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4. 如图，点B，E，C，F在直线l上（E，C之间不能直接测量），点A，D在l同侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BE＝FC.求证：△ABC≌△DEF.
答案
4. 证明 因为$BE=FC$，
所以$BE+CE=CF+CE$. 即$BC=EF$.
在$△ABC$和$△DEF$中，$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DF, \\ BC=EF, \end{cases}$
所以$△ABC≌△DEF$（SSS）.
所以$BE+CE=CF+CE$. 即$BC=EF$.
在$△ABC$和$△DEF$中，$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DF, \\ BC=EF, \end{cases}$
所以$△ABC≌△DEF$（SSS）.
解析
【分析】
要证明△ABC≌△DEF，首先回忆SSS判定三角形全等的条件：需要三组对应边分别相等。题目已经给出AB=DE、AC=DF两组对应边相等，仅需证明第三组边BC=EF即可。已知BE=FC，观察线段位置可知BC=BE+EC，EF=FC+EC，根据等式的性质，在BE=FC两边同时加公共线段EC，即可得到BC=EF，凑齐三组对应边相等后，就能用SSS定理完成全等证明。
【解析】
证明：
∵ $BE=FC$，
∴ $BE+CE=CF+CE$，即$BC=EF$。
在$△ABC$和$△DEF$中：
$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DF, \\ BC=EF, \end{cases}$
∴ $△ABC≌△DEF$（SSS）。
【答案】
证明 因为$BE=FC$，
所以$BE+CE=CF+CE$. 即$BC=EF$.
在$△ABC$和$△DEF$中，$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DF, \\ BC=EF, \end{cases}$
所以$△ABC≌△DEF$（SSS）.
【知识点】
1. SSS判定三角形全等 2. 线段和差计算
【点评】
本题是全等证明的基础题型，解题核心是通过线段和差转化得到缺失的对应等边，再结合SSS判定定理完成证明，是全等判定的常见基础考点，熟练掌握线段和差推导和SSS判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要证明△ABC≌△DEF，首先回忆SSS判定三角形全等的条件：需要三组对应边分别相等。题目已经给出AB=DE、AC=DF两组对应边相等，仅需证明第三组边BC=EF即可。已知BE=FC，观察线段位置可知BC=BE+EC，EF=FC+EC，根据等式的性质，在BE=FC两边同时加公共线段EC，即可得到BC=EF，凑齐三组对应边相等后，就能用SSS定理完成全等证明。
【解析】
证明：
∵ $BE=FC$，
∴ $BE+CE=CF+CE$，即$BC=EF$。
在$△ABC$和$△DEF$中：
$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DF, \\ BC=EF, \end{cases}$
∴ $△ABC≌△DEF$（SSS）。
【答案】
证明 因为$BE=FC$，
所以$BE+CE=CF+CE$. 即$BC=EF$.
在$△ABC$和$△DEF$中，$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DF, \\ BC=EF, \end{cases}$
所以$△ABC≌△DEF$（SSS）.
【知识点】
1. SSS判定三角形全等 2. 线段和差计算
【点评】
本题是全等证明的基础题型，解题核心是通过线段和差转化得到缺失的对应等边，再结合SSS判定定理完成证明，是全等判定的常见基础考点，熟练掌握线段和差推导和SSS判定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
5. 如图，分别以$△ ABC$的顶点A，C为圆心，边AB，CB为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD，可以判定$△ ABC ≌ △ ADC$，理由是 （
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.SAS
A
）A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.SAS
答案
5. A
解析
【分析】
解题时先根据题中的尺规作图特征，利用同圆半径相等的性质，可得AB=AD、CB=CD，再观察到AC是两个三角形的公共边，可知两个三角形三条边分别对应相等，对应三角形全等的判定定理，即可选出正确答案。
【解析】
由作图方法可知：
以A为圆心、AB为半径画弧得到AD，因此$\boldsymbol{AB=AD}$；
以C为圆心、CB为半径画弧得到CD，因此$\boldsymbol{CB=CD}$；
又AC是$△ ABC$和$△ ADC$的公共边，因此$\boldsymbol{AC=AC}$。
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB=AD \\CB=CD \\AC=AC\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC \ (\mathrm{SSS})$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
SSS判定定理，尺规作图特征，公共边性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形的SSS判定方法，解题的关键是能从作图过程中提取出两组对应边相等的条件，再结合公共边即可快速判断。
【难度系数】
0.9
解题时先根据题中的尺规作图特征，利用同圆半径相等的性质，可得AB=AD、CB=CD，再观察到AC是两个三角形的公共边，可知两个三角形三条边分别对应相等，对应三角形全等的判定定理，即可选出正确答案。
【解析】
由作图方法可知：
以A为圆心、AB为半径画弧得到AD，因此$\boldsymbol{AB=AD}$；
以C为圆心、CB为半径画弧得到CD，因此$\boldsymbol{CB=CD}$；
又AC是$△ ABC$和$△ ADC$的公共边，因此$\boldsymbol{AC=AC}$。
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB=AD \\CB=CD \\AC=AC\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC \ (\mathrm{SSS})$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
SSS判定定理，尺规作图特征，公共边性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形的SSS判定方法，解题的关键是能从作图过程中提取出两组对应边相等的条件，再结合公共边即可快速判断。
【难度系数】
0.9
6. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是 （
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
B
）A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
答案
6. B
解析
【分析】
解题时先回忆三角形全等的判定定理，再结合图形分析未被遮挡的部分能确定的三角形元素：首先能看到三角形有一个确定的直角，还有夹这个直角的一条完整的水平边，同时这条水平边的另一端与斜边的夹角也是确定的，这三个元素刚好对应“两角及其夹边”的条件，对应ASA判定定理，就能画出和原三角形全等的三角形。
【解析】
观察图形可知，该直角三角形未被遮挡的部分可确定三个元素：①一个大小为90°的内角；②夹这个直角的一条水平边的长度是确定的；③这条水平边的另一个端点处，水平边与斜边的夹角大小是确定的。也就是说我们得到了三角形的两个角，以及这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA），因此可以画出和原三角形完全一样的三角形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. ASA判定定理
2. 直角三角形的认识
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查全等三角形判定定理的实际运用，解题的关键是结合图形识别出已知的边和角的位置关系，匹配对应的判定定理。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形全等的判定定理，再结合图形分析未被遮挡的部分能确定的三角形元素：首先能看到三角形有一个确定的直角，还有夹这个直角的一条完整的水平边，同时这条水平边的另一端与斜边的夹角也是确定的，这三个元素刚好对应“两角及其夹边”的条件，对应ASA判定定理，就能画出和原三角形全等的三角形。
【解析】
观察图形可知，该直角三角形未被遮挡的部分可确定三个元素：①一个大小为90°的内角；②夹这个直角的一条水平边的长度是确定的；③这条水平边的另一个端点处，水平边与斜边的夹角大小是确定的。也就是说我们得到了三角形的两个角，以及这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA），因此可以画出和原三角形完全一样的三角形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. ASA判定定理
2. 直角三角形的认识
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查全等三角形判定定理的实际运用，解题的关键是结合图形识别出已知的边和角的位置关系，匹配对应的判定定理。
【难度系数】
0.8
7. 小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与$△ ABC$全等的是 （
D
）答案
7. D
解析
【分析】
要判断作出的三角形是否和原△ABC全等，需结合尺规作图的步骤，对应三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）分析：满足判定定理的三角形一定全等，不满足判定定理的则不一定全等，我们逐个分析四个选项的作图对应的判定条件即可。
【解析】
我们依次分析每个选项：
选项A：作图步骤为：先作线段等于BC，再以线段的左端点为顶点作角等于∠B，在角的另一边上截取线段等于AB，最后连接端点得到三角形。符合两边及其夹角对应相等（SAS）的全等判定，因此作出的三角形一定与△ABC全等。
选项B：作图步骤为：先作线段等于BC，再分别以线段的两个端点为圆心，AB、AC的长为半径画弧，两弧交点为第三个顶点，符合三边对应相等（SSS）的全等判定，因此作出的三角形一定与△ABC全等。
选项C：作图步骤为：先作线段等于BC，再分别以线段的两个端点为顶点，作角等于∠B、∠C，两角的另一边交点为第三个顶点，符合两角及其夹边对应相等（ASA）的全等判定，因此作出的三角形一定与△ABC全等。
选项D：作图步骤为：先作线段等于BC，再以线段左端点为顶点作角等于∠B，再以线段右端点为圆心，AC长为半径画弧，与角的另一边相交得到第三个顶点。这种情况是两边及其中一边的对角对应相等（SSA），而SSA不能判定三角形全等，因此作出的三角形不一定与△ABC全等。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等的判定，尺规作图
【点评】
本题主要考查尺规作图与三角形全等判定的结合，解题的关键是明确每一种作图对应的全等判定条件，牢记SSA不能判定三角形全等。
【难度系数】
0.7
要判断作出的三角形是否和原△ABC全等，需结合尺规作图的步骤，对应三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）分析：满足判定定理的三角形一定全等，不满足判定定理的则不一定全等，我们逐个分析四个选项的作图对应的判定条件即可。
【解析】
我们依次分析每个选项：
选项A：作图步骤为：先作线段等于BC，再以线段的左端点为顶点作角等于∠B，在角的另一边上截取线段等于AB，最后连接端点得到三角形。符合两边及其夹角对应相等（SAS）的全等判定，因此作出的三角形一定与△ABC全等。
选项B：作图步骤为：先作线段等于BC，再分别以线段的两个端点为圆心，AB、AC的长为半径画弧，两弧交点为第三个顶点，符合三边对应相等（SSS）的全等判定，因此作出的三角形一定与△ABC全等。
选项C：作图步骤为：先作线段等于BC，再分别以线段的两个端点为顶点，作角等于∠B、∠C，两角的另一边交点为第三个顶点，符合两角及其夹边对应相等（ASA）的全等判定，因此作出的三角形一定与△ABC全等。
选项D：作图步骤为：先作线段等于BC，再以线段左端点为顶点作角等于∠B，再以线段右端点为圆心，AC长为半径画弧，与角的另一边相交得到第三个顶点。这种情况是两边及其中一边的对角对应相等（SSA），而SSA不能判定三角形全等，因此作出的三角形不一定与△ABC全等。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等的判定，尺规作图
【点评】
本题主要考查尺规作图与三角形全等判定的结合，解题的关键是明确每一种作图对应的全等判定条件，牢记SSA不能判定三角形全等。
【难度系数】
0.7
8. 已知一个三角形的两条边长分别是1 cm和2 cm，一个内角为$40°$.
（1）如图，请你用直尺和圆规画出两个满足题设条件的三角形，且这两个三角形不全等.（不写作法，保留作图痕迹，并在图中标出已知角的度数和已知边的长度）
（2）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3 cm和4 cm，一个内角为$40°$”，那么满足这一条件且彼此不全等的三角形共有
（1）如图，请你用直尺和圆规画出两个满足题设条件的三角形，且这两个三角形不全等.（不写作法，保留作图痕迹，并在图中标出已知角的度数和已知边的长度）
（2）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3 cm和4 cm，一个内角为$40°$”，那么满足这一条件且彼此不全等的三角形共有
4
个.答案
8. 解 （1）如图，△ABC和△DEF即为所求。
（2）4
解析
【分析】
（1）要构造两个不全等且满足“两边长1cm、2cm，一个内角40°”的三角形，可利用“SSA不能判定三角形全等”的特点：一种情况让40°角为1cm和2cm两边的夹角，另一种情况让40°角为1cm短边的对角，两种情况画出的三角形不全等，按尺规作图要求保留痕迹即可。
（2）第二问按40°角的不同位置分类讨论：①40°是3cm和4cm两边的夹角，得到1种三角形；②40°是3cm边的对角，固定40°角和邻边4cm，以4cm边的非顶点端为圆心、3cm为半径画弧，和40°角的另一边有2个交点，得到2种不全等的三角形；③40°是4cm边的对角，固定40°角和邻边3cm，以3cm边的非顶点端为圆心、4cm为半径画弧，仅和40°角的另一边正方向有1个交点，得到1种三角形，求和即可得到总数。
【解析】
（1）作图逻辑：第一个三角形△ABC，作∠A=40°，在∠A的两条边上分别截取AB=2cm、AC=1cm，连接BC，此时40°为两边的夹角；第二个三角形△DEF，作∠E=40°，在∠E的一条边上截取EF=1cm，以F为圆心、2cm长为半径画弧，交∠E的另一条边于点D，连接DF，此时40°为1cm边的对角，两个三角形不全等，符合题目要求。
（2）分类计数如下：
1. 若40°为3cm、4cm两条边的夹角，仅能画出1个三角形；
2. 若40°是3cm边长所对的内角，固定40°角和邻边4cm，以4cm边远离角的端点为圆心，3cm为半径画弧，与40°角的另一边有2个不同交点，可得到2个不全等的三角形；
3. 若40°是4cm边长所对的内角，固定40°角和邻边3cm，以3cm边远离角的端点为圆心，4cm为半径画弧，仅与40°角的另一边正方向有1个交点，得到1个三角形。
总计数量为$1+2+1=4$个。
【答案】
（1）如图，△ABC和△DEF即为所求。
（2）4
【知识点】
尺规作图；三角形全等的判定；分类讨论
【点评】
本题考查三角形全等判定的实际应用，需要掌握SSA无法判定三角形全等的特性，解题时要按边角的不同位置关系分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）要构造两个不全等且满足“两边长1cm、2cm，一个内角40°”的三角形，可利用“SSA不能判定三角形全等”的特点：一种情况让40°角为1cm和2cm两边的夹角，另一种情况让40°角为1cm短边的对角，两种情况画出的三角形不全等，按尺规作图要求保留痕迹即可。
（2）第二问按40°角的不同位置分类讨论：①40°是3cm和4cm两边的夹角，得到1种三角形；②40°是3cm边的对角，固定40°角和邻边4cm，以4cm边的非顶点端为圆心、3cm为半径画弧，和40°角的另一边有2个交点，得到2种不全等的三角形；③40°是4cm边的对角，固定40°角和邻边3cm，以3cm边的非顶点端为圆心、4cm为半径画弧，仅和40°角的另一边正方向有1个交点，得到1种三角形，求和即可得到总数。
【解析】
（1）作图逻辑：第一个三角形△ABC，作∠A=40°，在∠A的两条边上分别截取AB=2cm、AC=1cm，连接BC，此时40°为两边的夹角；第二个三角形△DEF，作∠E=40°，在∠E的一条边上截取EF=1cm，以F为圆心、2cm长为半径画弧，交∠E的另一条边于点D，连接DF，此时40°为1cm边的对角，两个三角形不全等，符合题目要求。
（2）分类计数如下：
1. 若40°为3cm、4cm两条边的夹角，仅能画出1个三角形；
2. 若40°是3cm边长所对的内角，固定40°角和邻边4cm，以4cm边远离角的端点为圆心，3cm为半径画弧，与40°角的另一边有2个不同交点，可得到2个不全等的三角形；
3. 若40°是4cm边长所对的内角，固定40°角和邻边3cm，以3cm边远离角的端点为圆心，4cm为半径画弧，仅与40°角的另一边正方向有1个交点，得到1个三角形。
总计数量为$1+2+1=4$个。
【答案】
（1）如图，△ABC和△DEF即为所求。
（2）4
【知识点】
尺规作图；三角形全等的判定；分类讨论
【点评】
本题考查三角形全等判定的实际应用，需要掌握SSA无法判定三角形全等的特性，解题时要按边角的不同位置关系分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
