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11. [2026东莞期末] 下列结论中正确的是（
A.单项式$\frac{π x^2 y}{4}$的系数是$\frac{1}{4}$，次数是4
B.$xy -1$是多项式
C.单项式$m$的次数是1，无系数
D.多项式$x + x^2 y^2 + 3y$是二次三项式
B
）A.单项式$\frac{π x^2 y}{4}$的系数是$\frac{1}{4}$，次数是4
B.$xy -1$是多项式
C.单项式$m$的次数是1，无系数
D.多项式$x + x^2 y^2 + 3y$是二次三项式
答案
11.B 单项式$\frac{π x^2 y}{4}$的系数是$\frac{π}{4}$,次数是3,A项不符合题意;单项式$m$的次数是1,系数是1,C项不符合题意;多项式$x + x^2 y^2 + 3y$是四次三项式,D项不符合题意。
12. [2026 锦州十二中期中]已知关于$y$的多项式$2y - 3y^n + 7$与$my^3 + 4y^2 - 5$的次数相同，那么$-5n^2$的值是（
A.80
B.-80
C.-80或-54
D.-45或-20
D
）A.80
B.-80
C.-80或-54
D.-45或-20
答案
12.D 根据题意可知,多项式$2y - 3y^n + 7$的次数为 $n$。当 $m=0$ 时,$my^3 + 4y^2 - 5 = 4y^2 - 5$,多项式次数为2,所以 $n=2$,$-5n^2 = -5×2^2 = -20$;当 $m≠0$ 时,多项式 $my^3 + 4y^2 - 5$ 的次数为3,所以 $n=3$,$-5n^2 = -5×3^2 = -45$。综上,$-5n^2$ 的值是-45或-20。
13. 易错题 [2025 深圳实验学校期中] 多项式$3x^{|m|}y^2 + (m+2)x^2y -1$是关于$x,y$的四次三项式，则$m$的值为________。
答案
13.2 因为关于 $x,y$ 的多项式 $3x^{|m|}y^2 + (m+2)x^2y -1$ 是关于 $x,y$ 的四次三项式,所以 $|m| + 2 = 4$,$m + 2 ≠ 0$,所以 $m = 2$。
14. 新考向·结论开放 [2026厦门月考]一个含有字母a,b的三次三项式，其次数最高的项的系数为5，常数项为-3，则这个多项式可以是
(答案不唯一)$5a^2b + a - 3$
。答案
14.(答案不唯一)$5a^2b + a - 3$
15. 新考向·过程性学习 [2026赤峰期末] 已知$-5x^m y^3 + 10^4 x^m - 4xy^2$是关于$x,y$的六次多项式，求$m$的值，并写出该多项式。
下面是一位同学给出的解法：
解：由原多项式可知最高次项为$10^4 x^m$，(第1步)
所以$4 + m = 6$，(第2步)
所以$m = 2$，(第3步)
所以原多项式为$-5x^2 y^3 + 10^4 x^2 - 4xy^2$。
阅读以上过程并讨论：该同学的解法对吗？
如果不对，错在哪一步？应怎样解？
下面是一位同学给出的解法：
解：由原多项式可知最高次项为$10^4 x^m$，(第1步)
所以$4 + m = 6$，(第2步)
所以$m = 2$，(第3步)
所以原多项式为$-5x^2 y^3 + 10^4 x^2 - 4xy^2$。
阅读以上过程并讨论：该同学的解法对吗？
如果不对，错在哪一步？应怎样解？
答案
15. 解:该同学的解法不对,错在第1步。解法如下:因为该多项式的最高次项为$-5x^m y^3$,所以 $m + 3 = 6$,所以 $m = 3$。所以原多项式为 $-5x^3 y^3 + 10^4 x^3 - 4xy^2$。
16. [2026济南长清区期中]学校办公楼前有一长为$m$、宽为$n$的长方形空地(如图),在中心位置留出一个直径为$2a$的圆形区域建一个喷泉,两边是长为$b$、宽为$a$的两块长方形的休息区,阴影部分为绿地。
(1)用代数式表示绿地的面积。(结果保留$π$)
(2)当$m=8,n=6,a=1,b=2$时,绿地的面积是多少？($π$取3)
(1)用代数式表示绿地的面积。(结果保留$π$)
(2)当$m=8,n=6,a=1,b=2$时,绿地的面积是多少？($π$取3)
答案
16. 解:(1)绿地的面积为 $mn - 2ab - π a^2$。
(2)当 $m=8,n=6,a=1,b=2$ 时,绿地的面积为 $8×6 - 2×1×2 - π×1^2 = 48 - 4 - π ≈41$。
(2)当 $m=8,n=6,a=1,b=2$ 时,绿地的面积为 $8×6 - 2×1×2 - π×1^2 = 48 - 4 - π ≈41$。
17. 推理能力 (1)当$a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{3}$时，分别求式子$a^2 -2ab +b^2$与$(a-b)^2$的值；
(2)当$a=2,b=-\frac{1}{4}$时，分别求式子$a^2 -2ab +b^2$与$(a-b)^2$的值；
(3)观察(1)(2)中式子$a^2 -2ab +b^2$与$(a-b)^2$的值，猜想$a^2 -2ab +b^2$与$(a-b)^2$有何关系；
(4)利用你的猜想，尝试求$135^2 -2×135×35 +35^2$的值。
(2)当$a=2,b=-\frac{1}{4}$时，分别求式子$a^2 -2ab +b^2$与$(a-b)^2$的值；
(3)观察(1)(2)中式子$a^2 -2ab +b^2$与$(a-b)^2$的值，猜想$a^2 -2ab +b^2$与$(a-b)^2$有何关系；
(4)利用你的猜想，尝试求$135^2 -2×135×35 +35^2$的值。
答案
17. 解:(1)当 $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{3}$ 时，
$a^2 -2ab +b^2 = (\frac{1}{2})^2 -2×\frac{1}{2}×\frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{36}$,
$(a - b)^2 = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})^2 = \frac{1}{36}$。
(2)当 $a=2,b=-\frac{1}{4}$ 时，
$a^2 -2ab +b^2 = 2^2 -2×2×(-\frac{1}{4}) + (-\frac{1}{4})^2 = \frac{81}{16}$,
$(a - b)^2 = [2 - (-\frac{1}{4})]^2 = (\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16}$。
(3)$a^2 -2ab +b^2 = (a - b)^2$。
(4)$135^2 -2×135×35 +35^2 = (135 - 35)^2 = 10 000$。
$a^2 -2ab +b^2 = (\frac{1}{2})^2 -2×\frac{1}{2}×\frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{36}$,
$(a - b)^2 = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})^2 = \frac{1}{36}$。
(2)当 $a=2,b=-\frac{1}{4}$ 时，
$a^2 -2ab +b^2 = 2^2 -2×2×(-\frac{1}{4}) + (-\frac{1}{4})^2 = \frac{81}{16}$,
$(a - b)^2 = [2 - (-\frac{1}{4})]^2 = (\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16}$。
(3)$a^2 -2ab +b^2 = (a - b)^2$。
(4)$135^2 -2×135×35 +35^2 = (135 - 35)^2 = 10 000$。
