1. 已知$△ ABC$的三边长分别为$1,\sqrt{2},\sqrt{5}$，$△ DEF$的三边长分别$\sqrt{3},\sqrt{6},\sqrt{15}$，则$△ ABC$与$△ DEF$()

A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判定是否相似

1. A

计算两个三角形对应边的比值：
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} × \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
因为$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}$，所以$△ ABC$与$△ DEF$的三组对应边成比例。根据相似三角形的判定定理，三边成比例的两个三角形相似，故$△ ABC$与$△ DEF$一定相似。
A

2. 如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$相似的是()

2. B

在$△ A_{1}B_{1}C_{1}$中，设每个小正方形边长为1，可得$A_{1}B_{1}=1$，$B_{1}C_{1}=\sqrt{2}$，$A_{1}C_{1}=\sqrt{5}$，三边之比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
选项A中三角形三边为$2$，$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{5}$，比例为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，但图形中三角形形状与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$不同，对应边不成比例。
选项B中三角形三边为$\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{10}$，化简比例为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$三边比例相同，故相似。
选项C、D中三角形三边比例与$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$不同。
B

3. 下列条件：①$∠A = 45^{\circ}$，$AB = 12$，$AC = 15$，$∠A' = 45^{\circ}$，$A'B' = 16$，$A'C' = 20$；②$∠A = 47^{\circ}$，$AB = 1.5$，$AC = 2$，$∠B' = 47^{\circ}$，$A'B' = 2.8$，$B'C' = 2.1$；③$AB = BC = 2$，$AC = 3$，$A'B' = B'C' = 4$，$A'C' = 6$，其中能判定$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似的有()

A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个

3. D

①在$△ABC$与$△A'B'C'$中，$∠A = ∠A' = 45^{\circ}$，$\frac{AB}{A'B'} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$，$\frac{AC}{A'C'} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$，所以$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ABC ∽ △A'B'C'$。
②在$△ABC$中，$∠A = 47^{\circ}$，$AB = 1.5$，$AC = 2$；在$△A'B'C'$中，$∠B' = 47^{\circ}$，$A'B' = 2.8$，$B'C' = 2.1$。$\frac{AB}{B'C'} = \frac{1.5}{2.1} = \frac{5}{7}$，$\frac{AC}{A'B'} = \frac{2}{2.8} = \frac{5}{7}$，即$\frac{AB}{B'C'} = \frac{AC}{A'B'}$，且$∠A = ∠B' = 47^{\circ}$，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ABC ∽ △B'C'A'$，即$△ABC$与$△A'B'C'$相似。
③在$△ABC$中，$AB = BC = 2$，$AC = 3$；在$△A'B'C'$中，$A'B' = B'C' = 4$，$A'C' = 6$。$\frac{AB}{A'B'} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，$\frac{BC}{B'C'} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，$\frac{AC}{A'C'} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，所以$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ABC ∽ △A'B'C'$。
综上，①②③都能判定相似，共3个。
D

4. 如图是一个边长为 1 的正方形组成的网格，$△ ABC$和$△ A'B'C'$都是格点三角形，请问$△ ABC$和$△ A'B'C'$是否相似？答：；若相似，它们的相似比等于。

4. 是 $\sqrt{2}:2$

5. 如图，$O$是$△ ABC$内任一点，$D$，$E$，$F$分别是$OA$，$OB$，$OC$的中点，$△ DEF$与$△ ABC$相似吗？为什么？

5. 相似，证明：
∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴DE是△OAB的中位线，EF是△OBC的中位线，DF是△OAC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{DF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△DEF∽△ABC.

证明：
∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴DE是△OAB的中位线，EF是△OBC的中位线，DF是△OAC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{DF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△DEF∽△ABC.

6. 若$△ ABC$的每条边长增加各自的 10%得$△ A'B'C'$，则$∠B'$的度数与其对应角$∠B$的度数相比()

A.增加了 10%
B.减少了 10%
C.增加了$(1 + 10\%)$
D.没有改变

6. D

因为△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C'，所以△A'B'C'与△ABC的对应边之比为$(1 + 10\%) = 1.1$，即两个三角形的对应边成比例。根据相似三角形的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，所以△A'B'C'∽△ABC。又因为相似三角形的对应角相等，所以∠B' = ∠B，即∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比没有改变。
D

7. 一个三角形木架三边长分别是 75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为 60 cm 和 120 cm 的两根木条。要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有()

A.一种
B.两种
C.三种
D.四种

7. B

情况1：以60cm为一边，从120cm木条截取另两边
若60cm对应75cm：$\frac{60}{75}=\frac{4}{5}$，另两边为$100×\frac{4}{5}=80\,\mathrm{cm}$，$120×\frac{4}{5}=96\,\mathrm{cm}$，$80+96=176＞120$（舍）
若60cm对应100cm：$\frac{60}{100}=\frac{3}{5}$，另两边为$75×\frac{3}{5}=45\,\mathrm{cm}$，$120×\frac{3}{5}=72\,\mathrm{cm}$，$45+72=117＜120$（成立）
若60cm对应120cm：$\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$，另两边为$75×\frac{1}{2}=37.5\,\mathrm{cm}$，$100×\frac{1}{2}=50\,\mathrm{cm}$，$37.5+50=87.5＜120$（成立）
情况2：以120cm为一边，从60cm木条截取另两边
若120cm对应75cm：$\frac{120}{75}=\frac{8}{5}$，另两边为$100×\frac{8}{5}=160\,\mathrm{cm}$，$120×\frac{8}{5}=192\,\mathrm{cm}$（均超60cm，舍）
若120cm对应100cm：$\frac{120}{100}=\frac{6}{5}$，另两边为$75×\frac{6}{5}=90\,\mathrm{cm}$，$120×\frac{6}{5}=144\,\mathrm{cm}$（均超60cm，舍）
若120cm对应120cm：$\frac{120}{120}=1$，另两边为75cm、100cm（均超60cm，舍）
结论
不同截法有两种。
B