5. 某市的一座人行天桥如图所示,天桥高为6 m,斜坡$BC$的坡度为$1:1$,文化墙$PM$在天桥底部正前方8 m处(即$PB=8\ \mathrm{m}$).为了方便行人推自行车过天桥,有关部门决定减小坡度,使新坡面的坡度为$1:\sqrt{3}$.
(1) 若新坡面坡角为$α$,求坡角$α$的度数.
(2) 有关部门规定,文化墙距天桥底部小于3 m时应拆除,天桥改造后,该文化墙$PM$是否需要拆除? 请说明理由(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$).

解：
(1) 由题意，新坡面的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\tanα=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因为$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$α=30°$。
(2) 过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，则$CD=6\ \mathrm{m}$。
因为斜坡$BC$的坡度为$1:1$，所以$\frac{CD}{BD}=1$，即$BD=CD=6\ \mathrm{m}$。
因为新坡面的坡度为$1:\sqrt{3}$，所以$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
则$AD=\sqrt{3}· CD=6\sqrt{3}\approx6×1.732=10.392\ \mathrm{m}$。
所以$AB=AD-BD=10.392-6=4.392\ \mathrm{m}$。
因为$PB=8\ \mathrm{m}$，所以$PA=PB-AB=8-4.392=3.608\ \mathrm{m}$。
因为$3.608\ \mathrm{m}＞3\ \mathrm{m}$，所以该文化墙$PM$不需要拆除。

6. 如图,小山的顶部是一块平地,在这块平地上架设了一座信号发射塔.小山的斜坡$BD$的坡度$i=1:\sqrt{3}$,坡长是50 m,在山坡的坡底$B$处测得信号发射塔顶端$A$的仰角为$45°$,在山坡的坡顶$D$处测得信号发射塔顶端$A$的仰角为$60°$.
(1) 求小山的高度;
(2) 求信号发射塔的高度(精确到0.1 m.参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$).

解：(1) 过点$D$作$DF ⊥ BC$于点F，设$DF = x$ m。
因为斜坡$BD$的坡度$i=1:\sqrt{3}$，所以$\dfrac{DF}{BF}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，即$BF = \sqrt{3}x$ m。
在$Rt△ BDF$中，由勾股定理得：
$DF^2 + BF^2 = BD^2$
$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 50^2$
$4x^2 = 2500$
$x^2 = 625$
解得$x = 25$
答：小山的高度为25 m。
(2) 设信号发射塔的高度$AE$为$x$ m。
由(1)知$DF = 25$ m，$BF = 25\sqrt{3}$ m，
因为四边形$DFCE$是矩形，所以$EC = DF = 25$ m，$DE = FC$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC = 45°$，所以$AC = BC$，
又$AC = AE + EC = (x + 25)$ m，故$BC = (x + 25)$ m。
在$Rt△ ADE$中，$∠ ADE = 60°$，$\tan60° = \dfrac{AE}{DE}$，
所以$DE = \dfrac{AE}{\tan60°} = \dfrac{x}{\sqrt{3}}$ m，即$FC = \dfrac{x}{\sqrt{3}}$ m。
因为$BC = BF + FC$，所以：
$25\sqrt{3} + \dfrac{x}{\sqrt{3}} = x + 25$
两边同乘$\sqrt{3}$得：
$75 + x = \sqrt{3}x + 25\sqrt{3}$
移项整理得：
$x(\sqrt{3} - 1) = 75 - 25\sqrt{3}$
$x = \dfrac{25(3 - \sqrt{3})}{\sqrt{3} - 1}$
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3} + 1$：
$x = \dfrac{25(3 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = 25\sqrt{3}$
将$\sqrt{3} \approx 1.73$代入得：
$x \approx 25×1.73 = 43.25 \approx 43.3$
答：信号发射塔的高度约为43.3 m。