3. 如图，四边形ABCD的四个顶点都在$\odot O$上，DB平分$∠ ADC$，连接OC，OC与BD相交于点E，且$OC⊥ BD$。
(1)求证：$AB=CD$。
(2)若$CD=5$，$BD=8$，求$\odot O$的半径。

3. (1)证明：$\because DB$ 平分$∠ ADC$，
$\therefore∠ ADB=∠ CDB$.
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$.
$\because OC⊥ BD$,
$\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$.
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.
$\therefore AB=CD$.
(2)解：如图，连接OB，OD.
$\because OC⊥ BD$，$BD=8$，
$\therefore OC$ 平分 $BD$，即 $BE=DE=4$.
又$\because CD=5$，
$\therefore CE=\sqrt{CD^2-DE^2}=3$.
设$\odot O$ 的半径为 $r$，则
$OE=OC-CE=r-3$.
在 $\mathrm{Rt}△ ODE$ 中，$r^2=4^2+(r-3)^2$,
$\therefore r=\dfrac{25}{6}$.

4. 如图，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CD}$，且OD交AC于点E，连接DC并延长，交AB的延长线于点F.
(1)若$∠ A=16°$，求$∠ F$的度数.
(2)若$\odot O$的半径为6，$DE=4$，求CD的长.

4. 解：(1)如图，连接AD，OC.
$\because\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore∠ ACD=∠ DAC$.
$\because∠ AOD+∠ COD+∠ BOC=180°$,
$\therefore∠ ACD+∠ DAC+∠ CAB$
$=\dfrac{1}{2}(∠ AOD+∠ COD+∠ BOC)$
$=\dfrac{1}{2}×180°=90°$.
$\because∠ CAB=16°$,
$\therefore∠ ACD=\dfrac{90°-16°}{2}=37°$.
$\therefore∠ F=∠ ACD-∠ CAB=37°-16°=21°$.
(2)$\because\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore OD$ 垂直平分 $AC$.
在 $\mathrm{Rt}△ OCE$ 中，$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{6^2-(6-4)^2}=4\sqrt{2}$.
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中，$CD=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+4^2}=4\sqrt{3}$.

5. 只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条的宽为7 cm，AB = 6 cm，CD = 8 cm. 请帮他们计算纸杯杯口的直径.

5. 解：如图，设纸杯杯口所在圆的圆心为点O，EF 为纸条的宽，连接 OA，OC，则 $EF⊥ CD$，$EF⊥ AB$，
$\therefore CE=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$，$AF=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×6=3(\mathrm{cm})$.
设 $OE=x$，则 $OF=7-x$.
$\because OC=OA$,
$\therefore CE^2+OE^2=AF^2+OF^2$，即 $4^2+x^2=3^2+(7-x)^2$.
解得 $x=3$.
$\therefore OC=\sqrt{CE^2+OE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{cm})$.
$\therefore$ 纸杯杯口的直径为 10 cm.