登录
8. 用配方法解下列方程：
(1) $3x^2 - 6x = 8$；
(2) $2x^2 + 6 = 7x$；
(3) $2x^2 - 5x + 3 = 0$；
(4) $4x^2 - 3x - 1 = 0$；
(1) $3x^2 - 6x = 8$；
(2) $2x^2 + 6 = 7x$；
(3) $2x^2 - 5x + 3 = 0$；
(4) $4x^2 - 3x - 1 = 0$；
答案
(1) 原方程可化为$x^2 - 2x = \frac{8}{3}$. 配方，得$x^2 - 2x + 1 = \frac{8}{3} + 1$. $\therefore (x - 1)^2 = \frac{11}{3}$. 直接开平方，得$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$. $\therefore x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$
(2) 原方程可化为$x^2 - \frac{7}{2}x = -3$. 配方，得$x^2 - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^2 = -3 + (\frac{7}{4})^2$. $\therefore (x - \frac{7}{4})^2 = \frac{1}{16}$. 直接开平方，得$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{1}{4}$. $\therefore x_1 = 2$，$x_2 = \frac{3}{2}$
(3) 原方程可化为$x^2 - \frac{5}{2}x = -\frac{3}{2}$. 配方，得$x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 = -\frac{3}{2} + (\frac{5}{4})^2$. $\therefore (x - \frac{5}{4})^2 = \frac{1}{16}$. 直接开平方，得$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{1}{4}$. $\therefore x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = 1$
(4) 原方程可化为$x^2 - \frac{3}{4}x = \frac{1}{4}$. 配方，得$x^2 - \frac{3}{4}x + (\frac{3}{8})^2 = \frac{1}{4} + (\frac{3}{8})^2$. $\therefore (x - \frac{3}{8})^2 = \frac{25}{64}$. 直接开平方，得$x - \frac{3}{8} = \pm \frac{5}{8}$. $\therefore x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{1}{4}$
(2) 原方程可化为$x^2 - \frac{7}{2}x = -3$. 配方，得$x^2 - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^2 = -3 + (\frac{7}{4})^2$. $\therefore (x - \frac{7}{4})^2 = \frac{1}{16}$. 直接开平方，得$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{1}{4}$. $\therefore x_1 = 2$，$x_2 = \frac{3}{2}$
(3) 原方程可化为$x^2 - \frac{5}{2}x = -\frac{3}{2}$. 配方，得$x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 = -\frac{3}{2} + (\frac{5}{4})^2$. $\therefore (x - \frac{5}{4})^2 = \frac{1}{16}$. 直接开平方，得$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{1}{4}$. $\therefore x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = 1$
(4) 原方程可化为$x^2 - \frac{3}{4}x = \frac{1}{4}$. 配方，得$x^2 - \frac{3}{4}x + (\frac{3}{8})^2 = \frac{1}{4} + (\frac{3}{8})^2$. $\therefore (x - \frac{3}{8})^2 = \frac{25}{64}$. 直接开平方，得$x - \frac{3}{8} = \pm \frac{5}{8}$. $\therefore x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{1}{4}$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的通用步骤为：①二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数；②移项：将常数项移到等号右侧，含未知数的项留在左侧；③配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；④开平方：若右侧是非负数，直接开平方转化为两个一元一次方程；⑤求解一元一次方程得到原方程的根。本题4个小题均按照该步骤逐步求解即可。
【解析】
(1) 原方程两边同时除以3，得$x^2 - 2x = \frac{8}{3}$。配方，两边同时加1，得$x^2 - 2x + 1 = \frac{8}{3} + 1$，即$(x - 1)^2 = \frac{11}{3}$。直接开平方，得$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$，解得$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$。
(2) 移项得$2x^2 -7x = -6$，两边同时除以2得$x^2 - \frac{7}{2}x = -3$。配方，两边同时加$(\frac{7}{4})^2$，得$x^2 - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^2 = -3 + (\frac{7}{4})^2$，即$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{1}{16}$。直接开平方得$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{1}{4}$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{3}{2}$。
(3) 移项得$2x^2 -5x = -3$，两边同时除以2得$x^2 - \frac{5}{2}x = -\frac{3}{2}$。配方，两边同时加$(\frac{5}{4})^2$，得$x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 = -\frac{3}{2} + (\frac{5}{4})^2$，即$(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{1}{16}$。直接开平方得$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{1}{4}$，解得$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = 1$。
(4) 移项得$4x^2 -3x = 1$，两边同时除以4得$x^2 - \frac{3}{4}x = \frac{1}{4}$。配方，两边同时加$(\frac{3}{8})^2$，得$x^2 - \frac{3}{4}x + (\frac{3}{8})^2 = \frac{1}{4} + (\frac{3}{8})^2$，即$(x - \frac{3}{8})^2 = \frac{25}{64}$。直接开平方得$x - \frac{3}{8} = \pm \frac{5}{8}$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$；
(2) $x_1 = 2$，$x_2 = \frac{3}{2}$；
(3) $x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = 1$；
(4) $x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{1}{4}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
这是配方法解一元二次方程的基础训练题，核心考查配方法的标准操作步骤，易错点为配方时仅给方程左侧加常数、忘记给右侧同步添加，熟练掌握步骤就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
配方法解一元二次方程的通用步骤为：①二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数；②移项：将常数项移到等号右侧，含未知数的项留在左侧；③配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；④开平方：若右侧是非负数，直接开平方转化为两个一元一次方程；⑤求解一元一次方程得到原方程的根。本题4个小题均按照该步骤逐步求解即可。
【解析】
(1) 原方程两边同时除以3，得$x^2 - 2x = \frac{8}{3}$。配方，两边同时加1，得$x^2 - 2x + 1 = \frac{8}{3} + 1$，即$(x - 1)^2 = \frac{11}{3}$。直接开平方，得$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$，解得$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$。
(2) 移项得$2x^2 -7x = -6$，两边同时除以2得$x^2 - \frac{7}{2}x = -3$。配方，两边同时加$(\frac{7}{4})^2$，得$x^2 - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^2 = -3 + (\frac{7}{4})^2$，即$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{1}{16}$。直接开平方得$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{1}{4}$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{3}{2}$。
(3) 移项得$2x^2 -5x = -3$，两边同时除以2得$x^2 - \frac{5}{2}x = -\frac{3}{2}$。配方，两边同时加$(\frac{5}{4})^2$，得$x^2 - \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 = -\frac{3}{2} + (\frac{5}{4})^2$，即$(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{1}{16}$。直接开平方得$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{1}{4}$，解得$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = 1$。
(4) 移项得$4x^2 -3x = 1$，两边同时除以4得$x^2 - \frac{3}{4}x = \frac{1}{4}$。配方，两边同时加$(\frac{3}{8})^2$，得$x^2 - \frac{3}{4}x + (\frac{3}{8})^2 = \frac{1}{4} + (\frac{3}{8})^2$，即$(x - \frac{3}{8})^2 = \frac{25}{64}$。直接开平方得$x - \frac{3}{8} = \pm \frac{5}{8}$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{1}{4}$。
【答案】
(1) $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$；
(2) $x_1 = 2$，$x_2 = \frac{3}{2}$；
(3) $x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = 1$；
(4) $x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{1}{4}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
这是配方法解一元二次方程的基础训练题，核心考查配方法的标准操作步骤，易错点为配方时仅给方程左侧加常数、忘记给右侧同步添加，熟练掌握步骤就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
9. 用配方法解一元二次方程时，下列有错误的是 【 】
A.$x^2 - 2x - 99 = 0$ 化为 $(x - 1)^2 = 100$
B.$2x^2 - 7x - 4 = 0$ 化为 $(x - \dfrac{7}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$
C.$x^2 + 8x + 9 = 0$ 化为 $(x + 4)^2 = 25$
D.$3x^2 - 4x - 2 = 0$ 化为 $(x - \dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{10}{9}$
A.$x^2 - 2x - 99 = 0$ 化为 $(x - 1)^2 = 100$
B.$2x^2 - 7x - 4 = 0$ 化为 $(x - \dfrac{7}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$
C.$x^2 + 8x + 9 = 0$ 化为 $(x + 4)^2 = 25$
D.$3x^2 - 4x - 2 = 0$ 化为 $(x - \dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{10}{9}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的正误判断，解题思路为：先回忆配方法的标准操作步骤：①若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧，注意移项要变号；③等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式，再逐一验证四个选项的变形是否正确即可。
【解析】
我们按照配方法步骤逐一验证各选项：
1. 验证选项A：
方程$x^2 - 2x - 99 = 0$，移项得$x^2 - 2x = 99$，
一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，两边加1得：
$x^2 - 2x +1 = 99+1$，即$(x-1)^2=100$，A变形正确，不符合题意。
2. 验证选项B：
方程$2x^2 - 7x - 4 = 0$，先将二次项系数化为1，两边除以2得：
$x^2 - \frac{7}{2}x - 2 = 0$，移项得$x^2 - \frac{7}{2}x = 2$，
一次项系数为$-\frac{7}{2}$，其一半的平方为$(-\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，两边加$\frac{49}{16}$得：
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} = 2 + \frac{49}{16}$，即$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{81}{16}$，B变形正确，不符合题意。
3. 验证选项C：
方程$x^2 + 8x + 9 = 0$，移项得$x^2 + 8x = -9$，
一次项系数为$8$，其一半的平方为$4^2=16$，两边加16得：
$x^2 +8x +16 = -9 +16$，即$(x+4)^2=7$，与选项中给出的$(x+4)^2=25$不符，C变形错误，符合题意。
4. 验证选项D：
方程$3x^2 - 4x - 2 = 0$，先将二次项系数化为1，两边除以3得：
$x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{2}{3} = 0$，移项得$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$，
一次项系数为$-\frac{4}{3}$，其一半的平方为$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，两边加$\frac{4}{9}$得：
$x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{4}{9}$，即$(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{10}{9}$，D变形正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题的关键是牢记配方法的操作流程，尤其要注意移项时常数项要变号，二次项系数不为1时必须先化为1再配方，避免因计算疏漏出错。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的正误判断，解题思路为：先回忆配方法的标准操作步骤：①若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧，注意移项要变号；③等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式，再逐一验证四个选项的变形是否正确即可。
【解析】
我们按照配方法步骤逐一验证各选项：
1. 验证选项A：
方程$x^2 - 2x - 99 = 0$，移项得$x^2 - 2x = 99$，
一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，两边加1得：
$x^2 - 2x +1 = 99+1$，即$(x-1)^2=100$，A变形正确，不符合题意。
2. 验证选项B：
方程$2x^2 - 7x - 4 = 0$，先将二次项系数化为1，两边除以2得：
$x^2 - \frac{7}{2}x - 2 = 0$，移项得$x^2 - \frac{7}{2}x = 2$，
一次项系数为$-\frac{7}{2}$，其一半的平方为$(-\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，两边加$\frac{49}{16}$得：
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} = 2 + \frac{49}{16}$，即$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{81}{16}$，B变形正确，不符合题意。
3. 验证选项C：
方程$x^2 + 8x + 9 = 0$，移项得$x^2 + 8x = -9$，
一次项系数为$8$，其一半的平方为$4^2=16$，两边加16得：
$x^2 +8x +16 = -9 +16$，即$(x+4)^2=7$，与选项中给出的$(x+4)^2=25$不符，C变形错误，符合题意。
4. 验证选项D：
方程$3x^2 - 4x - 2 = 0$，先将二次项系数化为1，两边除以3得：
$x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{2}{3} = 0$，移项得$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$，
一次项系数为$-\frac{4}{3}$，其一半的平方为$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，两边加$\frac{4}{9}$得：
$x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{4}{9}$，即$(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{10}{9}$，D变形正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题的关键是牢记配方法的操作流程，尤其要注意移项时常数项要变号，二次项系数不为1时必须先化为1再配方，避免因计算疏漏出错。
【难度系数】
0.8
10.（武汉期末）若$x$为任意实数，则代数式$x^2 + 4x + 2$的最小值是 【 】
A.6
B.3
C.$-1$
D.$-2$
A.6
B.3
C.$-1$
D.$-2$
答案
D
解析
【分析】
要求二次代数式的最小值，可利用配方法将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，再结合完全平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0）求解。具体思路：先观察代数式的二次项和一次项，对照完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的结构，补充合适的常数项配成完全平方，再调整常数项保证代数式的值不变，最后根据平方的非负性确定最小值。
【解析】
对代数式$x^2 + 4x + 2$进行配方：
1. 组合二次项和一次项：
$x^2 + 4x + 2 = (x^2 + 4x) + 2$
2. 对照完全平方公式，给括号内补充常数项$2^2=4$，同时减去4保证代数式值不变：
$(x^2 + 4x + 4) - 4 + 2$
3. 整理为完全平方形式：
$=(x+2)^2 - 2$
因为$x$为任意实数，所以$(x+2)^2 ≥ 0$，当且仅当$x=-2$时，$(x+2)^2=0$，此时代数式取得最小值：$0-2=-2$。
【答案】
D
【知识点】
配方法的应用；偶次幂的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题目，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，正确对代数式进行配方，结合平方的非负性即可快速求出最值，属于二次相关计算的基础题型。
【难度系数】
0.7
要求二次代数式的最小值，可利用配方法将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，再结合完全平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0）求解。具体思路：先观察代数式的二次项和一次项，对照完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的结构，补充合适的常数项配成完全平方，再调整常数项保证代数式的值不变，最后根据平方的非负性确定最小值。
【解析】
对代数式$x^2 + 4x + 2$进行配方：
1. 组合二次项和一次项：
$x^2 + 4x + 2 = (x^2 + 4x) + 2$
2. 对照完全平方公式，给括号内补充常数项$2^2=4$，同时减去4保证代数式值不变：
$(x^2 + 4x + 4) - 4 + 2$
3. 整理为完全平方形式：
$=(x+2)^2 - 2$
因为$x$为任意实数，所以$(x+2)^2 ≥ 0$，当且仅当$x=-2$时，$(x+2)^2=0$，此时代数式取得最小值：$0-2=-2$。
【答案】
D
【知识点】
配方法的应用；偶次幂的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题目，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，正确对代数式进行配方，结合平方的非负性即可快速求出最值，属于二次相关计算的基础题型。
【难度系数】
0.7
11. (宁波期中)如果方程$x^2 + 4x + n = 0$可以配方成$(x + m)^2 = 3$，那么$n - m=$
-1
。答案
11. -1
解析
【分析】
解题的核心是利用一元二次方程配方前后的等价性，通过对应项系数相等求出未知参数。我们可以先对原方程进行配方，再与题目给出的配方形式对照，分别求出m和n的值，最后计算n-m的结果即可。
【解析】
第一步：对原方程$x^2 + 4x + n = 0$进行配方：
移项得：$x^2 + 4x = -n$
根据配方法规则，方程两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{4}{2})^2=4$，可得：
$x^2 + 4x + 4 = 4 - n$
整理得：$(x+2)^2 = 4 - n$
第二步：对比题目给出的配方形式$(x+m)^2=3$，对应项系数相等可得：
$m=2$，$4 - n = 3$
解得$n=1$
第三步：计算$n - m = 1 - 2 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程、方程系数对应相等
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，重点考察配方法的操作步骤以及配方前后方程的等价性，掌握配方法的核心规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用一元二次方程配方前后的等价性，通过对应项系数相等求出未知参数。我们可以先对原方程进行配方，再与题目给出的配方形式对照，分别求出m和n的值，最后计算n-m的结果即可。
【解析】
第一步：对原方程$x^2 + 4x + n = 0$进行配方：
移项得：$x^2 + 4x = -n$
根据配方法规则，方程两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{4}{2})^2=4$，可得：
$x^2 + 4x + 4 = 4 - n$
整理得：$(x+2)^2 = 4 - n$
第二步：对比题目给出的配方形式$(x+m)^2=3$，对应项系数相等可得：
$m=2$，$4 - n = 3$
解得$n=1$
第三步：计算$n - m = 1 - 2 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程、方程系数对应相等
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，重点考察配方法的操作步骤以及配方前后方程的等价性，掌握配方法的核心规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
12. 若代数式$3x^2 - 2x + 1$与$-x^2 + 5x - 3$的值互为相反数，则整数$x$的值为
-2
。答案
12. -2
解析
【分析】
解题首先利用互为相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，据此列出两个代数式相加等于0的等式，整理得到一元二次方程，再用配方法求解方程，最后从解中筛选出整数x的值即可。
【解析】
解：
∵代数式$3x^2 - 2x + 1$与$-x^2 + 5x - 3$的值互为相反数
∴$(3x^2 - 2x + 1) + (-x^2 + 5x - 3) = 0$
合并同类项，得：
$2x^2 + 3x - 2 = 0$
二次项系数化为1，得：
$x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0$
移项，得：
$x^2 + \frac{3}{2}x = 1$
配方，两边同时加上$(\frac{3}{4})^2$，得：
$x^2 + \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = 1 + (\frac{3}{4})^2$
即$(x + \frac{3}{4})^2 = \frac{25}{16}$
开平方，得：
$x + \frac{3}{4} = ±\frac{5}{4}$
解得：$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = -2$
∵x为整数
∴x的值为-2
【答案】
$-2$
【知识点】
相反数的性质；配方法解一元二次方程；一元二次方程整数解
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是先根据相反数的性质建立方程，再熟练运用配方法求解一元二次方程，要注意题干对x的整数限定，避免漏看条件错填解。
【难度系数】
0.7
解题首先利用互为相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，据此列出两个代数式相加等于0的等式，整理得到一元二次方程，再用配方法求解方程，最后从解中筛选出整数x的值即可。
【解析】
解：
∵代数式$3x^2 - 2x + 1$与$-x^2 + 5x - 3$的值互为相反数
∴$(3x^2 - 2x + 1) + (-x^2 + 5x - 3) = 0$
合并同类项，得：
$2x^2 + 3x - 2 = 0$
二次项系数化为1，得：
$x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0$
移项，得：
$x^2 + \frac{3}{2}x = 1$
配方，两边同时加上$(\frac{3}{4})^2$，得：
$x^2 + \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = 1 + (\frac{3}{4})^2$
即$(x + \frac{3}{4})^2 = \frac{25}{16}$
开平方，得：
$x + \frac{3}{4} = ±\frac{5}{4}$
解得：$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = -2$
∵x为整数
∴x的值为-2
【答案】
$-2$
【知识点】
相反数的性质；配方法解一元二次方程；一元二次方程整数解
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是先根据相反数的性质建立方程，再熟练运用配方法求解一元二次方程，要注意题干对x的整数限定，避免漏看条件错填解。
【难度系数】
0.7
