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9. 下列式子一定是二次根式的是 【 】
A.$\sqrt{x}$
B.$\sqrt{x+2}$
C.$\sqrt{x^2 - 2}$
D.$\sqrt{x^2}$
A.$\sqrt{x}$
B.$\sqrt{x+2}$
C.$\sqrt{x^2 - 2}$
D.$\sqrt{x^2}$
答案
D
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二次根式，需紧扣二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子叫做二次根式，核心判定条件有两个：一是含有二次根号，二是被开方数必须是非负数。因此我们只需要逐一判断每个选项的被开方数是否在任意实数范围内都大于等于0即可。
【解析】
根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数：
A. $\sqrt{x}$的被开方数为$x$，当$x＜0$时，被开方数为负数，式子无意义，故不一定是二次根式；
B. $\sqrt{x+2}$的被开方数为$x+2$，当$x＜-2$时，$x+2＜0$，式子无意义，故不一定是二次根式；
C. $\sqrt{x^2 - 2}$的被开方数为$x^2 - 2$，当$x^2＜2$即$|x|＜\sqrt{2}$时，$x^2 - 2＜0$，式子无意义，故不一定是二次根式；
D. $\sqrt{x^2}$的被开方数为$x^2$，根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，即对任意实数$x$，$x^2≥ 0$恒成立，因此该式子一定是二次根式。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的判定；平方的非负性
【点评】
本题考查二次根式的基本判定，解题的关键是牢记二次根式中被开方数必须为非负数的要求，结合平方数的性质分析即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要判断一个式子是不是二次根式，需紧扣二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥ 0$）的式子叫做二次根式，核心判定条件有两个：一是含有二次根号，二是被开方数必须是非负数。因此我们只需要逐一判断每个选项的被开方数是否在任意实数范围内都大于等于0即可。
【解析】
根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数：
A. $\sqrt{x}$的被开方数为$x$，当$x＜0$时，被开方数为负数，式子无意义，故不一定是二次根式；
B. $\sqrt{x+2}$的被开方数为$x+2$，当$x＜-2$时，$x+2＜0$，式子无意义，故不一定是二次根式；
C. $\sqrt{x^2 - 2}$的被开方数为$x^2 - 2$，当$x^2＜2$即$|x|＜\sqrt{2}$时，$x^2 - 2＜0$，式子无意义，故不一定是二次根式；
D. $\sqrt{x^2}$的被开方数为$x^2$，根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，即对任意实数$x$，$x^2≥ 0$恒成立，因此该式子一定是二次根式。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的判定；平方的非负性
【点评】
本题考查二次根式的基本判定，解题的关键是牢记二次根式中被开方数必须为非负数的要求，结合平方数的性质分析即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
10. 已知实数$ a $满足$ |2026 - a| + \sqrt{a - 2027} = a $，那么$ a - 2026^2 $的值是 【 】
A.2024
B.2025
C.2026
D.2027
A.2024
B.2025
C.2026
D.2027
答案
D
解析
【分析】
解题首先要抓住二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数，由此先确定a的取值范围；再根据a的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号；最后对化简后的等式变形，即可求出目标式的值。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$a - 2027 ≥ 0$，解得$a ≥ 2027$。
第二步：判断绝对值内式子的符号，因为$a ≥ 2027＞2026$，所以$2026 - a ＜ 0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，因此$|2026 - a| = a - 2026$。
第三步：将化简后的绝对值代入原等式：
$a - 2026 + \sqrt{a - 2027} = a$
等式两边同时减去a，得：
$\sqrt{a - 2027} = 2026$
第四步：等式两边同时平方，去掉根号：
$a - 2027 = 2026^2$
移项可得：$a - 2026^2 = 2027$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的性质；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式概念的基础综合题，解题的突破口是优先考虑二次根式的被开方数非负，确定参数范围后再化简绝对值，考察对基础概念的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题首先要抓住二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数，由此先确定a的取值范围；再根据a的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号；最后对化简后的等式变形，即可求出目标式的值。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，可得：
$a - 2027 ≥ 0$，解得$a ≥ 2027$。
第二步：判断绝对值内式子的符号，因为$a ≥ 2027＞2026$，所以$2026 - a ＜ 0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，因此$|2026 - a| = a - 2026$。
第三步：将化简后的绝对值代入原等式：
$a - 2026 + \sqrt{a - 2027} = a$
等式两边同时减去a，得：
$\sqrt{a - 2027} = 2026$
第四步：等式两边同时平方，去掉根号：
$a - 2027 = 2026^2$
移项可得：$a - 2026^2 = 2027$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的性质；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式概念的基础综合题，解题的突破口是优先考虑二次根式的被开方数非负，确定参数范围后再化简绝对值，考察对基础概念的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 当$x$为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) 当$x$
(2) 若式子$\frac{\sqrt{2x + 1}}{x - 4} + x^0$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围为
(1) 当$x$
为任意实数
时，$\sqrt{x^2 - 2x + 1}$在实数范围内有意义；(2) 若式子$\frac{\sqrt{2x + 1}}{x - 4} + x^0$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围为
$x ≥ -\frac{1}{2}$ 且 $x ≠ 4$, $x ≠ 0$
。答案
11. (1) 为任意实数
(2) $x ≥ -\frac{1}{2}$ 且 $x ≠ 4$, $x ≠ 0$
(2) $x ≥ -\frac{1}{2}$ 且 $x ≠ 4$, $x ≠ 0$
解析
【分析】
解题前先明确各类代数式有意义的限制条件：①二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；②分式有意义的条件是分母不为0；③零指数幂有意义的条件是底数不为0。
(1) 先对根号下的多项式因式分解，判断其取值范围即可得到x的取值；
(2) 需同时满足二次根式、分式、零指数幂的有意义条件，列出所有不等式求解后取公共解集即可。
【解析】
(1) 先化简被开方数：$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$，
根据平方的非负性，对任意实数$x$，都有$(x-1)^2 ≥ 0$，满足二次根式被开方数非负的要求，因此$x$为任意实数时，原式有意义。
(2) 要使式子有意义，需同时满足以下三个条件：
① 二次根式的被开方数非负：$2x+1 ≥ 0$，解得$x ≥ -\frac{1}{2}$；
② 分式的分母不为0：$x-4 ≠ 0$，解得$x ≠ 4$；
③ 零指数幂的底数不为0：$x ≠ 0$；
取三个解集的公共部分，得$x$的取值范围是$x ≥ -\frac{1}{2}$且$x ≠ 4$，$x ≠ 0$。
【答案】
(1) 为任意实数
(2) $x ≥ -\frac{1}{2}$ 且 $x ≠ 4$, $x ≠ 0$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；零指数幂的定义
【点评】
本题考查代数式有意义的取值范围求解，解题时需逐一梳理式子中包含的所有限制条件，不要遗漏零指数幂、分母的隐含要求，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8
解题前先明确各类代数式有意义的限制条件：①二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；②分式有意义的条件是分母不为0；③零指数幂有意义的条件是底数不为0。
(1) 先对根号下的多项式因式分解，判断其取值范围即可得到x的取值；
(2) 需同时满足二次根式、分式、零指数幂的有意义条件，列出所有不等式求解后取公共解集即可。
【解析】
(1) 先化简被开方数：$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$，
根据平方的非负性，对任意实数$x$，都有$(x-1)^2 ≥ 0$，满足二次根式被开方数非负的要求，因此$x$为任意实数时，原式有意义。
(2) 要使式子有意义，需同时满足以下三个条件：
① 二次根式的被开方数非负：$2x+1 ≥ 0$，解得$x ≥ -\frac{1}{2}$；
② 分式的分母不为0：$x-4 ≠ 0$，解得$x ≠ 4$；
③ 零指数幂的底数不为0：$x ≠ 0$；
取三个解集的公共部分，得$x$的取值范围是$x ≥ -\frac{1}{2}$且$x ≠ 4$，$x ≠ 0$。
【答案】
(1) 为任意实数
(2) $x ≥ -\frac{1}{2}$ 且 $x ≠ 4$, $x ≠ 0$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；零指数幂的定义
【点评】
本题考查代数式有意义的取值范围求解，解题时需逐一梳理式子中包含的所有限制条件，不要遗漏零指数幂、分母的隐含要求，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8
12. 已知$△ ABC$的三边分别为$a$、$b$、$c$，且$a$、$b$满足$b=\sqrt{7-a}+\sqrt{a-7}+24$，$c=25$，则$S_{△ ABC}=$
84
。答案
12. 84
解析
【分析】
要计算三角形的面积，首先需要确定三角形三边长的具体值。已知c=25，a、b满足含二次根式的等式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，可先列出关于a的不等式组求出a的值，再代入计算得到b的值，最后通过三边长度判断三角形的形状，进而求出面积。
【解析】
1. 求a的取值：
根据二次根式有意义的条件，可得不等式组：
$\begin{cases}7-a≥0 \\ a-7≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$a≤7$，解第二个不等式得$a≥7$，因此$a=7$。
2. 求b的值：
将$a=7$代入$b=\sqrt{7-a}+\sqrt{a-7}+24$，得：
$b=\sqrt{0}+\sqrt{0}+24=24$
3. 判断三角形形状：
已知三角形三边长为a=7，b=24，c=25，计算得：
$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，即$a^2+b^2=c^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形，且直角边为a、b。
4. 计算三角形面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×7×24=84$
【答案】
84
【知识点】
二次根式有意义的条件；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先利用二次根式的非负性求出a、b的值，再结合勾股逆定理判断三角形为直角三角形，代入面积公式即可求解，需要熟练掌握二次根式的基本性质和常见勾股数。
【难度系数】
0.75
要计算三角形的面积，首先需要确定三角形三边长的具体值。已知c=25，a、b满足含二次根式的等式，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，可先列出关于a的不等式组求出a的值，再代入计算得到b的值，最后通过三边长度判断三角形的形状，进而求出面积。
【解析】
1. 求a的取值：
根据二次根式有意义的条件，可得不等式组：
$\begin{cases}7-a≥0 \\ a-7≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$a≤7$，解第二个不等式得$a≥7$，因此$a=7$。
2. 求b的值：
将$a=7$代入$b=\sqrt{7-a}+\sqrt{a-7}+24$，得：
$b=\sqrt{0}+\sqrt{0}+24=24$
3. 判断三角形形状：
已知三角形三边长为a=7，b=24，c=25，计算得：
$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，即$a^2+b^2=c^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形，且直角边为a、b。
4. 计算三角形面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×7×24=84$
【答案】
84
【知识点】
二次根式有意义的条件；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先利用二次根式的非负性求出a、b的值，再结合勾股逆定理判断三角形为直角三角形，代入面积公式即可求解，需要熟练掌握二次根式的基本性质和常见勾股数。
【难度系数】
0.75
13. 已知$\sqrt{2x + 4y -5} + |2x -2 + y| =0$. 求：
(1) $x$、$y$的值；
(2) $4x + y$的平方根.
(1) $x$、$y$的值；
(2) $4x + y$的平方根.
答案
(1) 由题意,得$\begin{cases} 2x + 4y - 5 = 0, \\ 2x - 2 + y = 0, \end{cases}$ 解得 $x = \frac{1}{2}$, $y = 1$
(2) $4x + y = 4 × \frac{1}{2} + 1 = 3$. $\because 3$ 的平方根是 $\pm \sqrt{3}$,$\therefore 4x + y$ 的平方根是 $\pm \sqrt{3}$
(2) $4x + y = 4 × \frac{1}{2} + 1 = 3$. $\because 3$ 的平方根是 $\pm \sqrt{3}$,$\therefore 4x + y$ 的平方根是 $\pm \sqrt{3}$
解析
【分析】
首先回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的取值都是非负的（即大于等于0），当两个非负数的和为0时，只能是这两个非负数各自等于0。据此我们可以列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组就能得到x、y的取值；第二问将求出的x、y代入$4x+y$计算出结果，再根据平方根的定义求其平方根即可。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{2x + 4y -5} ≥ 0$，$|2x -2 + y| ≥ 0$，且二者之和为0，根据非负数的性质可得：
$\begin{cases} 2x + 4y - 5 = 0 \quad ① \\ 2x + y - 2 = 0 \quad ② \end{cases}$
用①式减去②式消去x，得：$3y-3=0$，解得$y=1$。
将$y=1$代入②式，得$2x+1-2=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。
(2) 将$x=\frac{1}{2}$，$y=1$代入$4x+y$，得：
$4x+y=4×\frac{1}{2}+1=3$。
根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，因此3的平方根为$\pm\sqrt{3}$，即$4x+y$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x=\frac{1}{2}$，$y=1$
(2) $\pm\sqrt{3}$
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法，平方根的定义
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考点是常见非负数的性质，只要掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”这个规律，再结合方程组求解和平方根的相关知识就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
首先回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的取值都是非负的（即大于等于0），当两个非负数的和为0时，只能是这两个非负数各自等于0。据此我们可以列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组就能得到x、y的取值；第二问将求出的x、y代入$4x+y$计算出结果，再根据平方根的定义求其平方根即可。
【解析】
(1) 已知$\sqrt{2x + 4y -5} ≥ 0$，$|2x -2 + y| ≥ 0$，且二者之和为0，根据非负数的性质可得：
$\begin{cases} 2x + 4y - 5 = 0 \quad ① \\ 2x + y - 2 = 0 \quad ② \end{cases}$
用①式减去②式消去x，得：$3y-3=0$，解得$y=1$。
将$y=1$代入②式，得$2x+1-2=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。
(2) 将$x=\frac{1}{2}$，$y=1$代入$4x+y$，得：
$4x+y=4×\frac{1}{2}+1=3$。
根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，因此3的平方根为$\pm\sqrt{3}$，即$4x+y$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x=\frac{1}{2}$，$y=1$
(2) $\pm\sqrt{3}$
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法，平方根的定义
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考点是常见非负数的性质，只要掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”这个规律，再结合方程组求解和平方根的相关知识就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
14. 已知实数$a$、$b$满足$a=\frac{\sqrt{b^2 -9}+\sqrt{9 -b^2}+6}{b -3}$，求$|a -2b|-\sqrt{12ab}$的值。
答案
要使$a =\frac{\sqrt{b^2 -9}+\sqrt{9 -b^2}+6}{b - 3}$有意义,则$b^2 - 9 ≥ 0$且$9 - b^2 ≥ 0$, $b - 3 ≠ 0$. 解得$b = -3$. $\therefore a = \frac{0 + 0 + 6}{-3 - 3} = -1$. $\therefore | a - 2b | - \sqrt{12ab} = |-1 - 2 × (-3) | - \sqrt{12 × (-1) × (-3)} = -1$
解析
【分析】
要计算待求代数式的值，需先求出参数a、b的取值。观察已知的a的表达式，既包含二次根式又包含分式，因此首先根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）、分式有意义的条件（分母不为0），列出关于b的不等式组，求解得到b的取值后，代入表达式算出a的值，最后将a、b的取值代入待求代数式，按照绝对值和二次根式的运算规则计算即可。
【解析】
要使$a =\frac{\sqrt{b^2 -9}+\sqrt{9 -b^2}+6}{b - 3}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式被开方数非负：$\begin{cases}b^2 - 9 ≥ 0 \\9 - b^2 ≥ 0 \end{cases}$，由此可得$b^2 - 9 = 0$，即$b^2=9$，解得$b=±3$；
2. 分式分母不为0：$b - 3 ≠ 0$，即$b≠3$。
综上可得$b=-3$。
将$b=-3$代入a的表达式，得：
$a = \frac{\sqrt{(-3)^2 -9}+\sqrt{9 - (-3)^2}+6}{-3 - 3} = \frac{0 + 0 + 6}{-6} = -1$
再将$a=-1$，$b=-3$代入$|a - 2b|-\sqrt{12ab}$计算：
$\begin{aligned}|a - 2b|-\sqrt{12ab} &= |-1 - 2×(-3)| - \sqrt{12×(-1)×(-3)} \\&= |-1 + 6| - \sqrt{36} \\&= 5 - 6 \\&= -1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式有意义的条件，绝对值化简，代数式求值
【点评】
本题解题的关键是挖掘出二次根式被开方数非负的隐含条件，先确定参数b的取值，解题时需注意不要遗漏分母不为0的限制，避免误取$b=3$导致错误。
【难度系数】
0.6
要计算待求代数式的值，需先求出参数a、b的取值。观察已知的a的表达式，既包含二次根式又包含分式，因此首先根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）、分式有意义的条件（分母不为0），列出关于b的不等式组，求解得到b的取值后，代入表达式算出a的值，最后将a、b的取值代入待求代数式，按照绝对值和二次根式的运算规则计算即可。
【解析】
要使$a =\frac{\sqrt{b^2 -9}+\sqrt{9 -b^2}+6}{b - 3}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式被开方数非负：$\begin{cases}b^2 - 9 ≥ 0 \\9 - b^2 ≥ 0 \end{cases}$，由此可得$b^2 - 9 = 0$，即$b^2=9$，解得$b=±3$；
2. 分式分母不为0：$b - 3 ≠ 0$，即$b≠3$。
综上可得$b=-3$。
将$b=-3$代入a的表达式，得：
$a = \frac{\sqrt{(-3)^2 -9}+\sqrt{9 - (-3)^2}+6}{-3 - 3} = \frac{0 + 0 + 6}{-6} = -1$
再将$a=-1$，$b=-3$代入$|a - 2b|-\sqrt{12ab}$计算：
$\begin{aligned}|a - 2b|-\sqrt{12ab} &= |-1 - 2×(-3)| - \sqrt{12×(-1)×(-3)} \\&= |-1 + 6| - \sqrt{36} \\&= 5 - 6 \\&= -1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式有意义的条件，绝对值化简，代数式求值
【点评】
本题解题的关键是挖掘出二次根式被开方数非负的隐含条件，先确定参数b的取值，解题时需注意不要遗漏分母不为0的限制，避免误取$b=3$导致错误。
【难度系数】
0.6
