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2. 2024 年 9 月 6 日超强台风“摩羯”在海南文昌登陆，造成通信、电力一度中断。一方有难，八方支援。某省紧急调度救援车辆驰援文昌，在一幅比例尺为$ 1 : 6000000 $的地图上，量得出发地距离灾区$ 18 cm $。若救援车每小时行驶$ 90 km $，则到达灾区要行驶多少小时？
答案
解：实际距离$=18×6000000= {108000000}\mathrm {cm}=1080\ \mathrm {km}$，
时间=1080÷90 = 12小时
答：到达灾区要行驶12小时。
时间=1080÷90 = 12小时
答：到达灾区要行驶12小时。
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步进行：首先根据比例尺和图上距离求出实际距离，再利用行程问题的公式计算行驶时间。首先明确比例尺的定义，即比例尺=图上距离:实际距离，由此可推导出实际距离=图上距离×比例尺的分母；计算出的实际距离单位是厘米，需换算为千米，与速度单位统一后，再根据“时间=路程÷速度”即可求出行驶时间。
【解析】
1. 计算实际距离：
根据比例尺的换算关系，实际距离 = 图上距离 × 比例尺分母
代入数据得：实际距离 = $18×6000000 = 108000000$（cm）
因为 $1km = 100000cm$，进行单位换算：
$108000000÷100000 = 1080$（km）
2. 计算行驶时间：
根据行程问题公式“时间 = 路程÷速度”，代入数据：
$1080÷90 = 12$（小时）
答：到达灾区要行驶12小时。
【答案】
12小时
【知识点】
比例尺的应用、行程问题公式
【点评】
本题结合实际救援情境，综合考查比例尺计算与行程问题的基本公式应用，解题关键是注意单位的统一换算，属于基础类综合题型，能帮助学生提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需分两步进行：首先根据比例尺和图上距离求出实际距离，再利用行程问题的公式计算行驶时间。首先明确比例尺的定义，即比例尺=图上距离:实际距离，由此可推导出实际距离=图上距离×比例尺的分母；计算出的实际距离单位是厘米，需换算为千米，与速度单位统一后，再根据“时间=路程÷速度”即可求出行驶时间。
【解析】
1. 计算实际距离：
根据比例尺的换算关系，实际距离 = 图上距离 × 比例尺分母
代入数据得：实际距离 = $18×6000000 = 108000000$（cm）
因为 $1km = 100000cm$，进行单位换算：
$108000000÷100000 = 1080$（km）
2. 计算行驶时间：
根据行程问题公式“时间 = 路程÷速度”，代入数据：
$1080÷90 = 12$（小时）
答：到达灾区要行驶12小时。
【答案】
12小时
【知识点】
比例尺的应用、行程问题公式
【点评】
本题结合实际救援情境，综合考查比例尺计算与行程问题的基本公式应用，解题关键是注意单位的统一换算，属于基础类综合题型，能帮助学生提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
3. 张阿姨和王奶奶一起去超市买水果，张阿姨买$ 6 kg $苹果用了$ 57.6 $元。王奶奶想买$ 11 kg $同样的苹果，要用多少钱？(用比例的知识解答)
答案
解：设要用x元
6：57.6 = 11：x
6x = 57.6×11
6x = 633.6
x = 105.6
答：要用105.6元。
6：57.6 = 11：x
6x = 57.6×11
6x = 633.6
x = 105.6
答：要用105.6元。
解析
【分析】
首先判断数量关系：苹果的单价是固定的，总价÷数量=单价（一定），说明购买苹果的总价和数量成正比例关系。接下来设王奶奶买11kg苹果需要$ x $元，根据正比例的性质，张阿姨买苹果的数量与总价的比等于王奶奶买苹果的数量与总价的比，据此列出比例式，再利用比例的基本性质解比例即可求出结果。
【解析】
解：设王奶奶买11kg同样的苹果要用$ x $元。
因为苹果单价一定，总价与数量成正比例，所以列出比例：
$ 6:57.6 = 11:x $
根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，可得：
$ 6x = 57.6×11 $
计算右边的乘积：
$ 6x = 633.6 $
两边同时除以6：
$ x = 633.6÷6 $
$ x = 105.6 $
答：要用105.6元。
【答案】
105.6元
【知识点】
1. 正比例的应用
2. 比例的基本性质
【点评】
本题考查正比例在实际生活中的应用，解题关键是先判断总价和数量的正比例关系，再依据正比例意义列比例式求解，培养了学生运用比例知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
首先判断数量关系：苹果的单价是固定的，总价÷数量=单价（一定），说明购买苹果的总价和数量成正比例关系。接下来设王奶奶买11kg苹果需要$ x $元，根据正比例的性质，张阿姨买苹果的数量与总价的比等于王奶奶买苹果的数量与总价的比，据此列出比例式，再利用比例的基本性质解比例即可求出结果。
【解析】
解：设王奶奶买11kg同样的苹果要用$ x $元。
因为苹果单价一定，总价与数量成正比例，所以列出比例：
$ 6:57.6 = 11:x $
根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，可得：
$ 6x = 57.6×11 $
计算右边的乘积：
$ 6x = 633.6 $
两边同时除以6：
$ x = 633.6÷6 $
$ x = 105.6 $
答：要用105.6元。
【答案】
105.6元
【知识点】
1. 正比例的应用
2. 比例的基本性质
【点评】
本题考查正比例在实际生活中的应用，解题关键是先判断总价和数量的正比例关系，再依据正比例意义列比例式求解，培养了学生运用比例知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
4. 陈红读一本故事书，如果每天读 18 页，12 天可以读完。陈红想 9 天读完，那么平均每天要读多少页？(用比例的知识解答)
答案
解：设平均每天读x页
9x = 18×12
9x = 216
x = 24
答：平均每天要读24页。
9x = 18×12
9x = 216
x = 24
答：平均每天要读24页。
解析
【分析】
这道题的核心是故事书的总页数固定不变，根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，若这两种量相对应的两个数的乘积一定，则这两种量成反比例关系。这里每天读的页数和读完所需天数的乘积就是总页数（定值），因此每天读的页数与天数成反比例关系。解题时先设9天读完每天需读的页数为$ x $，再根据总页数相等列出反比例方程，最后解方程得出结果。
【解析】
解：设平均每天要读$ x $页。
由于书的总页数不变，每天读的页数与天数成反比例，据此列方程：
$ 9x = 18×12 $
计算等式右边的乘积：
$ 9x = 216 $
等式两边同时除以9：
$ x = 216÷9 $
$ x = 24 $
答：平均每天要读24页。
【答案】
24页
【知识点】
反比例的应用、比例方程求解
【点评】
本题考查反比例关系在实际问题中的应用，关键是准确判断出每天读的页数与读书天数成反比例关系，利用总页数不变建立等式求解，有助于提升学生运用比例知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是故事书的总页数固定不变，根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，若这两种量相对应的两个数的乘积一定，则这两种量成反比例关系。这里每天读的页数和读完所需天数的乘积就是总页数（定值），因此每天读的页数与天数成反比例关系。解题时先设9天读完每天需读的页数为$ x $，再根据总页数相等列出反比例方程，最后解方程得出结果。
【解析】
解：设平均每天要读$ x $页。
由于书的总页数不变，每天读的页数与天数成反比例，据此列方程：
$ 9x = 18×12 $
计算等式右边的乘积：
$ 9x = 216 $
等式两边同时除以9：
$ x = 216÷9 $
$ x = 24 $
答：平均每天要读24页。
【答案】
24页
【知识点】
反比例的应用、比例方程求解
【点评】
本题考查反比例关系在实际问题中的应用，关键是准确判断出每天读的页数与读书天数成反比例关系，利用总页数不变建立等式求解，有助于提升学生运用比例知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
5. 看图，用比例知识解答。
(1)把表格填写完整。
(2)1152 元可以买多少个排球？
(1)把表格填写完整。
(2)1152 元可以买多少个排球？
答案
8
576
解：设可以买x个
96：2 = 1152：x
96x = 2×1152
96x = 2304
x = 24
答：可以买24个排球。
576
解：设可以买x个
96：2 = 1152：x
96x = 2×1152
96x = 2304
x = 24
答：可以买24个排球。
解析
【分析】
首先明确排球单价固定，总价与数量成正比例关系（总价÷数量=单价，为定值）。
对于第(1)问，先根据已知的“2个排球96元”算出单价，再利用“总价=单价×数量”“数量=总价÷单价”填写表格；
对于第(2)问，依据单价一定的正比例关系，设未知数并列出比例式，通过比例的基本性质解比例求出结果。
【解析】
(1) 先计算排球单价：$96÷2=48$（元/个）
当总价为384元时，数量为：$384÷48=8$（个）
当数量为12个时，总价为：$12×48=576$（元）
因此表格填写的数依次为8、576。
(2) 设1152元可以买$x$个排球。
由于单价一定，总价与数量成正比例，列比例式：
$96:2 = 1152:x$
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得：
$96x = 2×1152$
计算右边：$2×1152=2304$
两边同时除以96：$x = 2304÷96$
解得：$x=24$
答：1152元可以买24个排球。
【答案】
(1) 8；576
(2) 24个
【知识点】
正比例的应用；比例的基本性质
【点评】
本题核心是抓住“单价不变”的条件，利用总价与数量的正比例关系解决问题，既考查了正比例的判断，也考查了比例的求解方法，是比例知识在实际生活中的基础应用。
【难度系数】
0.7
首先明确排球单价固定，总价与数量成正比例关系（总价÷数量=单价，为定值）。
对于第(1)问，先根据已知的“2个排球96元”算出单价，再利用“总价=单价×数量”“数量=总价÷单价”填写表格；
对于第(2)问，依据单价一定的正比例关系，设未知数并列出比例式，通过比例的基本性质解比例求出结果。
【解析】
(1) 先计算排球单价：$96÷2=48$（元/个）
当总价为384元时，数量为：$384÷48=8$（个）
当数量为12个时，总价为：$12×48=576$（元）
因此表格填写的数依次为8、576。
(2) 设1152元可以买$x$个排球。
由于单价一定，总价与数量成正比例，列比例式：
$96:2 = 1152:x$
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得：
$96x = 2×1152$
计算右边：$2×1152=2304$
两边同时除以96：$x = 2304÷96$
解得：$x=24$
答：1152元可以买24个排球。
【答案】
(1) 8；576
(2) 24个
【知识点】
正比例的应用；比例的基本性质
【点评】
本题核心是抓住“单价不变”的条件，利用总价与数量的正比例关系解决问题，既考查了正比例的判断，也考查了比例的求解方法，是比例知识在实际生活中的基础应用。
【难度系数】
0.7
6. 盒子里有相同规格的黄、红、黑、白四种颜色的筷子各 10 根，并且这些筷子混在了一起。从中任意抽出筷子，至少要抽出多少根筷子，才能保证一定有 2 根的颜色是相同的？至少要抽出多少根筷子，才能保证一定有 2 根的颜色是不同的？
答案
解：保证有2根颜色相同：4 + 1 = 5根；
保证有2根颜色不同：10 + 1 = 11根，
答：至少抽出5根保证2根同色，至少抽出11根保证2根不同色。
保证有2根颜色不同：10 + 1 = 11根，
答：至少抽出5根保证2根同色，至少抽出11根保证2根不同色。
解析
【分析】
对于第一个问题，要保证一定有2根颜色相同，需考虑最不利的情况：先把黄、红、黑、白四种颜色的筷子各抽出1根，此时共抽出4根筷子，每种颜色各1根，没有同色的。接下来再抽出1根筷子，不管这根是什么颜色，都会和之前抽出的某一根颜色相同，所以至少抽出4+1=5根。
对于第二个问题，要保证一定有2根颜色不同，同样考虑最不利的情况：先把其中一种颜色的10根筷子全部抽出，此时抽出的10根都是同一种颜色，没有不同色的。接下来再抽出1根筷子，这根筷子的颜色必然和之前的不同，所以至少抽出10+1=11根。
【解析】
1. 保证有2根颜色相同：
最不利情况是先抽取每种颜色各1根，共4根，再抽取1根即可保证有2根同色，列式为：
$4 + 1 = 5$（根）
2. 保证有2根颜色不同：
最不利情况是先抽取完一种颜色的全部10根，再抽取1根即可保证有2根不同色，列式为：
$10 + 1 = 11$（根）
答：至少抽出5根保证2根同色，至少抽出11根保证2根不同色。
【答案】
至少抽出5根筷子才能保证一定有2根颜色相同；至少抽出11根筷子才能保证一定有2根颜色不同。
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题考查抽屉原理的实际应用，解题关键是运用“最不利原则”，即先考虑最极端、最不利于达成目标的情况，在此基础上再进行分析计算，从而得出保证达成目标的最少数量。
【难度系数】
0.7
对于第一个问题，要保证一定有2根颜色相同，需考虑最不利的情况：先把黄、红、黑、白四种颜色的筷子各抽出1根，此时共抽出4根筷子，每种颜色各1根，没有同色的。接下来再抽出1根筷子，不管这根是什么颜色，都会和之前抽出的某一根颜色相同，所以至少抽出4+1=5根。
对于第二个问题，要保证一定有2根颜色不同，同样考虑最不利的情况：先把其中一种颜色的10根筷子全部抽出，此时抽出的10根都是同一种颜色，没有不同色的。接下来再抽出1根筷子，这根筷子的颜色必然和之前的不同，所以至少抽出10+1=11根。
【解析】
1. 保证有2根颜色相同：
最不利情况是先抽取每种颜色各1根，共4根，再抽取1根即可保证有2根同色，列式为：
$4 + 1 = 5$（根）
2. 保证有2根颜色不同：
最不利情况是先抽取完一种颜色的全部10根，再抽取1根即可保证有2根不同色，列式为：
$10 + 1 = 11$（根）
答：至少抽出5根保证2根同色，至少抽出11根保证2根不同色。
【答案】
至少抽出5根筷子才能保证一定有2根颜色相同；至少抽出11根筷子才能保证一定有2根颜色不同。
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题考查抽屉原理的实际应用，解题关键是运用“最不利原则”，即先考虑最极端、最不利于达成目标的情况，在此基础上再进行分析计算，从而得出保证达成目标的最少数量。
【难度系数】
0.7
