4. 已知二次函数$y=ax^{2}$的图像经过点$(-1,3)$,试确定它的开口方向,并求出a的值.

解：
将点$(-1,3)$代入二次函数$y=ax^{2}$中，得：
$3=a×(-1)^2$
计算得：
$3=a×1$
即$a=3$。
因为$a=3＞0$，所以该二次函数的图像开口向上。

5. 已知点$A(-1,y_{1})$、$B(-2,y_{2})$、$C(-\sqrt{2},y_{3})$都在二次函数$y=4x^{2}$的图像上,试比较$y_{1}$、$y_{2}$、$y_{3}$的大小关系.

解：
二次函数$y=4x^{2}$的对称轴为$x=0$（即y轴），且开口向上，
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
$\because -2＜-\sqrt{2}＜-1$，
$\therefore y_{2}＞y_{3}＞y_{1}$。

6. 研究表明,某汽车晴天在公路上行驶时,速度v(km/h)与汽车的刹车距离s(m)之间的关系可用函数表达式$s=\frac{1}{100}v^{2}$表示.
(1) 当v分别为50 km/h、100 km/h时,求相应的刹车距离s;
(2) 画出$s=\frac{1}{100}v^{2}$的图像.

解：
(1) 当$v=50\ \mathrm{km/h}$时，
$s=\frac{1}{100}×50^{2}=\frac{1}{100}×2500=25\ \mathrm{(m)}$；
当$v=100\ \mathrm{km/h}$时，
$s=\frac{1}{100}×100^{2}=\frac{1}{100}×10000=100\ \mathrm{(m)}$。
(2) ① 列表：
| $v$ | $0$ | $20$ | $40$ | $60$ | $80$ | $100$ |
|-----|-----|------|------|------|------|-------|
| $s$ | $0$ | $4$ | $16$ | $36$ | $64$ | $100$ |
② 描点：在平面直角坐标系中，以$v$为横轴，$s$为纵轴，描出表格中对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线连接各点，得到$s=\frac{1}{100}v^{2}(v≥0)$的图像（图像为抛物线在第一象限的部分）。
答：(1) 当$v=50\ \mathrm{km/h}$时刹车距离为25m，当$v=100\ \mathrm{km/h}$时刹车距离为100m。

7. 函数可揭示事物变化的规律,它有多种表示形式,如表格、图像、表达式等,这些表示形式各有优势,图像法直观,列表法具体,表达式精确,若把三者结合起来,则能更全面深刻地理解变量之间的关系.试解决下列问题:
(1) 已知函数$y=-(|x|-1)^{2}$,你能说出这个函数图像的一些性质吗? 试画出它的图像.
(2) 函数$y=-(|x|-1)^{2}$的图像经过怎样的平移可得到函数$y_{1}=-(|x-2|-1)^{2}+3$的图像? 请在同一平面直角坐标系中画出它的图像.

解：
(1) 函数$y=-(|x|-1)^{2}$的性质：
① 定义域为全体实数，值域为$y≤0$；
② 图像关于$y$轴对称；
③ 当$x=\pm1$时，函数取得最大值$0$；
④ 当$x＜-1$或$0＜x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$-1＜x＜0$或$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
画图步骤：
将函数写成分段形式：当$x≥0$时，$y=-(x-1)^2$，画出该部分抛物线，顶点为$(1,0)$，过点$(0,-1)$、$(2,-1)$；
利用对称性，画出$x＜0$时的图像，顶点为$(-1,0)$，过点$(0,-1)$、$(-2,-1)$，连接各点得到函数图像。
(2) 平移方式：将函数$y=-(|x|-1)^{2}$的图像向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到函数$y_1=-(|x-2|-1)^2+3$的图像。
画图步骤：
原函数顶点$(-1,0)$平移后对应点为$(1,3)$，顶点$(1,0)$平移后对应点为$(3,3)$；
取特殊点：$(2,2)$、$(0,2)$、$(4,2)$，连接各点画出平移后的函数图像。

二次函数$y=x^{2}+1$、$y=(x-1)^{2}$的图像与二次函数$y=x^{2}$的图像分别有什么关系?

解：
1. 对于二次函数$y=x^{2}+1$：
将二次函数$y=x^{2}$的图像向上平移1个单位长度，即可得到$y=x^{2}+1$的图像。
2. 对于二次函数$y=(x-1)^{2}$：
将二次函数$y=x^{2}$的图像向右平移1个单位长度，即可得到$y=(x-1)^{2}$的图像。