13. (西峡期中)已知关于$x$的一元二次方程$(a - 1)x^{a(3 - a)} + (2a + 1)x + 5 = 0.$
(1) 求$a$的值；
(2) 用配方法解这个方程.

(1) $\because$ 方程$(a - 1)x^{a(3 - a)} + (2a + 1)x + 5 = 0$是关于$x$的一元二次方程，$\therefore a(3 - a) = 2$. 解得$a = 1$或$a = 2$. $\because a - 1 ≠ 0$，$\therefore a ≠ 1$. $\therefore a$的值为2
(2) 当$a = 2$时，方程为$x^2 + 5x + 5 = 0$，即$x^2 + 5x = -5$. 配方，得$x^2 + 5x + \frac{25}{4} = -5 + \frac{25}{4}$，即$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{5}{4}$. 直接开平方，得$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$. $\therefore x_1 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$

【分析】
（1）求a的值需结合一元二次方程的定义推导：一元二次方程需满足两个核心条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0。先根据最高次数为2列方程求出a的可能取值，再结合二次项系数不为0排除不符合的取值即可。（2）将求得的a值代入原方程得到具体的一元二次方程，用配方法求解的步骤为：先移项把常数项移到等号右侧，再给等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，最后开平方计算方程的根。
【解析】
(1) $\because$ 方程$(a - 1)x^{a(3 - a)} + (2a + 1)x + 5 = 0$是关于$x$的一元二次方程，
$\therefore$ 未知数最高次数为2，即$a(3 - a) = 2$，
整理得$a^2-3a+2=0$，解得$a = 1$或$a = 2$，
又$\because$ 二次项系数不为0，即$a - 1 ≠ 0$，$\therefore a ≠ 1$，
$\therefore a$的值为2。
(2) 当$a = 2$时，代入原方程得$x^2 + 5x + 5 = 0$，
移项得$x^2 + 5x = -5$，
配方，给两边同时加$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，得$x^2 + 5x + \frac{25}{4} = -5 + \frac{25}{4}$，
即$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{5}{4}$，
直接开平方得$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore x_1 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) $a=2$；(2) $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的定义；配方法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查一元二次方程的概念和配方法的应用，解题时要注意二次项系数不为0是容易遗漏的隐含条件，配方法计算时需保证等号两边同时加上相同的常数，避免漏加右侧常数项导致计算错误。
【难度系数】
0.7

14.（南阳期末）阅读材料：
若$m^2 - 2mn + 2n^2 - 8n + 16 = 0$，求$m$、$n$的值.
解：$\because m^2 - 2mn + 2n^2 - 8n + 16 = 0$，
$\therefore (m^2 - 2mn + n^2) + (n^2 - 8n + 16) = 0$.
$\therefore (m - n)^2 + (n - 4)^2 = 0$.
$\therefore (m - n)^2 = 0$，$(n - 4)^2 = 0$.
$\therefore m = 4$，$n = 4$.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若$a^2 + b^2 - 2a + 1 = 0$，则$a=$，$b=$.
（2）已知$x^2 + 2y^2 + 2xy - 6y + 9 = 0$，求$x^y$的值.
（3）已知$△ ABC$的三边长$a$、$b$、$c$都是正整数，且满足$2a^2 + b^2 - 4a - 6b + 11 = 0$，求$△ ABC$的周长.

14. (1) 1 0
(2) $\because x^2 + 2y^2 + 2xy - 6y + 9 = 0$，$\therefore (x^2 + y^2 + 2xy) + (y^2 - 6y + 9) = 0$，即$(x + y)^2 + (y - 3)^2 = 0$. $\therefore x + y = 0$，$y - 3 = 0$. $\therefore x = -3$，$y = 3$. $\therefore x^y = (-3)^3 = -27$
(3) $\because 2a^2 + b^2 - 4a - 6b + 11 = 0$，$\therefore (2a^2 - 4a + 2) + (b^2 - 6b + 9) = 0$. $\therefore 2(a - 1)^2 + (b - 3)^2 = 0$. $\therefore a - 1 = 0$，$b - 3 = 0$. 解得$a = 1$，$b = 3$. 由三角形的三边关系可知，$△ ABC$的三边长分别为1、3、3. $\therefore △ ABC$的周长为$1 + 3 + 3 = 7$

【分析】
本题属于材料阅读类题型，解题核心是模仿材料中的分组配方法，结合非负数的性质求解：①先将多项式拆分成若干个完全平方式相加的形式；②根据“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0”，列方程求出对应未知数的值；③结合问题要求（乘方运算、三角形三边关系等）计算最终结果。
【解析】
（1）对$a^2 + b^2 - 2a + 1 = 0$变形：
将含$a$的项配成完全平方，可得$(a^2 - 2a + 1) + b^2 = 0$，即$(a-1)^2 + b^2 = 0$。
由平方的非负性可知：$(a-1)^2≥0$，$b^2≥0$，因此只有当$(a-1)^2=0$且$b^2=0$时等式成立，解得$a=1$，$b=0$。
（2）对$x^2 + 2y^2 + 2xy - 6y + 9 = 0$分组配方：
将含$x$、$y$的交叉项与$x^2$、部分$y^2$分为一组，剩余$y^2$与常数项分为一组，可得：
$(x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 - 6y + 9) = 0$，即$(x+y)^2 + (y-3)^2 = 0$。
由非负数的性质得：$\begin{cases}x+y=0\\y-3=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=3\end{cases}$。
代入计算得$x^y=(-3)^3=-27$。
（3）对$2a^2 + b^2 - 4a - 6b + 11 = 0$分组配方：
先拆分整理含$a$的项和含$b$的项，可得：
$(2a^2 - 4a + 2) + (b^2 - 6b + 9) = 0$，提取公因式后得$2(a-1)^2 + (b-3)^2 = 0$。
由非负数的性质得：$\begin{cases}a-1=0\\b-3=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\b=3\end{cases}$。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得$3-1 ＜ c ＜ 3+1$，即$2 ＜ c ＜ 4$。
已知$c$是正整数，因此$c=3$。
$△ ABC$的周长为$1+3+3=7$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{0}$
(2) $\boldsymbol{-27}$
(3) $\boldsymbol{7}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题考查配方法的综合应用，解题关键是掌握完全平方公式的结构，灵活对多项式进行拆分组合，第三问需注意结合三角形三边的隐含条件确定第三边的取值，考查对知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7