8. 如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ C=90°, AC ≠ BC$, 点 $M$ 是边 $AC$ 上的动点.过点 $M$ 作 $MN // AB$ 交 $BC$ 于点 $N$, 现将 $△ MNC$ 沿 $MN$ 折叠, 得到 $△ MNP$.若点 $P$ 在 $AB$ 上,则以 $MN$ 为直径的圆与直线 $AB$ 的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不能确定

A

9. (1)已知在直角坐标系内,半径为2的圆的圆心坐标为$(3,-4)$,当该圆向上平移$m(m＞0)$个单位长度时,若要此圆与$x$轴没有交点,则$m$的取值范围是________.
(2)已知在直角坐标平面内,以点$P(-3,4)$为圆心,$r$为半径画圆,$\odot P$与坐标轴恰好有三个交点,那么$r$的取值是________.

$0\lt m\lt 2$或$m\gt 6$ ; 4或5

10. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，以$C$为圆心，$r$为半径作$\odot C$.
(1) 若$\odot C$与斜边$AB$相切，则$r$的值为______；
(2) 若$\odot C$与斜边$AB$有两个公共点，则$r$的取值范围是______；
(3) 若$\odot C$与斜边$AB$有且只有一个公共点，则$r$的取值范围是______.

2.4
; $2.4\lt r\leqslant 3$ ; $r = 2.4$或$3\lt r\leqslant 4$

11. 如图，P为正比例函数$y=\frac{3}{2}x$图像上的一个动点，$\odot P$的半径为3，设点P的坐标为$(x,y)$。
(1)求$\odot P$与直线$x=2$相切时点P的坐标；
(2)请直接写出$\odot P$与直线$x=2$相交、相离时y的取值范围。

解：​$ (1)$​过点​$P{作直线}x = 2$​的垂线，垂足为​$A。$​​$ $​当点​$P $​在直线​$x = 2$​右侧时，​$AP = x - 2 = 3，$​得​$x = 5，$​∴点​$P{坐标为}(5，$​​$\frac {15}{2})；$​当点​$P $​在直线​$x = 2$​左侧时，​$PA = 2 - x = 3，$​得​$x = - 1，$​ ∴点​$P{坐标为}(-1，$​​$-\frac {3}{2})。$​综上所述，​$\odot P $​与直线​$x = 2$​相切时，点​$P $​的坐标为​$(5，$​​$\frac {15}{2})$​或​$(-1，$​​$-\frac {3}{2})。$​​$ (2)$​当​$-1＜y＜5$​时，​$\odot P $​与直线​$x = 2$​相交，当​$y<- 1$​或​$y>5$​时，​$\odot P $​与直线​$x = 2$​相离，

12. 新考法 我们知道,求两个函数图像的交点坐标时,可以联立两个图像的表达式组成方程组,方程组的解就是其交点的坐标.已知圆心在$P(a,b)$,半径为$r$的圆的表达式可以写作:$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.若$\odot O$的圆心在坐标原点,半径为2,且$\odot O$与直线$y = 2x + m$有且只有一个交点,则$m$的值为______.

$\pm2\sqrt{5}$

13. (2025·苏州校级月考) 如图①,在矩形ABCD中,边长AB=a,AD=b,其中a、b(a ＜ b)分别是方程$x^2 -7x +12=0$的两个根,连接BD.点O从点C出发,沿CB向点B运动(到达点B停止运动),速度为每秒1个单位,设运动时间为t秒.在运动过程中,以O为圆心,OC的长为半径作半圆,交射线CB于点Q.
(1)$BD=$______.
(2)如图②,当t为多少时,点O运动到$∠BDC$的平分线上?此时,半圆O与BD有怎样的位置关系?并加以说明.
(3)如图③,当半圆O与$△ABD$的边有两个交点时,求t的取值范围.

5
; 解$：(2)$如图$①，$过点$O$作$OE\perp BD，$垂足为点$E，$
∵$OD$是$∠BDC$的平分线，又在矩形$ABCD$中，$∠C = 90°，$$AB = CD = 3，$$AD = BC = 4，$ ∴$OC\perp CD，$∴$OE = OC，$∴$BD$是$\odot O$的切线，即$BD$与$\odot O$相切。$ $又$S_{\triangle BDO}+S_{\triangle CDO}=S_{\triangle BDC}，$∴$\frac {1}{2}BD·OE+\frac {1}{2}CD·OC=\frac {1}{2}BC·CD，$ ∴$5OE + 3OC = 12，$即$8OC = 12，$∴$OC=\frac {3}{2}，$∴$t=\frac {3}{2}\div 1=\frac {3}{2}。$ 综上所述，当$t $为$\frac {3}{2}$时，点$O$运动到$∠BDC$的平分线上，此时，半圆$O$与$BD$相切。$ (3)$如图$②，$当半圆$O$与$BD$相切时，此时半圆$O$与$\triangle ABD$的边有$1$个交点，即为切点，设切点为$H，$连接$OH，$由$(2)$可得$t=\frac {3}{2}；$ 如图③，当点$Q $与点$B$重合时，此时半圆$O$与$\triangle ABD$的边有$2$个交点，此时$BC$为半圆$O$的直径，$OC=\frac {1}{2}BC = 2，$∴$t = 2\div 1 = 2，$∴当$\frac {3}{2}＜t≤2$时，半圆$O$与$BD$有$2$个交点，即半圆$O$与$\triangle ABD$的边有$2$个交点； 如图④，此时半圆$O$与$BD$有$1$个交点，与$AB$有$1$个交点；
如图⑤，当半圆$O$与$AD$相切时，此时半圆$O$与$\triangle ABD$的边有$3$个交点，设$AD$与半圆$O$的切点为$M，$连接$OM，$∵$OM = OC = AB = 3，$ ∴$t = 3\div 1 = 3，$∴当$2＜t＜3$时，半圆$O$与$BD$有$1$个交点，与$AB$有$1$个交点，即半圆$O$与$\triangle ABD$的边有$2$个交点； 如图⑥，当半圆$O$经过点$A$时，此时半圆$O$与$\triangle ABD$的边有$3$个交点，连接$OA，$设$OA = OC = x，$由勾股定理得$3^2+(4 - x)^2=x^2，$解得$x=\frac {25}{8}，$∴$OC=\frac {25}{8}，$∴$t=\frac {25}{8}\div 1=\frac {25}{8}。$ 如图⑦，当点$O$与点$B$重合时，此时点$O$停止运动，∴$OC = BC = 4，$ ∴$t = 4\div 1 = 4，$∴当$\frac {25}{8}＜t≤4$时，半圆$O$与$BD$有$1$个交点，与$AD$有$1$个交点，即半圆$O$与$\triangle ABD$的边有$2$个交点。 综上，当半圆$O$与$\triangle ABD$的边有两个交点时，$\frac {3}{2}＜t≤2$或$\frac {25}{8}＜t≤4$