6. (2026·威海期中)规定:如果两个函数的图象关于y轴对称,那么称这两个函数互为“Y函数”.例如:函数$y=x+3$与$y=-x+3$互为“Y函数”.若函数$y=\frac{k}{4}x^2+(k-1)x+k-3$的图象与x轴只有一个交点,则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ()

A.$(-3,0)$
B.$(4,0)$
C.$(-3,0)$或$(-4,0)$
D.$(3,0)$或$(4,0)$

6. D 解析:①当 k=0 时,函数的表达式为 y=-x-3,此时函数的图象与 x 轴只有一个交点,成立,当 y=0 时,可得 0=-x-3,解得 x=-3,
∴ y=-x-3 与 x 轴的交点坐标为 (-3,0),根据题意可得,它的“Y函数”图象与 x 轴的交点坐标为 (3,0);②当 k≠0 时,
∵ 函数 $y=\frac{k}{4}x^2+(k-1)x+k-3$ 的图象与 x 轴只有一个交点,
∴ $b^2-4ac=0$,即 $(k-1)^2-4×\frac{k}{4}×(k-3)=0$,解得 k=-1,
∴ 函数的表达式为 $y=-\frac{1}{4}x^2-2x-4$,当 y=0 时,得 $0=-\frac{1}{4}x^2-2x-4$,解得 x=-4,
∴ 它的图象与 x 轴的交点坐标为 (-4,0),根据题意可得,它的“Y函数”图象与 x 轴的交点坐标为 (4,0).综上所述,它的“Y函数”图象与 x 轴的交点坐标为 (3,0) 或 (4,0).故选 D.

7. 如图,将二次函数$y=|x^2 - m|(m＞0)$的图象记为$y_1$,一次函数$y=x+b$的图象记为$y_2$,则以下说法:①当$m=1$,且$y_1$与$y_2$恰好有三个交点时,$b$有唯一值为1;②当$b=2$,且$y_1$与$y_2$恰有两个交点时,$m＞4$或$0＜m＜\frac{7}{4}$;③当$m=b$时,$y_1$与$y_2$至少有两个交点,且其中一个为$(0,m)$;④当$m=-b$时,$y_1$与$y_2$一定有交点.其中正确说法的序号为.

7. ②③ 解析:如图,$y_1=\begin{cases}x^2-m(x＞\sqrt{m}或x＜-\sqrt{m}),\\-x^2+m(-\sqrt{m}＜x＜\sqrt{m}),\end{cases}$ $y_2=x+b$.
①当 m=1,b=1 时,直线与抛物线有三个交点.直线与抛物线相切时也有三个交点,此时 $b=\frac{5}{4}$,
∴ b=1 或 $b=\frac{5}{4}$,故①错误;②当 b=2,$y_1$ 与 $y_2$ 恰有两个交点时,由图象可知,有两种情况,一种是直线 $y_2$ 与抛物线 $y=x^2-m$ 有一个交点,且与抛物线 $y=-x^2+m$ 有一个交点,此时 m＞4,另一种是 $y_2$ 与抛物线 $y=x^2-m$ 有两个交点,且与抛物线 $y=-x^2+m$ 无交点,联立方程,利用根的判别式得 $0＜m＜\frac{7}{4}$,故②正确;③当 m=b 时,$y_1$ 与 $y_2$ 均与 y 轴相交于点 (0,m),由图象可知 $y_1$ 与 $y_2$ 至少有两个交点,故③正确;④当 m=-b 时,
∵ m＞0,
∴ b＜0,由图象可知 $y_1$ 与 $y_2$ 不一定有交点(也可联立方程,用根的判别式来求),故④错误.

8. 二次函数 $y_1 = ax^2 - 2ax - 2$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A(x_1,0), B(x_2,0)$（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），交 $y$ 轴负半轴于点 $C$.
(1) 如图①,若 $AB=2\sqrt{5}$,求证: $∠ ACB=90°$;
(2) 如图②,将抛物线 $y_1 = ax^2 - 2ax - 2$ 在直线 $y=-2$ 下方的图象沿该直线翻折,其余部分保持不变,得到一个新的函数图象 $y_2$,抛物线 $y_1$ 的顶点翻折后的对应点恰好落在 $x$ 轴上,求 $a$ 的值;
(3) 如图③,过点 $C$ 的一条直线与(2)中 $y_2$ 的图象交于点 $P,Q$（点 $P$ 在 $Q$ 的左边）,与 $y_1 = ax^2 - 2ax - 2$ 交于点 $M$,若 $\frac{PQ}{PM}=t$,且满足 $t^2 - \frac{5}{2}t + 1=0$,求 $a$ 的值.

8. (1)
∵ 抛物线 $y_1=ax^2-2ax-2$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{-2a}{2a}=1$,且 $AB=2\sqrt{5}$,
∴ $A(1-\sqrt{5},0),B(1+\sqrt{5},0)$,且 $C(0,-2)$,在 $Rt△ AOC$ 中,$AC^2=OA^2+OC^2=(1-\sqrt{5})^2+2^2=10-2\sqrt{5}$,在 $Rt△ BOC$ 中,$BC^2=OB^2+OC^2=(1+\sqrt{5})^2+2^2=10+2\sqrt{5}$,
∴ $AC^2+BC^2=10-2\sqrt{5}+10+2\sqrt{5}=20$.$AB^2=(2\sqrt{5})^2=20$,
∴ $AB^2=AC^2+BC^2$,
∴ $∠ ACB=90°$.
(2) 抛物线 $y_1=ax^2-2ax-2$ 在直线 $y=-2$ 下方的图象沿该直线翻折得新函数 $y_2$,令 $y_1=-2$,则 $-2=ax^2-2ax-2$,解得 $x_1=2,x_2=0$,
∴ 当 $0≤x≤2$ 时,$y_2-(-2)=-2-y_1$,整理得 $y_2=-y_1-4=-ax^2+2ax-2$,所以 $y_2=\begin{cases}-ax^2+2ax-2(0≤x≤2),\\ax^2-2ax-2(x≤0或x≥2).\end{cases}$
∵ 抛物线 $y_1$ 的顶点的对应点恰好落在 x 轴上,
∴ 抛物线 $y_1=ax^2-2ax-2$ 顶点的纵坐标为-4,又
∵ $y_1=ax^2-2ax-2=a(x-1)^2-a-2$,
∴ $-a-2=-4$,得 a=2.
(3) 由(2)得 a=2,
∴ $y_2=\begin{cases}-2x^2+4x-2(0≤x≤2),\\2x^2-4x-2(x≤0或x≥2),\end{cases}$ 设直线 CM 的表达式为 y=kx-2.
当 $kx-2=-2x^2+4x-2$ 时,解得 x=0(舍去)或 $x=2-\frac{k}{2}$,
∴ 点 P 的横坐标为 $2-\frac{k}{2}$.
当 $kx-2=2x^2-4x-2$ 时,解得 x=0(舍去)或 $x=\frac{k}{2}+2$,
∴ 点 Q 的横坐标为 $\frac{k}{2}+2$.
当 $kx-2=ax^2-2ax-2$ 时,解得 x=0(舍去)或 $x=\frac{2a+k}{a}$,
∴ 点 M 的横坐标为 $\frac{2a+k}{a}$.
∴ $\frac{PQ}{PM}=\frac{(\frac{k}{2}+2)-(2-\frac{k}{2})}{\frac{2a+k}{a}-(2-\frac{k}{2})}=\frac{k}{\frac{(2+a)k}{2a}}=\frac{2a}{2+a}$,
∴ $t=\frac{2a}{2+a}$.
∵ $t^2 - \frac{5}{2}t + 1=0$,解得 t=2 或 $t=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{2a}{2+a}=2$,此时无解;或 $\frac{2a}{2+a}=\frac{1}{2}$,解得 $a=\frac{2}{3}$.
∴ $a=\frac{2}{3}$.