k=-\dfrac{1}{2}≠0$，$x$的次数为1，且是整式，满足一次函数的所有条件；
D选项：$y=\sqrt{x}$中$x$的次数为$\dfrac{1}{2}$，不是1，且不属于整式，不符合一次函数定义，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 整式的概念
【点评】
本题是一次函数判定的基础题，解题核心是准确掌握一次函数的定义特征，注意区分不同类型函数的解析式特点，不要将一次函数和反比例函数、二次函数、根式函数等混淆。
【难度系数】
0.8
2.下列变量关系中,属于正比例关系的是（
A.当路程$s$一定时,速度$v$与时间$t$
B.圆的面积$S$与圆的半径$r$
C.正方体的体积$V$与棱长$a$
D.正方形的周长$C$与它的边长$a$
D
）。A.当路程$s$一定时,速度$v$与时间$t$
B.圆的面积$S$与圆的半径$r$
C.正方体的体积$V$与棱长$a$
D.正方形的周长$C$与它的边长$a$
答案
D
解析
【分析】
要判断两个变量是否为正比例关系，首先要明确正比例关系的核心特征：两个相关联的变量，它们的商（比值）为固定的非零常数，对应表达式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时先逐一写出每个选项中两个变量的关系式，再对照正比例关系的特征判断即可。
【解析】
首先明确正比例关系的定义：若两个相关联的变量的比值为固定的非零常数，则这两个变量成正比例关系，对应形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）。
对各选项逐一分析：
A. 路程$s$一定时，由路程公式$s=vt$得$v=\frac{s}{t}$，速度$v$和时间$t$的乘积为定值，二者成反比例关系，不符合要求；
B. 圆的面积公式为$S=π r^2$，$\frac{S}{r}=π r$，$r$是变量，所以比值不是定值，二者不是正比例关系；
C. 正方体体积公式为$V=a^3$，$\frac{V}{a}=a^2$，$a$是变量，比值不是定值，二者不是正比例关系；
D. 正方形周长公式为$C=4a$，$\frac{C}{a}=4$，比值为固定非零常数，符合正比例关系的定义。
【答案】
D
【知识点】
正比例关系判定；常见几何量计算；反比例关系概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确把握正比例关系的核心特征，同时要熟记常见几何量的计算公式，避免混淆不同类型的变量关系。
【难度系数】
0.8
要判断两个变量是否为正比例关系，首先要明确正比例关系的核心特征：两个相关联的变量，它们的商（比值）为固定的非零常数，对应表达式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时先逐一写出每个选项中两个变量的关系式，再对照正比例关系的特征判断即可。
【解析】
首先明确正比例关系的定义：若两个相关联的变量的比值为固定的非零常数，则这两个变量成正比例关系，对应形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）。
对各选项逐一分析：
A. 路程$s$一定时，由路程公式$s=vt$得$v=\frac{s}{t}$，速度$v$和时间$t$的乘积为定值，二者成反比例关系，不符合要求；
B. 圆的面积公式为$S=π r^2$，$\frac{S}{r}=π r$，$r$是变量，所以比值不是定值，二者不是正比例关系；
C. 正方体体积公式为$V=a^3$，$\frac{V}{a}=a^2$，$a$是变量，比值不是定值，二者不是正比例关系；
D. 正方形周长公式为$C=4a$，$\frac{C}{a}=4$，比值为固定非零常数，符合正比例关系的定义。
【答案】
D
【知识点】
正比例关系判定；常见几何量计算；反比例关系概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确把握正比例关系的核心特征，同时要熟记常见几何量的计算公式，避免混淆不同类型的变量关系。
【难度系数】
0.8
3. 若函数 $y=(m-1)x^{m^2} + 3$ 是一次函数，则 $m$ 的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$0$
D.$\pm1$
A
）。A.$-1$
B.$1$
C.$0$
D.$\pm1$
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆一次函数的定义要求：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$），满足两个核心条件：①自变量$x$的次数为1；②自变量的系数$k$不为0。我们只需根据这两个条件分别列方程和不等式求解，再筛选出符合所有条件的$m$值即可。
【解析】
因为函数$y=(m-1)x^{m^2} + 3$是一次函数，根据一次函数的定义：
1. 自变量$x$的次数为1，可得：
$m^2=1$
解得$m=1$或$m=-1$
2. 一次项系数不为0，可得：
$m-1≠0$
解得$m≠1$
结合上述两个条件，排除$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 一元一次不等式应用
【点评】
本题属于一次函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误选D选项。解题时要牢记一次函数的两个必备判定条件，按要求分步验证，避免漏看限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要回忆一次函数的定义要求：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$），满足两个核心条件：①自变量$x$的次数为1；②自变量的系数$k$不为0。我们只需根据这两个条件分别列方程和不等式求解，再筛选出符合所有条件的$m$值即可。
【解析】
因为函数$y=(m-1)x^{m^2} + 3$是一次函数，根据一次函数的定义：
1. 自变量$x$的次数为1，可得：
$m^2=1$
解得$m=1$或$m=-1$
2. 一次项系数不为0，可得：
$m-1≠0$
解得$m≠1$
结合上述两个条件，排除$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 一元一次不等式应用
【点评】
本题属于一次函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，误选D选项。解题时要牢记一次函数的两个必备判定条件，按要求分步验证，避免漏看限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
4. 若函数$y=(m-2)x+(5-m)$是关于$x$的一次函数，则$m$应满足的条件是
$m≠2$
；若此函数是正比例函数，则$m$的值为5
，此时函数的表达式为$y=3x$
。答案
$m≠2$；5；$y=3x$
解析
【分析】
解题时需先回忆一次函数、正比例函数的定义，根据定义对应列出参数需满足的条件：①一次函数要求x的一次项系数不为0，常数项无额外限制；②正比例函数属于特殊的一次函数，除了满足一次项系数不为0外，还要求常数项为0，据此逐步求解即可。
【解析】
1. 求一次函数时m的条件：
一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），对应本题函数$y=(m-2)x+(5-m)$，可得一次项系数$m-2≠0$，解得$m≠2$。
2. 求正比例函数时m的值：
正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），即常数项为0且一次项系数不为0，因此列条件：
$\begin{cases}5-m=0 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解$5-m=0$得$m=5$，代入$m-2=3≠0$，满足条件，故$m=5$。
3. 求此时的函数表达式：
将$m=5$代入原函数，得$y=(5-2)x+(5-5)=3x$，即函数表达式为$y=3x$。
【答案】
$m≠2$；5；$y=3x$
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题是对一次函数相关基础概念的考查，解题核心是明确两类函数的参数限制要求，注意正比例函数需要同时满足一次项系数非零、常数项为0两个条件，避免遗漏系数非零的限制导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时需先回忆一次函数、正比例函数的定义，根据定义对应列出参数需满足的条件：①一次函数要求x的一次项系数不为0，常数项无额外限制；②正比例函数属于特殊的一次函数，除了满足一次项系数不为0外，还要求常数项为0，据此逐步求解即可。
【解析】
1. 求一次函数时m的条件：
一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），对应本题函数$y=(m-2)x+(5-m)$，可得一次项系数$m-2≠0$，解得$m≠2$。
2. 求正比例函数时m的值：
正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），即常数项为0且一次项系数不为0，因此列条件：
$\begin{cases}5-m=0 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解$5-m=0$得$m=5$，代入$m-2=3≠0$，满足条件，故$m=5$。
3. 求此时的函数表达式：
将$m=5$代入原函数，得$y=(5-2)x+(5-5)=3x$，即函数表达式为$y=3x$。
【答案】
$m≠2$；5；$y=3x$
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题是对一次函数相关基础概念的考查，解题核心是明确两类函数的参数限制要求，注意正比例函数需要同时满足一次项系数非零、常数项为0两个条件，避免遗漏系数非零的限制导致出错。
【难度系数】
0.8
5. 某辆汽车油箱中原有汽油100 L，汽车每行驶1 km耗油0.18 L，那么油箱中的剩余油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式为
$y=100-0.18x$
，y是
（填“是”或“不是”）x的一次函数，y不是
（填“是”或“不是”）x的正比例函数。答案
$y=100-0.18x$；是；不是
解析
【分析】
解题时首先明确剩余油量的数量关系：剩余油量=油箱原有油量-行驶路程消耗的油量，据此列出函数关系式；再结合一次函数、正比例函数的定义，分别对照所得关系式的形式进行判断即可。
【解析】
1. 列剩余油量的关系式：
已知油箱原有汽油100L，汽车每行驶1km耗油0.18L，行驶x km的耗油量为0.18x L，因此剩余油量$y=100-0.18x$。
2. 判断是否为一次函数：
一次函数的定义为：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数。将所得关系式整理为$y=-0.18x+100$，其中$k=-0.18≠0$，$b=100$为常数，符合一次函数的形式，因此y是x的一次函数。
3. 判断是否为正比例函数：
正比例函数的定义为：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，是$b=0$的特殊一次函数。本题关系式中$b=100≠0$，不符合正比例函数的形式，因此y不是x的正比例函数。
【答案】
$y=100-0.18x$；是；不是
【知识点】
列实际问题函数关系式、一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是找准实际问题中的数量关系列对解析式，同时要准确区分一次函数和正比例函数的联系与区别，正比例函数是特殊的一次函数，要求常数项为0。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确剩余油量的数量关系：剩余油量=油箱原有油量-行驶路程消耗的油量，据此列出函数关系式；再结合一次函数、正比例函数的定义，分别对照所得关系式的形式进行判断即可。
【解析】
1. 列剩余油量的关系式：
已知油箱原有汽油100L，汽车每行驶1km耗油0.18L，行驶x km的耗油量为0.18x L，因此剩余油量$y=100-0.18x$。
2. 判断是否为一次函数：
一次函数的定义为：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数。将所得关系式整理为$y=-0.18x+100$，其中$k=-0.18≠0$，$b=100$为常数，符合一次函数的形式，因此y是x的一次函数。
3. 判断是否为正比例函数：
正比例函数的定义为：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，是$b=0$的特殊一次函数。本题关系式中$b=100≠0$，不符合正比例函数的形式，因此y不是x的正比例函数。
【答案】
$y=100-0.18x$；是；不是
【知识点】
列实际问题函数关系式、一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是找准实际问题中的数量关系列对解析式，同时要准确区分一次函数和正比例函数的联系与区别，正比例函数是特殊的一次函数，要求常数项为0。
【难度系数】
0.8
6.我国是一个水资源缺乏的国家，因此大家都要节约用水。据统计，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05 mL。某同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当她离开x h时，水龙头滴了y mL水。则y与x之间的关系式是
$y=360x$
，y是x的正比例(或一次)
函数。答案
$y=360x$；正比例(或一次)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确总滴水量的计算逻辑：总滴水量=每秒滴水量×总滴水时间。解题时首先要统一单位，将时间单位“小时”换算为“秒”，再计算单位时间的滴水量，最终推导y与x的关系式，最后根据正比例、一次函数的定义判断函数类型。
【解析】
第一步：计算每秒的滴水量
已知每秒滴2滴水，每滴水0.05mL，因此每秒滴水量为：$2×0.05=0.1\ \mathrm{mL/s}$
第二步：统一时间单位，计算x小时对应的总秒数
因为1小时=3600秒，所以x小时的总秒数为：$3600x\ \mathrm{s}$
第三步：推导y与x的关系式
总滴水量y=每秒滴水量×总时间，代入数值计算得：
$y=0.1×3600x=360x$
第四步：判断函数类型
形如$y=kx$（k为常数，且$k≠0$）的函数是正比例函数，正比例函数属于特殊的一次函数，因此y是x的正比例（或一次）函数。
【答案】
$y=360x$；正比例(或一次)
【知识点】
列实际问题的函数关系式；正比例函数的定义；一次函数的定义
【点评】
本题结合节约用水的生活场景考查函数相关知识，解题关键是注意单位的统一，避免因时间单位换算错误导致关系式列错，同时要掌握正比例函数和一次函数的联系与区别。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确总滴水量的计算逻辑：总滴水量=每秒滴水量×总滴水时间。解题时首先要统一单位，将时间单位“小时”换算为“秒”，再计算单位时间的滴水量，最终推导y与x的关系式，最后根据正比例、一次函数的定义判断函数类型。
【解析】
第一步：计算每秒的滴水量
已知每秒滴2滴水，每滴水0.05mL，因此每秒滴水量为：$2×0.05=0.1\ \mathrm{mL/s}$
第二步：统一时间单位，计算x小时对应的总秒数
因为1小时=3600秒，所以x小时的总秒数为：$3600x\ \mathrm{s}$
第三步：推导y与x的关系式
总滴水量y=每秒滴水量×总时间，代入数值计算得：
$y=0.1×3600x=360x$
第四步：判断函数类型
形如$y=kx$（k为常数，且$k≠0$）的函数是正比例函数，正比例函数属于特殊的一次函数，因此y是x的正比例（或一次）函数。
【答案】
$y=360x$；正比例(或一次)
【知识点】
列实际问题的函数关系式；正比例函数的定义；一次函数的定义
【点评】
本题结合节约用水的生活场景考查函数相关知识，解题关键是注意单位的统一，避免因时间单位换算错误导致关系式列错，同时要掌握正比例函数和一次函数的联系与区别。
【难度系数】
0.8
7.小明准备买a本练习本，已知练习本的单价为3元。
(1)写出小明所花的钱数y(元)与购买的本数a(本)之间的关系式；
(2)当a=6时，求y的值。
(1)写出小明所花的钱数y(元)与购买的本数a(本)之间的关系式；
(2)当a=6时，求y的值。
答案
解:(1)小明所花的钱数 y(元)与购买的本数 a 之间的关系式为$y=3a$。
(2)当$a=6$时,$y=3×6=18$(元)。
(2)当$a=6$时,$y=3×6=18$(元)。
解析
【分析】
（1）推导所花钱数y和购买本数a的关系时，可依据基础数量关系：总花费=单价×购买数量，已知练习本单价为3元，购买数量为a本，直接代入该数量关系就能得到二者的关系式；（2）求a=6时y的值属于求函数值的问题，只需把a=6代入第（1）问得到的关系式中，按整数乘法规则计算即可得到结果。
【解析】
解：(1) 根据“总花费=单价×购买数量”的数量关系，已知练习本单价为3元，购买本数为a，总花费为y元，因此可得关系式：$y=3a$；
(2) 当$a=6$时，将其代入关系式$y=3a$中计算，得$y=3×6=18$（元）。
【答案】
(1) $y=3a$；(2) 18元
【知识点】
列函数关系式，代入求函数值
【点评】
本题是函数应用的基础题，结合生活购物场景考察函数相关基础能力，掌握常见数量关系和代入求值的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
（1）推导所花钱数y和购买本数a的关系时，可依据基础数量关系：总花费=单价×购买数量，已知练习本单价为3元，购买数量为a本，直接代入该数量关系就能得到二者的关系式；（2）求a=6时y的值属于求函数值的问题，只需把a=6代入第（1）问得到的关系式中，按整数乘法规则计算即可得到结果。
【解析】
解：(1) 根据“总花费=单价×购买数量”的数量关系，已知练习本单价为3元，购买本数为a，总花费为y元，因此可得关系式：$y=3a$；
(2) 当$a=6$时，将其代入关系式$y=3a$中计算，得$y=3×6=18$（元）。
【答案】
(1) $y=3a$；(2) 18元
【知识点】
列函数关系式，代入求函数值
【点评】
本题是函数应用的基础题，结合生活购物场景考察函数相关基础能力，掌握常见数量关系和代入求值的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
