9. 在平面直角坐标系中,函数$y=x^2 -2x(x≥0)$的图象为$C_1$,$C_1$关于原点对称的图象为$C_2$,则直线$y=a$($a$为常数)与$C_1$、$C_2$的交点共有 ()

A.1个
B.1个或2个
C.1个或2个或3个
D.1个或2个或3个或4个

9. C 解析:函数 $y=x^2-2x(x≥0)$ 的图象为 $C_1$,$C_1$ 关于原点对称的图象 $C_2$ 的表达式是 $y=-x^2-2x(x≤0)$,结合图象(图略)可知,当 a＞1 或 a＜-1 时,直线 y=a 与图象 $C_1,C_2$ 只有 1 个交点;当 a=1 或 a=-1 时,直线 y=a 与图象 $C_1,C_2$ 有 2 个交点;当 -1＜a＜1 时,直线 y=a 与图象 $C_1,C_2$ 有 3 个交点.

10. (2025·无锡模拟)如图,一段抛物线$y = -x(x-3)(0 ≤ x ≤ 3)$记为$C_1$,它与$x$轴交于点$O,A_1$;将$C_1$绕点$A_1$旋转$180°$得到$C_2$,交$x$轴于点$A_2$;将$C_2$绕点$A_2$旋转$180°$得到$C_3$,交$x$轴于点$A_3$;$···$;如此进行下去,直至得到$C_{13}$.若$P(37,m)$在第13段抛物线$C_{13}$上,则$m = \_\_\_\_\_\_$.

10. 2 解析:由题知图象 $C_1$ 与 x 轴的交点坐标分别为 (0,0),(3,0),易知图象 $C_{13}$ 与 x 轴的交点坐标分别为 (36,0),(39,0),且图象在 x 轴上方,
∴ $C_{13}$ 的表达式为 $y_{13}=-(x-36)(x-39)$,当 x=37 时,y=-(37-36)×(37-39)=2.

11. (镇江中考节选)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$M$为抛物线$y=-x^2+2nx-n^2+2n$的顶点,过点$(0,4)$作$x$轴的平行线,交抛物线于点$P,Q$(点$P$在点$Q$的左侧),$PQ=4$.
(1)求抛物线的函数表达式,并写出点$P$的坐标.
(2)小丽发现:将抛物线$y=-x^2+2nx-n^2+2n$绕着点$P$旋转$180°$,所得新抛物线的顶点恰为坐标原点$O$,你认为正确吗?请说明理由.

11. (1)
∵ 抛物线 $y=-x^2+2nx-n^2+2n$ 过点 P,点 P 的纵坐标为 4,
∴ $4=-x^2+2nx-n^2+2n$,解得 $x_1=n+\sqrt{2n-4},x_2=n-\sqrt{2n-4}$.
∵ $PQ=x_1-x_2=4$,
∴ $2\sqrt{2n-4}=4$,解得 n=4,
∴ 抛物线的表达式为 $y=-x^2+8x-8$,
∴ $4=-x^2+8x-8$,解得 x=2 或 x=6,
∴ P(2,4).
(2)正确.理由如下:
∵ P(2,4),PQ=4,
∴ Q 绕着点 P 旋转 180°后的对称点为 Q'(-2,4),
∴ P 与 Q' 正好关于 y 轴对称,
∴ 所得新抛物线的对称轴是 y 轴.
∵ 抛物线 $y=-x^2+8x-8=-(x-4)^2+8$,
∴ 抛物线的顶点为 M(4,8),
∴ 顶点 M 到直线 PQ 的距离为 4,
∴ 所得新抛物线顶点到直线 PQ 的距离也为 4,
∴ 所得新抛物线的顶点应为坐标原点.

12. 定义:若两个函数的图象关于某一点Q中心对称,则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”.例如,函数$y=x^2$与$y=-x^2$关于原点O互为“对称函数”.
(1)函数$y=-x+1$关于原点O的“对称函数”的函数表达式为;函数$y=(x-2)^2 -1$关于原点O的“对称函数”的函数表达式为.
(2)已知函数$y=x^2 -2x$与函数G关于点Q(0,1)互为“对称函数”,若函数$y=x^2 -2x$与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小,求x的取值范围.
(3)已知点A(0,1),点B(4,1),点C(2,0),二次函数$y=ax^2 -2ax -3a(a＞0)$与函数N关于点C互为“对称函数”,将二次函数$y=ax^2 -2ax -3a(a＞0)$与函数N的图象组成的图形记为W,若图形W与线段AB恰有2个公共点,直接写出a的取值范围.

12. (1)$y=-x-1$ $y=-(x+2)^2+1$ 解析:
∵ 两个函数是关于原点 O 的“对称函数”,
∴ 两个函数图象上的点分别关于原点中心对称,设函数 y=-x+1 上的任一点为 (x,y),则它关于原点的对称点为 (-x,-y),将 (-x,-y) 代入函数 y=-x+1 得 -y=x+1,
∴ y=-x-1,
∴ 函数 y=-x+1 关于原点 O 的“对称函数”的函数表达式为 y=-x-1;同理可得,函数 $y=(x-2)^2-1$ 关于原点 O 的“对称函数”的函数表达式为 $y=-(x+2)^2+1$.
(2)由题意得函数 G 的表达式为 $y=-(x+1)^2+3$,如图①,
∵ 函数 G 的开口方向向下,
∴ 在对称轴的右侧 y 随自变量 x 的增大而减小,函数 $y=x^2-2x$ 在对称轴的左侧 y 随自变量 x 的增大而减小.
∵ 若函数 $y=x^2-2x$ 与函数 G 的函数值 y 都随自变量 x 的增大而减小,
∴ 自变量 x 的取值范围为 -1＜x＜1.
(3)a 的取值范围为 $a=\frac{1}{4}$ 或 $a=\frac{\sqrt{3}}{6}$ 或 $a＞\frac{1}{3}$. 解析:①当函数 N 的顶点在 AB 上时,如图②.
∵ $y=ax^2-2ax-3a=a(x-1)^2-4a$,
∴ 二次函数 $y=ax^2-2ax-3a$ 的对称轴为直线 x=1.
∵ 点 C(2,0) 为对称中心,
∴ 函数 N 的对称轴为直线 x=3,
∴ 函数 N 的顶点坐标为 (3,1).
∵ (3,1) 关于点 C(2,0) 对称的点为 (1,-1),
∴ 将 (1,-1) 代入 $y=ax^2-2ax-3a$,得 a-2a-3a=-1,
∴ $a=\frac{1}{4}$.
②当两个函数图象的交点在 AB 上时,如图③.
∵ 二次函数 $y=ax^2-2ax-3a$ 与 x 轴的交点为 (-1,0) 和 (3,0).
∵ 点 C(2,0) 为对称中心,
∴ 函数 N 与 x 轴的交点为 (5,0) 和 (1,0),
∴ 函数 N 的表达式为 $y=-ax^2+6ax-5a$,当 y=1 时,$\begin{cases}ax^2-2ax-3a=1,\\-ax^2+6ax-5a=1,\end{cases}$ 解得 $a=\frac{\sqrt{3}}{6}$.
③当函数 N 经过点 B 时,如图④.
∵ 点 B(4,1),
∴ $1=-a×16+6a×4-5a$,解得 $a=\frac{1}{3}$.
综上,图形 W 与线段 AB 恰有 2 个公共点,a 的取值范围为 $a=\frac{1}{4}$ 或 $a=\frac{\sqrt{3}}{6}$ 或 $a＞\frac{1}{3}$.