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1. (推理意识)有下面三种规格的纸板各四张，从中选六张做成一个长方体，这个长方体的体积是多少立方厘米？(接头处忽略不计)
答案
1. 5×5×7=175(立方厘米) 解析:题图左、中、右三种纸板中,选择右边规格的2张、左边规格的4张做成一个长方体,该长方体的长是7厘米,宽是5厘米,高是5厘米。
2. 现有四种不同规格的长方形(或正方形)铁皮各若干张：①长 6 分米，宽 5 分米；②长 5 分米，宽 4 分米；③长 6 分米，宽 4 分米；④边长 4 分米。请你从中选五张铁皮，焊接一个无盖的长方体(或正方体)水箱，一共可以焊接成多少种不同的水箱？每种规格的铁皮各要选几张？(接头处与铁皮的厚度忽略不计)
答案
2. 一共可以焊接成8种不同的水箱,选法如下:
规格① 规格② 规格③ 规格④
选法一 5张
选法二 3张 2张
选法三 3张 2张
选法四 4张 1张
选法五 4张 1张
选法六 2张 2张 1张
选法七 2张 1张 2张
选法八 1张 2张 2张
规格① 规格② 规格③ 规格④
选法一 5张
选法二 3张 2张
选法三 3张 2张
选法四 4张 1张
选法五 4张 1张
选法六 2张 2张 1张
选法七 2张 1张 2张
选法八 1张 2张 2张
3. 如图，把一个表面积是 150 平方厘米的正方
体切成 8 个完全相同的小正方体，这 8 个小正方体的表面积之和是多少平方厘米？
体切成 8 个完全相同的小正方体，这 8 个小正方体的表面积之和是多少平方厘米？
答案
1. 首先，设大正方体的棱长为$a$：
根据正方体表面积公式$S = 6a^{2}$，已知大正方体表面积$S = 150$平方厘米，由$6a^{2}=150$，可得$a^{2}=25$，则$a = 5$厘米。
把大正方体切成$8$个完全相同的小正方体，因为$8=2×2×2$，所以小正方体的棱长$b=\frac{a}{2}$。
2. 然后，求小正方体的棱长：
把$a = 5$代入$b=\frac{a}{2}$，得$b=\frac{5}{2}$厘米。
3. 接着，求一个小正方体的表面积$S_{1}$：
根据正方体表面积公式$S = 6b^{2}$，则$S_{1}=6×(\frac{5}{2})^{2}=6×\frac{25}{4}=\frac{75}{2}$平方厘米。
4. 最后，求$8$个小正方体的表面积之和$S_{总}$：
$S_{总}=8S_{1}$，把$S_{1}=\frac{75}{2}$代入可得$S_{总}=8×\frac{75}{2}$。
$S_{总}=300$平方厘米。
另一种方法：
1. 分析切割后表面积的变化：
大正方体切成$8$个小正方体，需要切$3$次，每切一次增加两个大正方体的面。
切$3$次共增加$2×3 = 6$个大正方体的面。
大正方体的表面积$S = 6a^{2}=150$平方厘米，原来大正方体有$6$个面，切完后$8$个小正方体的面的总数相当于$6 + 6=12$个大正方体的面。
2. 计算$8$个小正方体的表面积之和：
所以$8$个小正方体的表面积之和$S_{总}=150×2 = 300$平方厘米。
答：这$8$个小正方体的表面积之和是$300$平方厘米。
根据正方体表面积公式$S = 6a^{2}$，已知大正方体表面积$S = 150$平方厘米，由$6a^{2}=150$，可得$a^{2}=25$，则$a = 5$厘米。
把大正方体切成$8$个完全相同的小正方体，因为$8=2×2×2$，所以小正方体的棱长$b=\frac{a}{2}$。
2. 然后，求小正方体的棱长：
把$a = 5$代入$b=\frac{a}{2}$，得$b=\frac{5}{2}$厘米。
3. 接着，求一个小正方体的表面积$S_{1}$：
根据正方体表面积公式$S = 6b^{2}$，则$S_{1}=6×(\frac{5}{2})^{2}=6×\frac{25}{4}=\frac{75}{2}$平方厘米。
4. 最后，求$8$个小正方体的表面积之和$S_{总}$：
$S_{总}=8S_{1}$，把$S_{1}=\frac{75}{2}$代入可得$S_{总}=8×\frac{75}{2}$。
$S_{总}=300$平方厘米。
另一种方法：
1. 分析切割后表面积的变化：
大正方体切成$8$个小正方体，需要切$3$次，每切一次增加两个大正方体的面。
切$3$次共增加$2×3 = 6$个大正方体的面。
大正方体的表面积$S = 6a^{2}=150$平方厘米，原来大正方体有$6$个面，切完后$8$个小正方体的面的总数相当于$6 + 6=12$个大正方体的面。
2. 计算$8$个小正方体的表面积之和：
所以$8$个小正方体的表面积之和$S_{总}=150×2 = 300$平方厘米。
答：这$8$个小正方体的表面积之和是$300$平方厘米。
4. 用彩纸把 4 个长 8 分米、宽 5 分米、高 3 分米的长方体礼盒包装成一个大长方体礼盒，最少需要多少平方分米的彩纸？
答案
4. 3+3=6(分米) 5+5=10(分米) (8×6+8×10+6×10)×2=376(平方分米) 解析:要想使包装所需的彩纸最少,那么只要把礼盒的最大面相黏合,且相黏合的面尽可能多就能使大长方体礼盒的表面积最小。综合考虑,可以先将4个礼盒每2个分成一组,2个礼盒的最大面(8分米×5分米)相黏合,再把两组礼盒的最大面[8分米×(3+3)分米]相黏合(如图),这样包装成的大长方体礼盒的表面积比原来4个礼盒的表面积之和减少得最多,此时包装成的大长方体礼盒的表面积最小,所需彩纸最少。
5. 一个容器的内底面是长 90 厘米、宽 40 厘米的长方形，容器里斜放着一根高 1 米的长方体铁棒(浸没)，铁棒底面是边长为 18 厘米的正方形，这时容器里的水深 0.5 米。如果把铁棒取出，那么容器里的水深多少厘米？(水的损耗忽略不计)
答案
解：
- 先统一单位：$0.5$米$ = 50$厘米，$1$米$ = 100$厘米。
- 计算水和铁棒浸没部分的总体积：容器底面积为$90×40 = 3600$平方厘米，总体积$V = 3600×50=180000$立方厘米。
- 计算铁棒浸没部分的体积：铁棒底面是边长为$18$厘米的正方形，浸没部分体积$V_{棒}=18×18×50 = 16200$立方厘米。
- 计算水的体积：$V_{水}=180000 - 16200=163800$立方厘米。
- 计算取出铁棒后水深：$h=\frac{V_{水}}{容器底面积}=\frac{163800}{90×40}=\frac{163800}{3600}=45.5$厘米。
综上，容器里的水深$45.5$厘米。
- 先统一单位：$0.5$米$ = 50$厘米，$1$米$ = 100$厘米。
- 计算水和铁棒浸没部分的总体积：容器底面积为$90×40 = 3600$平方厘米，总体积$V = 3600×50=180000$立方厘米。
- 计算铁棒浸没部分的体积：铁棒底面是边长为$18$厘米的正方形，浸没部分体积$V_{棒}=18×18×50 = 16200$立方厘米。
- 计算水的体积：$V_{水}=180000 - 16200=163800$立方厘米。
- 计算取出铁棒后水深：$h=\frac{V_{水}}{容器底面积}=\frac{163800}{90×40}=\frac{163800}{3600}=45.5$厘米。
综上，容器里的水深$45.5$厘米。
6. (思维过程)如下图，一个长 15 分米、宽 12 分米的长方体水箱中有 10 分米深的水。如果在水中浸没一个棱长 30 厘米的正方体铁块(水未溢出)，那么现在水箱中的水深多少分米？
答案
6. 30厘米=3分米 方法一:(15×12×10+3×3×3)÷(15×12)=10.15(分米) 方法二:3×3×3÷(15×12)+10=10.15(分米) 解析:方法一:(水箱中水的体积+正方体铁块的体积)÷水箱的底面积=现在水箱中的水深。方法二:正方体铁块的体积÷水箱的底面积+原来水箱中的水深=现在水箱中的水深。
