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一、选择题
1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=60°$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，则$BC=(\ )$
A.$2.5\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=60°$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，则$BC=(\ )$
A.$2.5\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
答案
1. A
解析
【分析】
拿到这道题首先明确是直角三角形求解边长的问题，第一步先根据三角形内角和算出剩余锐角的度数，发现存在30°的特殊锐角，接下来可以利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质直接计算，也可以通过特殊角的三角函数值建立边的关系求解，两种方法都能快速得到BC的长度。
【解析】
解法一：利用直角三角形特殊性质求解
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=60°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A=180° - 90° - 60° = 30°$，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ A$所对的直角边为$BC$，斜边$AB=5\mathrm{cm}$，
因此$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5\mathrm{cm}$。
解法二：利用锐角三角函数求解
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据余弦的定义：$\cos∠ ABC=\frac{邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，
已知$∠ ABC=60°$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$AB=5\mathrm{cm}$，
代入得$BC=AB·\cos60°=5×\frac{1}{2}=2.5\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心考察直角三角形中特殊角对应的边角关系，熟练掌握特殊锐角的性质或三角函数值即可快速作答。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确是直角三角形求解边长的问题，第一步先根据三角形内角和算出剩余锐角的度数，发现存在30°的特殊锐角，接下来可以利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质直接计算，也可以通过特殊角的三角函数值建立边的关系求解，两种方法都能快速得到BC的长度。
【解析】
解法一：利用直角三角形特殊性质求解
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=60°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A=180° - 90° - 60° = 30°$，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ A$所对的直角边为$BC$，斜边$AB=5\mathrm{cm}$，
因此$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5\mathrm{cm}$。
解法二：利用锐角三角函数求解
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据余弦的定义：$\cos∠ ABC=\frac{邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$，
已知$∠ ABC=60°$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$AB=5\mathrm{cm}$，
代入得$BC=AB·\cos60°=5×\frac{1}{2}=2.5\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心考察直角三角形中特殊角对应的边角关系，熟练掌握特殊锐角的性质或三角函数值即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，则$BC=$()
A.$10\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$
D.$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
A.$10\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$
D.$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
答案
2. C
解析
【分析】
本题是直角三角形边长求解问题，解题思路如下：首先根据∠C=90°确定△ABC是直角三角形，且斜边为AB，AC、BC为两条直角边；接着回忆勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知斜边AB和直角边AC的长度，将勾股定理变形为求BC的公式；最后代入数值计算并化简二次根式即可得到结果，解题时要注意不要混淆斜边和直角边的位置。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ △ABC是直角三角形，AB为斜边，AC、BC为直角边，
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
变形得：$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$，
将$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$BC = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$，
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理的直接运用，解题的关键是准确识别直角三角形的斜边和直角边，计算后注意将二次根式化为最简形式即可，常见出错点为混淆斜边和直角边导致公式套用错误。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形边长求解问题，解题思路如下：首先根据∠C=90°确定△ABC是直角三角形，且斜边为AB，AC、BC为两条直角边；接着回忆勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知斜边AB和直角边AC的长度，将勾股定理变形为求BC的公式；最后代入数值计算并化简二次根式即可得到结果，解题时要注意不要混淆斜边和直角边的位置。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ △ABC是直角三角形，AB为斜边，AC、BC为直角边，
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
变形得：$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$，
将$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$代入得：
$BC = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$，
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理的直接运用，解题的关键是准确识别直角三角形的斜边和直角边，计算后注意将二次根式化为最简形式即可，常见出错点为混淆斜边和直角边导致公式套用错误。
【难度系数】
0.8
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,若$∠ C=90°$,$AC=1$,$BC=2$,则下列结论中正确的是(
A.$\sin B=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\cos B=\dfrac{2}{5}$
C.$\tan B=2$
D.$\cos B=\dfrac{1}{2}$
A
)A.$\sin B=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\cos B=\dfrac{2}{5}$
C.$\tan B=2$
D.$\cos B=\dfrac{1}{2}$
答案
3. A
解析
【分析】
要判断各选项中∠B的三角函数值是否正确，首先需要利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据锐角三角函数的定义（正弦=对边/斜边、余弦=邻边/斜边、正切=对边/邻边），分别计算出∠B的正弦、余弦、正切值，最后和选项对比即可得出答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=1$，$BC=2$，
1. 由勾股定理计算斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
2. 根据锐角三角函数定义计算∠B的各三角函数值：
∠B的对边是$AC=1$，邻边是$BC=2$，斜边是$AB=\sqrt{5}$，
则$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$。
3. 对比选项，只有A选项的结论正确。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，解题的核心是准确记忆锐角三角函数对应的边的比例关系，计算时注意分母有理化的规范即可。
【难度系数】
0.8
要判断各选项中∠B的三角函数值是否正确，首先需要利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据锐角三角函数的定义（正弦=对边/斜边、余弦=邻边/斜边、正切=对边/邻边），分别计算出∠B的正弦、余弦、正切值，最后和选项对比即可得出答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=1$，$BC=2$，
1. 由勾股定理计算斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
2. 根据锐角三角函数定义计算∠B的各三角函数值：
∠B的对边是$AC=1$，邻边是$BC=2$，斜边是$AB=\sqrt{5}$，
则$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$。
3. 对比选项，只有A选项的结论正确。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，解题的核心是准确记忆锐角三角函数对应的边的比例关系，计算时注意分母有理化的规范即可。
【难度系数】
0.8
4*. 如果等腰三角形的底角为$30°$,腰长为6 cm,那么这个三角形的面积为(
A.$4.5\ \mathrm{cm}^2$
B.$9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C.$18\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
D.$36\ \mathrm{cm}^2$
B
)A.$4.5\ \mathrm{cm}^2$
B.$9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C.$18\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
D.$36\ \mathrm{cm}^2$
答案
4. B
解析
【分析】
要计算等腰三角形的面积，需先求出三角形的底边长和底边上的高。我们可以通过作底边上的高，将等腰三角形分割为两个全等的含30°角的直角三角形，利用30°角直角三角形的性质分别求出高和底边长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设等腰$△ ABC$中，$AB=AC=6\ \mathrm{cm}$，底角$∠ B=∠ C=30°$，过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$。
1. 根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$BD=DC=\frac{1}{2}BC$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，斜边$AB=6\ \mathrm{cm}$：
$30°$角对的直角边$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$；
由三角函数可得$BD=AB·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
3. 则底边长$BC=2BD=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
4. 代入三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×3=9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是特殊等腰三角形面积计算的基础题，解题核心是作高将等腰三角形转化为直角三角形，借助特殊角的直角三角形性质快速获取边长，计算过程中要注意底边长是直角三角形底边的2倍，避免漏乘2导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算等腰三角形的面积，需先求出三角形的底边长和底边上的高。我们可以通过作底边上的高，将等腰三角形分割为两个全等的含30°角的直角三角形，利用30°角直角三角形的性质分别求出高和底边长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
设等腰$△ ABC$中，$AB=AC=6\ \mathrm{cm}$，底角$∠ B=∠ C=30°$，过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$。
1. 根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$BD=DC=\frac{1}{2}BC$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，斜边$AB=6\ \mathrm{cm}$：
$30°$角对的直角边$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$；
由三角函数可得$BD=AB·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
3. 则底边长$BC=2BD=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
4. 代入三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×3=9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是特殊等腰三角形面积计算的基础题，解题核心是作高将等腰三角形转化为直角三角形，借助特殊角的直角三角形性质快速获取边长，计算过程中要注意底边长是直角三角形底边的2倍，避免漏乘2导致计算错误。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$\sin A=\dfrac{4}{5}$，则$BC$的长为
1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$\sin A=\dfrac{4}{5}$，则$BC$的长为
8
cm.答案
1. 8
解析
【分析】
首先明确题目给出的是直角三角形，∠C为直角，已知斜边AB的长度和∠A的正弦值，求BC的长度。解题时先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值，找到∠A的对边是BC，斜边是AB，直接代入已知数值列等式计算即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦函数的定义可得：$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
将$AB=10\ \mathrm{cm}$，$\sin A=\frac{4}{5}$代入上式：
$\frac{4}{5}=\frac{BC}{10}$，
解得$BC=10×\frac{4}{5}=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心考查锐角正弦函数的边比关系，只要准确记忆三角函数对应边的比例关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
首先明确题目给出的是直角三角形，∠C为直角，已知斜边AB的长度和∠A的正弦值，求BC的长度。解题时先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值，找到∠A的对边是BC，斜边是AB，直接代入已知数值列等式计算即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦函数的定义可得：$\sin A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，
将$AB=10\ \mathrm{cm}$，$\sin A=\frac{4}{5}$代入上式：
$\frac{4}{5}=\frac{BC}{10}$，
解得$BC=10×\frac{4}{5}=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
8
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心考查锐角正弦函数的边比关系，只要准确记忆三角函数对应边的比例关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=8$，$\cos A=\dfrac{3}{4}$，则$AC$的长是
6
.答案
2. 6
解析
【分析】
解题时首先明确题干给出的是直角三角形，已知锐角A的余弦值和斜边长，求直角边长度，思路如下：第一步回忆直角三角形中余弦的定义：锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值；第二步确定角A的邻边为AC，斜边为AB，对应已知条件直接代入余弦公式，变形后即可计算出AC的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据锐角余弦的定义可得：$\cos A = \dfrac{∠A的邻边}{斜边} = \dfrac{AC}{AB}$，
又已知$AB=8$，$\cos A=\dfrac{3}{4}$，将数值代入公式得：
$\dfrac{3}{4}=\dfrac{AC}{8}$，
解得：$AC=8×\dfrac{3}{4}=6$。
【答案】
6
【知识点】
余弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，核心考查对锐角三角函数定义的理解和应用，解题关键是准确区分锐角对应的邻边、对边和斜边，代入公式计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干给出的是直角三角形，已知锐角A的余弦值和斜边长，求直角边长度，思路如下：第一步回忆直角三角形中余弦的定义：锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值；第二步确定角A的邻边为AC，斜边为AB，对应已知条件直接代入余弦公式，变形后即可计算出AC的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据锐角余弦的定义可得：$\cos A = \dfrac{∠A的邻边}{斜边} = \dfrac{AC}{AB}$，
又已知$AB=8$，$\cos A=\dfrac{3}{4}$，将数值代入公式得：
$\dfrac{3}{4}=\dfrac{AC}{8}$，
解得：$AC=8×\dfrac{3}{4}=6$。
【答案】
6
【知识点】
余弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，核心考查对锐角三角函数定义的理解和应用，解题关键是准确区分锐角对应的邻边、对边和斜边，代入公式计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.8
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=45°$，周长为$10+5\sqrt{2}$，则$AB=$
$5\sqrt{2}$
.答案
3. $5\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先根据直角三角形的两个锐角互余，可推出$∠ B=45°$，由此判断$△ ABC$是等腰直角三角形，两条直角边$AC=BC$；接下来设直角边的长度为$x$，利用勾股定理用$x$表示出斜边$AB$的长度，再结合已知的周长条件列出关于$x$的方程，求解$x$后即可算出$AB$的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=45°$
$\therefore ∠ B=90° - ∠ A=45°$，即$∠ A=∠ B$
$\therefore AC=BC$
设$AC=BC=x$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x$
$\because △ ABC$的周长为$10+5\sqrt{2}$
$\therefore AC+BC+AB=10+5\sqrt{2}$
代入边长表达式得：$x+x+\sqrt{2}x=10+5\sqrt{2}$
合并同类项得：$(2+\sqrt{2})x=10+5\sqrt{2}$
对系数分母有理化求解$x$：
$x=\frac{10+5\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(10+5\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\frac{20-10}{4-2}=5$
$\therefore AB=\sqrt{2}x=5\sqrt{2}$
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、勾股定理、分母有理化
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心考查等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是通过角度关系得到两直角边相等，再结合周长建立方程求解，计算时要注意分母有理化的运算规则，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
首先根据直角三角形的两个锐角互余，可推出$∠ B=45°$，由此判断$△ ABC$是等腰直角三角形，两条直角边$AC=BC$；接下来设直角边的长度为$x$，利用勾股定理用$x$表示出斜边$AB$的长度，再结合已知的周长条件列出关于$x$的方程，求解$x$后即可算出$AB$的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=45°$
$\therefore ∠ B=90° - ∠ A=45°$，即$∠ A=∠ B$
$\therefore AC=BC$
设$AC=BC=x$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x$
$\because △ ABC$的周长为$10+5\sqrt{2}$
$\therefore AC+BC+AB=10+5\sqrt{2}$
代入边长表达式得：$x+x+\sqrt{2}x=10+5\sqrt{2}$
合并同类项得：$(2+\sqrt{2})x=10+5\sqrt{2}$
对系数分母有理化求解$x$：
$x=\frac{10+5\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(10+5\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\frac{20-10}{4-2}=5$
$\therefore AB=\sqrt{2}x=5\sqrt{2}$
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、勾股定理、分母有理化
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心考查等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是通过角度关系得到两直角边相等，再结合周长建立方程求解，计算时要注意分母有理化的运算规则，避免计算出错。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果已知两个元素a，b，则可以求出其余三个元素c，∠A，∠B（如图
），请你按照下列的步骤完成解题过程（注意：求解过程有多种方法，本题只要求在方框内正确地表述出一种求解过程）。
第一步：由条件a，b 用关系式 → 求出
第二步：由条件 用关系式
求出
第三步：由条件 用关系式 → 求出
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果已知两个元素a，b，则可以求出其余三个元素c，∠A，∠B（如图
），请你按照下列的步骤完成解题过程（注意：求解过程有多种方法，本题只要求在方框内正确地表述出一种求解过程）。第一步：由条件a，b 用关系式 → 求出
第二步：由条件 用关系式
求出第三步：由条件 用关系式 → 求出
答案
解：
第一步：
用关系式 $\boldsymbol{c=\sqrt{a^2+b^2}}$，求出 $\boldsymbol{c}$
第二步：
由条件 $\boldsymbol{a,b}$，用关系式 $\boldsymbol{\tan A=\dfrac{a}{b}}$，求出 $\boldsymbol{∠ A}$
第三步：
由条件 $\boldsymbol{∠ C=90°,∠ A}$，用关系式 $\boldsymbol{∠ A+∠ B=90°}$，求出 $\boldsymbol{∠ B}$
第一步：
用关系式 $\boldsymbol{c=\sqrt{a^2+b^2}}$，求出 $\boldsymbol{c}$
第二步：
由条件 $\boldsymbol{a,b}$，用关系式 $\boldsymbol{\tan A=\dfrac{a}{b}}$，求出 $\boldsymbol{∠ A}$
第三步：
由条件 $\boldsymbol{∠ C=90°,∠ A}$，用关系式 $\boldsymbol{∠ A+∠ B=90°}$，求出 $\boldsymbol{∠ B}$
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的基础题，已知Rt△ABC的两条直角边a、b，需依次求出斜边c和两个锐角∠A、∠B。解题思路如下：首先，直角三角形已知两条直角边求斜边，优先用勾股定理求解；其次求锐角时，可利用锐角三角函数的边角关系，通过已知的两条直角边算出其中一个锐角的三角函数值，进而得到该锐角的度数；最后利用直角三角形两锐角互余的性质，直接求出剩余锐角，简化计算过程。
【解析】
第一步：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，可得$a^2+b^2=c^2$，因边长为正数，推导得$c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入a、b的数值即可求出斜边c的长度。
第二步：直角边a是∠A的对边，直角边b是∠A的邻边，根据正切函数的定义“锐角的正切值等于对边与邻边的比值”，可得$\tan A=\frac{a}{b}$，代入a、b的数值算出tanA的值，再通过计算器或三角函数表即可求出∠A的度数。
第三步：根据直角三角形的性质，两个锐角和为90°，即$∠ A + ∠ B = 90°$，结合已知的∠C=90°和已经求出的∠A，推导得$∠ B=90° - ∠ A$，即可求出∠B的度数。
【答案】
第一步：
用关系式 $\boldsymbol{c=\sqrt{a^2+b^2}}$，求出 $\boldsymbol{c}$
第二步：
由条件 $\boldsymbol{a,b}$，用关系式 $\boldsymbol{\tan A=\dfrac{a}{b}}$，求出 $\boldsymbol{∠ A}$
第三步：
由条件 $\boldsymbol{∠ C=90°,∠ A}$，用关系式 $\boldsymbol{∠ A+∠ B=90°}$，求出 $\boldsymbol{∠ B}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题考查解直角三角形的基本应用，解题思路固定，只要熟练掌握直角三角形的边边、边角、角角三类关系，根据已知条件选择简便的求解顺序，就能快速完成解题。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形的基础题，已知Rt△ABC的两条直角边a、b，需依次求出斜边c和两个锐角∠A、∠B。解题思路如下：首先，直角三角形已知两条直角边求斜边，优先用勾股定理求解；其次求锐角时，可利用锐角三角函数的边角关系，通过已知的两条直角边算出其中一个锐角的三角函数值，进而得到该锐角的度数；最后利用直角三角形两锐角互余的性质，直接求出剩余锐角，简化计算过程。
【解析】
第一步：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，可得$a^2+b^2=c^2$，因边长为正数，推导得$c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入a、b的数值即可求出斜边c的长度。
第二步：直角边a是∠A的对边，直角边b是∠A的邻边，根据正切函数的定义“锐角的正切值等于对边与邻边的比值”，可得$\tan A=\frac{a}{b}$，代入a、b的数值算出tanA的值，再通过计算器或三角函数表即可求出∠A的度数。
第三步：根据直角三角形的性质，两个锐角和为90°，即$∠ A + ∠ B = 90°$，结合已知的∠C=90°和已经求出的∠A，推导得$∠ B=90° - ∠ A$，即可求出∠B的度数。
【答案】
第一步：
用关系式 $\boldsymbol{c=\sqrt{a^2+b^2}}$，求出 $\boldsymbol{c}$
第二步：
由条件 $\boldsymbol{a,b}$，用关系式 $\boldsymbol{\tan A=\dfrac{a}{b}}$，求出 $\boldsymbol{∠ A}$
第三步：
由条件 $\boldsymbol{∠ C=90°,∠ A}$，用关系式 $\boldsymbol{∠ A+∠ B=90°}$，求出 $\boldsymbol{∠ B}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题考查解直角三角形的基本应用，解题思路固定，只要熟练掌握直角三角形的边边、边角、角角三类关系，根据已知条件选择简便的求解顺序，就能快速完成解题。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，由下列条件解直角三角形.
(1)已知：$a=1$，$c=\sqrt{5}$，求$b$；
(2)已知：$a=35$，$c=35\sqrt{2}$，求$∠ B$.
(1)已知：$a=1$，$c=\sqrt{5}$，求$b$；
(2)已知：$a=35$，$c=35\sqrt{2}$，求$∠ B$.
答案
(1) b=2 (2) ∠B=45°
解析
【分析】
本题是直角三角形的基础求解问题，解题思路如下：
(1) 已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边，直接利用直角三角形的勾股定理（两直角边平方和等于斜边平方），代入已知数值计算即可；
(2) 已知一条直角边和斜边，可先计算直角边与斜边的比值，结合特殊角的三角函数值得到其中一个锐角的度数，再利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数，也可先求出另一条直角边的长度，根据边的关系判断角度。
【解析】
(1)
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$
代入$a=1$，$c=\sqrt{5}$，得：
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2}=\sqrt{5-1}=\sqrt{4}=2$
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}=\frac{35}{35\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴ ∠A=45°
又
∵ 直角三角形两锐角互余，即∠A + ∠B = 90°
∴ ∠B=90° - 45°=45°
【答案】
(1) $b=2$；(2) $∠B=45°$
【知识点】
勾股定理、直角三角形的性质、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，重点考查直角三角形边角关系的应用，熟练掌握勾股定理和特殊角的三角函数值是快速解题的关键，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形的基础求解问题，解题思路如下：
(1) 已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边，直接利用直角三角形的勾股定理（两直角边平方和等于斜边平方），代入已知数值计算即可；
(2) 已知一条直角边和斜边，可先计算直角边与斜边的比值，结合特殊角的三角函数值得到其中一个锐角的度数，再利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠B的度数，也可先求出另一条直角边的长度，根据边的关系判断角度。
【解析】
(1)
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°
根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$
代入$a=1$，$c=\sqrt{5}$，得：
$b=\sqrt{c^2 - a^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2}=\sqrt{5-1}=\sqrt{4}=2$
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°
$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}=\frac{35}{35\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴ ∠A=45°
又
∵ 直角三角形两锐角互余，即∠A + ∠B = 90°
∴ ∠B=90° - 45°=45°
【答案】
(1) $b=2$；(2) $∠B=45°$
【知识点】
勾股定理、直角三角形的性质、特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，重点考查直角三角形边角关系的应用，熟练掌握勾股定理和特殊角的三角函数值是快速解题的关键，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
