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3. 若使代数式$\sqrt{2 - 5x}$有意义，则$x$的 【 】
A.最大值是$\frac{2}{5}$
B.最小值是$\frac{2}{5}$
C.最大值是$\frac{5}{2}$
D.最小值是$\frac{5}{2}$
A.最大值是$\frac{2}{5}$
B.最小值是$\frac{2}{5}$
C.最大值是$\frac{5}{2}$
D.最小值是$\frac{5}{2}$
答案
A
解析
【分析】
要确定使代数式$\sqrt{2 - 5x}$有意义时x的最值，首先需明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。我们可以根据这个条件列出关于x的不等式，解不等式得到x的取值范围后，再根据取值范围判断x存在最大值还是最小值，对应匹配选项即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{2 - 5x}$有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$2 - 5x ≥ 0$
移项可得：$-5x ≥ -2$
不等式两边同时除以$-5$，注意不等号方向改变，得：
$x ≤ \frac{2}{5}$
由此可知x的取值最大为$\frac{2}{5}$，没有最小值，因此x的最大值是$\frac{2}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是牢记二次根式被开方数非负的性质，解不等式时注意不等号方向的变化规则，避免因符号失误选错答案。
【难度系数】
0.9
要确定使代数式$\sqrt{2 - 5x}$有意义时x的最值，首先需明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数。我们可以根据这个条件列出关于x的不等式，解不等式得到x的取值范围后，再根据取值范围判断x存在最大值还是最小值，对应匹配选项即可。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{2 - 5x}$有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$2 - 5x ≥ 0$
移项可得：$-5x ≥ -2$
不等式两边同时除以$-5$，注意不等号方向改变，得：
$x ≤ \frac{2}{5}$
由此可知x的取值最大为$\frac{2}{5}$，没有最小值，因此x的最大值是$\frac{2}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是牢记二次根式被开方数非负的性质，解不等式时注意不等号方向的变化规则，避免因符号失误选错答案。
【难度系数】
0.9
4. 若代数式$\frac{\sqrt{x+3}}{x-2}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围为 【 】
A.$x＜-3$
B.$x≥-3$
C.$x＞2$
D.$x≥-3$且$x≠2$
A.$x＜-3$
B.$x≥-3$
C.$x＞2$
D.$x≥-3$且$x≠2$
答案
D
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，首先观察代数式的构成：包含二次根式和分式，需同时满足两类式子有意义的要求。首先回忆二次根式的要求：被开方数必须是非负数；其次回忆分式的要求：分母不能为0。分别根据两个要求列出不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到最终x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{x+3}}{x-2}$在实数范围内有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+3≥0$，解得$x≥-3$；
2. 分式的分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$。
将两个条件综合，可得x的取值范围是$x≥-3$且$x≠2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是代数式有意义类的基础常考题，解题时要先梳理代数式包含的所有运算形式，逐一对应列出限制条件，避免遗漏分母不为0的要求导致错选。
【难度系数】
0.8
要确定代数式有意义时x的取值范围，首先观察代数式的构成：包含二次根式和分式，需同时满足两类式子有意义的要求。首先回忆二次根式的要求：被开方数必须是非负数；其次回忆分式的要求：分母不能为0。分别根据两个要求列出不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到最终x的取值范围。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{x+3}}{x-2}$在实数范围内有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+3≥0$，解得$x≥-3$；
2. 分式的分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$。
将两个条件综合，可得x的取值范围是$x≥-3$且$x≠2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是代数式有意义类的基础常考题，解题时要先梳理代数式包含的所有运算形式，逐一对应列出限制条件，避免遗漏分母不为0的要求导致错选。
【难度系数】
0.8
5. 若式子$\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$有意义，则$x$的取值范围是
$x ＞ \frac{1}{2}$
。答案
5. $x ＞ \frac{1}{2}$
解析
【分析】要使含二次根式的分式有意义，需同时满足两个要求：第一，二次根式的被开方数为非负数；第二，分式的分母不能为0。结合这两个条件列出关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
∵ 式子$\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$有意义，
∴ 需同时满足：① 二次根式的被开方数$2x-1≥0$；② 分母$\sqrt{2x-1}≠0$，
联立两个条件可得：$2x-1＞0$，
解不等式：
$2x＞1$，
$x＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$x＞\frac{1}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题型，解题时需结合代数式的结构梳理所有限制条件，易错点是忽略分母不为0的要求，错误得到$x≥\frac{1}{2}$的结果，答题时要注意验证条件的完整性。
【难度系数】
0.85
【解析】
∵ 式子$\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$有意义，
∴ 需同时满足：① 二次根式的被开方数$2x-1≥0$；② 分母$\sqrt{2x-1}≠0$，
联立两个条件可得：$2x-1＞0$，
解不等式：
$2x＞1$，
$x＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$x＞\frac{1}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题型，解题时需结合代数式的结构梳理所有限制条件，易错点是忽略分母不为0的要求，错误得到$x≥\frac{1}{2}$的结果，答题时要注意验证条件的完整性。
【难度系数】
0.85
6. 已知实数$a$、$b$满足$\sqrt{a - 4} + (b + 3)^2 = 0$，则$a + b$的算术平方根是
1
.答案
6. 1
解析
【分析】
首先回忆非负数的性质：初中阶段常见的非负数包括二次根式（算术平方根）、偶次幂、绝对值三类，当几个非负数的和为0时，这几个非负数各自的值都为0。本题中等式左边是二次根式与平方项相加，二者都属于非负数，因此可以分别令两个部分等于0，求出a、b的取值，再计算a+b的结果，最后求其算术平方根即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a - 4} ≥ 0$，$(b + 3)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{a - 4} + (b + 3)^2 = 0$
∴ 根据非负数的性质可得：
$\sqrt{a - 4} = 0$，$(b + 3)^2 = 0$
即 $a - 4 = 0$，$b + 3 = 0$
解得 $a = 4$，$b = -3$
∴ $a + b = 4 + (-3) = 1$
∵ 1的算术平方根为$\sqrt{1}=1$
∴ $a + b$的算术平方根是1。
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质；二次根式的非负性；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”的规律，再结合算术平方根的定义计算即可，主要考查对基础概念的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
首先回忆非负数的性质：初中阶段常见的非负数包括二次根式（算术平方根）、偶次幂、绝对值三类，当几个非负数的和为0时，这几个非负数各自的值都为0。本题中等式左边是二次根式与平方项相加，二者都属于非负数，因此可以分别令两个部分等于0，求出a、b的取值，再计算a+b的结果，最后求其算术平方根即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a - 4} ≥ 0$，$(b + 3)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{a - 4} + (b + 3)^2 = 0$
∴ 根据非负数的性质可得：
$\sqrt{a - 4} = 0$，$(b + 3)^2 = 0$
即 $a - 4 = 0$，$b + 3 = 0$
解得 $a = 4$，$b = -3$
∴ $a + b = 4 + (-3) = 1$
∵ 1的算术平方根为$\sqrt{1}=1$
∴ $a + b$的算术平方根是1。
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质；二次根式的非负性；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”的规律，再结合算术平方根的定义计算即可，主要考查对基础概念的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
7. x是怎样的实数时,下列式子有意义?
(1) $\sqrt{4 - 3x}$；
(2) $\sqrt{x - 3} + \sqrt{5 - x}$；
(3) $\sqrt{(x + 1)^2}$；
(4) $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 3}}$。
(1) $\sqrt{4 - 3x}$；
(2) $\sqrt{x - 3} + \sqrt{5 - x}$；
(3) $\sqrt{(x + 1)^2}$；
(4) $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 3}}$。
答案
(1) 由$4 - 3x ≥ 0$,得$x ≤ \frac{4}{3}$.$\therefore$ 当$x ≤ \frac{4}{3}$时，$\sqrt{4 - 3x}$有意义
(2) 由$\begin{cases} x - 3 ≥ 0, \\ 5 - x ≥ 0, \end{cases}$得$3 ≤ x ≤ 5$.$\therefore$ 当$3 ≤ x ≤ 5$时,$\sqrt{x - 3} + \sqrt{5 - x}$有意义
(3) 无论$x$为何实数，$(x + 1)^2$都是非负数.$\therefore x$取任意实数时,$\sqrt{(x + 1)^2}$有意义
(4) 由$\begin{cases} x - 1 ≥ 0, \\ x - 3 ＞ 0, \end{cases}$得$x ＞ 3$.$\therefore$ 当$x ＞ 3$时,$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 3}}$有意义
(2) 由$\begin{cases} x - 3 ≥ 0, \\ 5 - x ≥ 0, \end{cases}$得$3 ≤ x ≤ 5$.$\therefore$ 当$3 ≤ x ≤ 5$时,$\sqrt{x - 3} + \sqrt{5 - x}$有意义
(3) 无论$x$为何实数，$(x + 1)^2$都是非负数.$\therefore x$取任意实数时,$\sqrt{(x + 1)^2}$有意义
(4) 由$\begin{cases} x - 1 ≥ 0, \\ x - 3 ＞ 0, \end{cases}$得$x ＞ 3$.$\therefore$ 当$x ＞ 3$时,$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 3}}$有意义
解析
【分析】
要确定含二次根式的式子有意义，核心依据两个规则：①二次根式的被开方数必须是非负数（即≥0）；②若式子含有分母，则分母不能为0。解题时根据每个小问的式子结构列对应的不等式或不等式组求解即可：
(1) 仅含单个二次根式，直接令被开方数4-3x≥0求解；
(2) 两个二次根式相加，需两个被开方数同时满足非负，列一元一次不等式组求解；
(3) 被开方数是完全平方式，结合平方的非负性判断即可；
(4) 是分式且分子分母均含二次根式，需分子的被开方数≥0，分母的被开方数＞0（保证分母不为0），列不等式组求解。
【解析】
(1) 要使$\sqrt{4 - 3x}$有意义，被开方数需满足：
$4 - 3x ≥ 0$
解不等式得$x ≤ \frac{4}{3}$。
(2) 要使$\sqrt{x - 3} + \sqrt{5 - x}$有意义，两个二次根式的被开方数均需非负，列不等式组：
$\begin{cases} x - 3 ≥ 0 \\ 5 - x ≥ 0 \end{cases}$
解$x-3≥0$得$x≥3$，解$5-x≥0$得$x≤5$，因此解集为$3 ≤ x ≤ 5$。
(3) 对任意实数$x$，由平方的非负性可知$(x + 1)^2 ≥ 0$恒成立，因此$\sqrt{(x + 1)^2}$的被开方数始终满足要求。
(4) 要使$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 3}}$有意义，分子被开方数非负且分母不为0，列不等式组：
$\begin{cases} x - 1 ≥ 0 \\ x - 3 ＞ 0 \end{cases}$
解$x-1≥0$得$x≥1$，解$x-3＞0$得$x＞3$，因此解集为$x ＞ 3$。
【答案】
(1) 当$x ≤ \frac{4}{3}$时，$\sqrt{4 - 3x}$有意义
(2) 当$3 ≤ x ≤ 5$时,$\sqrt{x - 3} + \sqrt{5 - x}$有意义
(3) x取任意实数时,$\sqrt{(x + 1)^2}$有意义
(4) 当$x ＞ 3$时,$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 3}}$有意义
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元一次不等式（组）的解法；分式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，解题核心是根据式子结构准确列出约束条件，尤其注意分母含二次根式时，被开方数要大于0，避免遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
要确定含二次根式的式子有意义，核心依据两个规则：①二次根式的被开方数必须是非负数（即≥0）；②若式子含有分母，则分母不能为0。解题时根据每个小问的式子结构列对应的不等式或不等式组求解即可：
(1) 仅含单个二次根式，直接令被开方数4-3x≥0求解；
(2) 两个二次根式相加，需两个被开方数同时满足非负，列一元一次不等式组求解；
(3) 被开方数是完全平方式，结合平方的非负性判断即可；
(4) 是分式且分子分母均含二次根式，需分子的被开方数≥0，分母的被开方数＞0（保证分母不为0），列不等式组求解。
【解析】
(1) 要使$\sqrt{4 - 3x}$有意义，被开方数需满足：
$4 - 3x ≥ 0$
解不等式得$x ≤ \frac{4}{3}$。
(2) 要使$\sqrt{x - 3} + \sqrt{5 - x}$有意义，两个二次根式的被开方数均需非负，列不等式组：
$\begin{cases} x - 3 ≥ 0 \\ 5 - x ≥ 0 \end{cases}$
解$x-3≥0$得$x≥3$，解$5-x≥0$得$x≤5$，因此解集为$3 ≤ x ≤ 5$。
(3) 对任意实数$x$，由平方的非负性可知$(x + 1)^2 ≥ 0$恒成立，因此$\sqrt{(x + 1)^2}$的被开方数始终满足要求。
(4) 要使$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 3}}$有意义，分子被开方数非负且分母不为0，列不等式组：
$\begin{cases} x - 1 ≥ 0 \\ x - 3 ＞ 0 \end{cases}$
解$x-1≥0$得$x≥1$，解$x-3＞0$得$x＞3$，因此解集为$x ＞ 3$。
【答案】
(1) 当$x ≤ \frac{4}{3}$时，$\sqrt{4 - 3x}$有意义
(2) 当$3 ≤ x ≤ 5$时,$\sqrt{x - 3} + \sqrt{5 - x}$有意义
(3) x取任意实数时,$\sqrt{(x + 1)^2}$有意义
(4) 当$x ＞ 3$时,$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 3}}$有意义
【知识点】
二次根式有意义的条件；一元一次不等式（组）的解法；分式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，解题核心是根据式子结构准确列出约束条件，尤其注意分母含二次根式时，被开方数要大于0，避免遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
8. 已知$a$、$b$为实数，且$\sqrt{a - 5} + 2\sqrt{10 - 2a} = b + 4$，求$a$、$b$的值。
答案
由题意知,$a - 5 ≥ 0$,$10 - 2a ≥ 0$. $\therefore a = 5$. $\therefore b + 4 = 0$,即$b = -4$
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆二次根式的核心性质：二次根式的被开方数必须是非负数，这是题目给出的隐含限制条件。我们首先根据两个二次根式有意义的要求，列出关于a的不等式组，求解得到a的取值，再将a的值代入原式，即可求出b的值。
【解析】
根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），可得：
$\begin{cases}a - 5 ≥ 0 \\10 - 2a ≥ 0\end{cases}$
解不等式$a - 5 ≥ 0$，得$a ≥ 5$；
解不等式$10 - 2a ≥ 0$，移项化简得$a ≤ 5$；
因此a的取值只能为$a=5$。
将$a=5$代入原式$\sqrt{a - 5} + 2\sqrt{10 - 2a} = b + 4$，左边计算得$\sqrt{0} + 2\sqrt{0} = 0$，
因此$b + 4 = 0$，解得$b = -4$。
【答案】
$a=5$，$b=-4$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是二次根式概念的基础常考题，解题核心是抓住二次根式被开方数为非负数的隐含限制条件，先确定未知字母的取值再代入计算即可，解题时注意不要忽略隐含条件盲目变形。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先回忆二次根式的核心性质：二次根式的被开方数必须是非负数，这是题目给出的隐含限制条件。我们首先根据两个二次根式有意义的要求，列出关于a的不等式组，求解得到a的取值，再将a的值代入原式，即可求出b的值。
【解析】
根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），可得：
$\begin{cases}a - 5 ≥ 0 \\10 - 2a ≥ 0\end{cases}$
解不等式$a - 5 ≥ 0$，得$a ≥ 5$；
解不等式$10 - 2a ≥ 0$，移项化简得$a ≤ 5$；
因此a的取值只能为$a=5$。
将$a=5$代入原式$\sqrt{a - 5} + 2\sqrt{10 - 2a} = b + 4$，左边计算得$\sqrt{0} + 2\sqrt{0} = 0$，
因此$b + 4 = 0$，解得$b = -4$。
【答案】
$a=5$，$b=-4$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是二次根式概念的基础常考题，解题核心是抓住二次根式被开方数为非负数的隐含限制条件，先确定未知字母的取值再代入计算即可，解题时注意不要忽略隐含条件盲目变形。
【难度系数】
0.8
