1. 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，若要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是().

A.$∠ CAB=∠ DBA$
B.$AB=BD$
C.$BC=AD$
D.$∠ ABC=∠ BAD$

1. C

【分析】
首先明确“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，且该定理仅适用于直角三角形的全等判定。观察可知Rt△ABC和Rt△BAD有公共斜边AB，因此斜边已经满足相等条件，要使用HL证明二者全等，只需再补充一组直角边对应相等即可，据此逐一分析选项即可得出答案。
【解析】
先明确两个直角三角形的边：
在Rt△ABC中，直角边为AC、BC，斜边为AB；在Rt△BAD中，直角边为AD、BD，斜边为AB，因此AB=BA（公共边），已满足HL判定的斜边相等条件。
对各选项逐一判断：
A. ∠CAB=∠DBA，结合∠C=∠D=90°、AB=BA，可通过AAS证明全等，不符合“HL”的判定要求，排除；
B. AB是Rt△ABC的斜边，BD是Rt△BAD的直角边，二者不是对应边，无法通过HL判定全等，排除；
C. BC=AD，为一组直角边对应相等，加上公共斜边AB=BA，符合“HL”判定的条件，当选；
D. ∠ABC=∠BAD，结合∠C=∠D=90°、AB=BA，可通过AAS证明全等，不符合“HL”的判定要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
HL判定定理，全等三角形判定，公共边性质
【点评】
本题重点考查HL判定定理的适用条件，做题时要注意HL仅适用于直角三角形，需同时满足斜边、一组直角边对应相等的要求，要注意区分不同全等判定定理的使用条件，避免混淆边、角的判定规则。
【难度系数】
0.7

2.如图，$AB=DE$，$AD⊥ BE$，垂足C是BE的中点.求证$AB// DE$.

证明 $\because AD⊥ BE$,
$\therefore ∠ ACB=∠ DCE=90°$.
$\because C$ 是 $BE$ 的中点，
$\therefore BC=CE$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEC$ 中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ BC=EC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ B=∠ E,$
$\therefore AB// DE.$

【分析】
要证明$AB// DE$，根据平行线的判定规则，只需证明内错角$∠ B=∠ E$即可。观察图形可知$∠ B$和$∠ E$分别属于$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$：由$AD⊥ BE$可得到两个三角形均为直角三角形，由$C$是$BE$中点可得到$BC=CE$，再结合已知$AB=DE$，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等的性质得到$∠ B=∠ E$，即可推出$AB// DE$。
【解析】
证明：$\because AD⊥ BE$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DCE=90°$，
$\because C$是$BE$的中点，
$\therefore BC=CE$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEC$中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ BC=EC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ B=∠ E$，
$\therefore AB// DE$。
【答案】
证明过程如上，可证得$AB// DE$。
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，将垂直、中点、三角形全等、平行线判定等知识点结合考察，解题的核心是先通过已知条件推导得到三角形全等的判定条件，进而得到相等的对应角，最终证明两直线平行，侧重考察基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8

3.如图,小明和小芳以相同的速度分别同时从点A,B出发,小明沿AC行走,小芳沿BD行走,两人分别同时到达点C,D,且$CB⊥ AB$,$DA⊥ AB$.

(1)CB与DA相等吗?为什么?
(2)若$∠ DAC=60°$,求$∠ DBA$的度数.

解 (1)$CB=DA$,理由：
由题意可得 $AC=BD$,
$\because CB⊥ AB,DA⊥ AB$,
$\therefore ∠ ABC=∠ BAD=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ BAD$ 中，
$\begin{cases} AC=BD,\\ AB=BA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ BAD(\mathrm{HL}),$
$\therefore CB=DA.$
(2)由题意可得 $∠ CAB=90°-60°=30°$,
又 $\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ BAD$,
$\therefore ∠ DBA=∠ BAC=30°.$

【分析】
(1) 要判断CB与DA是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先根据“速度相同、同时出发同时到达”可推得两人行走路程相等，即$AC=BD$；再结合$CB⊥AB$、$DA⊥AB$可知$△ ABC$和$△ BAD$都是直角三角形，且两个三角形有公共边$AB$，即可用HL定理证明两直角三角形全等，从而得到$CB=DA$。
(2) 先根据$∠ DAB$是直角，结合已知$∠ DAC=60°$求出$∠ CAB$的度数；再利用(1)中全等三角形对应角相等的性质，即可得到$∠ DBA$的度数。
【解析】
(1) $CB=DA$，理由如下：
由题意得小明和小芳的行走路程相等，即$AC=BD$。
$\because CB⊥ AB,DA⊥ AB$，
$\therefore ∠ ABC=∠ BAD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ BAD$中：
$\begin{cases}AC=BD\\AB=BA\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ BAD(\mathrm{HL})$，
$\therefore CB=DA$。
(2) $\because ∠ DAB=90°,∠ DAC=60°$，
$\therefore ∠ CAB=90°-60°=30°$。
由(1)知$\mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ BAD$，
$\therefore ∠ DBA=∠ BAC=30°$。
【答案】
(1) $CB=DA$，理由见解析；(2) $∠ DBA=30°$
【知识点】
HL全等判定、全等三角形的性质、直角的性质
【点评】
本题结合行程场景考查全等三角形的判定与性质，解题核心是将行程的等量关系转化为几何边的相等关系，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8

4.如图，$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，垂足分别为$D$，$E$，$BE$与$CD$相交于点$O$.如果$AB=AC$，那么图中全等的直角三角形的对数是().A.1 B.2 C.3 D.4

4. C 解析 $\because CD⊥ AB,BE⊥ AC$,
$\therefore ∠ ADC=∠ AEB=90°$.
在 $△ ADC$ 和 $△ AEB$ 中，
$\begin{cases} ∠ ADC=∠ AEB,\\ ∠ DAC=∠ EAB,\\ AC=AB, \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ AEB(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AD=AE,∠ C=∠ B.$
$\because AB=AC,$
$\therefore BD=CE.$
在 $△ BOD$ 和 $△ COE$ 中，
$\begin{cases} ∠ B=∠ C,\\ ∠ BOD=∠ COE,\\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BOD≌△ COE(\mathrm{AAS}),$
$\therefore OD=OE.$
在 $\mathrm{Rt}△ ADO$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEO$ 中，
$\begin{cases} OA=OA,\\ OD=OE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}),$
$\therefore$ 共有3对全等的直角三角形，
故选 C.

【分析】
要找出图中全等的直角三角形，可结合已知条件按从整体到局部的顺序逐一判定：首先已知CD⊥AB、BE⊥AC，可得多个直角，结合AB=AC的条件，先证明最大的两个直角三角形全等；再利用全等得到的边角相等的结论，依次证明相交形成的小直角三角形、以及共斜边的两个直角三角形全等，最后统计总对数即可。
【解析】
$\because CD⊥ AB,BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ ADC=∠ AEB=∠ BDO=∠ CEO=90°$。
① 证明$△ ADC ≌ △ AEB$：
在$△ ADC$和$△ AEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC=∠ AEB \\∠ DAC=∠ EAB \\AC=AB\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ AEB(\mathrm{AAS})$，
可得$AD=AE$，$∠ C=∠ B$。
$\because AB=AC$，$\therefore AB-AD=AC-AE$，即$BD=CE$。
② 证明$△ BOD ≌ △ COE$：
在$△ BOD$和$△ COE$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ BOD=∠ COE \\BD=CE\end{cases}$
$\therefore △ BOD≌△ COE(\mathrm{AAS})$，
可得$OD=OE$。
③ 证明$\mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO$：
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中，
$\begin{cases}OA=OA \\OD=OE\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL})$。
综上，全等的直角三角形共有3对。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定、HL定理、对顶角的性质
【点评】
本题考查全等直角三角形的判定，解题时要注意按顺序排查全等三角形，避免漏数；同时要学会将已证全等得到的边角相等结论，作为后续证明全等的条件，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7

5. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $∠ ABC = ∠ ADC = 90°$, $BE ⊥ AC$ 于点 $E$, $DF ⊥ AC$ 于点 $F$, $CF = AE$, $BC = DA$. 求证 $BE = DF$.

证明 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBA$ 中，$\begin{cases} DA=BC,\\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ CBA(\mathrm{HL}),$
$\therefore DC=BA.$
$\because BE⊥ AC,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠ AEB=∠ CFD=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中，
$\begin{cases} AE=CF,\\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),$
$\therefore BE=DF.$

【分析】
要证明$BE=DF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现，即证$\mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△CDF$。已知这两个三角形的一组直角边$AE=CF$，还缺少另一组直角边$AB=CD$的条件。结合已知$∠ ADC=∠ ABC=90°$、$DA=BC$、$AC$为公共斜边，可先利用HL定理证明$\mathrm{Rt}△ADC≌\mathrm{Rt}△CBA$，得到$AB=CD$的结论，补充后续全等证明的条件后即可推导出$BE=DF$。
【解析】
证明：在$\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBA$ 中，
$\begin{cases} DA=BC,\\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ CBA(\mathrm{HL}),$
$\therefore DC=BA.$
$\because BE⊥ AC,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠ AEB=∠ CFD=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中，
$\begin{cases} AE=CF,\\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),$
$\therefore BE=DF.$
【答案】
证明过程如上，可证得$BE=DF$。
【知识点】
直角三角形全等判定、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形应用的常规题型，重点考查利用三角形全等证明线段相等的方法，解题时可逆向分析待证结论所需的条件，再结合已知正向推导补齐条件，注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8